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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - #Elem. in Faktorgruppe
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#Elem. in Faktorgruppe: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 Mi 07.01.2009
Autor: JustSmile

Hallo ihr!
Ich bin dabei meinen Vorlesungsstoff zu wiederholen und bin grad bei den Faktorgruppen angekommen, wobei mir da noch ein Frage bezüglich der Anzahl der Elemente offen ist:

Es gilt ja zum einen, dass
a [mm] \in [/mm] N [mm] \gdw [/mm] aN=N
und zum anderen nach Lagrange
[G:N]=|G/N|=|G|/|N|
Das zweite gibt mir ja Auskunft über die Anzahl der Elemente in einer Faktorgruppe, nämlich die Anzahl der Elemente in G geteilt durch die des Normalteilers. Dies steht aber im Widerspruch zur Folgerung, die ich aus dem Ersten ziehen würde, nämlich:
Es sind ja in G/N alle Elemente der Form gN, wobei g aus G ist, enthalten. Wenn jetzt dieses g zufällig nicht nur aus G sondern auch noch aus N ist, dann wird gN zu N, also dem Einselement in G/N, was mich zu der Aussage führt, dass |G/N|=|G|-|N|+1 (im Gegensatz zu Lagrange (der wohl richtig ist) mit |G/N|=|G|/|N|), weil es ebend genau |N| Elemente aus G gibt, die zu N werden (deshalb das +1) und alle Anderen erhalten bleiben (also ein [mm] gN\not=N [/mm] ergeben).

Ich hoffe ihr wisst was ich meine und versteht mein Problem und könnt mich aufklären ;-)

Danke schonmal!

        
Bezug
#Elem. in Faktorgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:35 Do 08.01.2009
Autor: PeterB

Du hast schon recht: nur die Elemente aus $N$ werden zum Einselement. Allerdings können auch andere Elemente zusammenfallen: [mm] $g.h\in [/mm] G$ und $gN=hN$. Das heißt, wenn $g$ fest ist, fällt ein beliebiges Element $h=gn$ mit $g$ zusammen. Es sind also jeweils $|N|$ Elemente, die mit $g$ zusammenfallen, und das ist genau die Formel von Lagrange.



Bezug
                
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#Elem. in Faktorgruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Do 08.01.2009
Autor: JustSmile

Okay - viel Dank schonmal für die Antwort! Das leuchtet mir jetzt ein :-)

Eine Frage allerdings noch, die sich gerade auf das bezieht, was du geschrieben hast - vielleicht weißt du das ja auch:
Sind es für jedes g [mm] \in [/mm] G : g [mm] \not\in [/mm] N genau |N| Elemente, die mit g zusammenfallen, oder könnte es sein, dass für ein g 1,5*|N| Elemente zusammen fallen, für ein anderes g' dafür nur 0,5*|N| Elemente?

Bezug
                        
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#Elem. in Faktorgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Do 08.01.2009
Autor: felixf

Hallo

> Okay - viel Dank schonmal für die Antwort! Das leuchtet mir
> jetzt ein :-)
>  
> Eine Frage allerdings noch, die sich gerade auf das
> bezieht, was du geschrieben hast - vielleicht weißt du das
> ja auch:
>  Sind es für jedes g [mm]\in[/mm] G : g [mm]\not\in[/mm] N genau |N|
> Elemente, die mit g zusammenfallen, oder könnte es sein,
> dass für ein g 1,5*|N| Elemente zusammen fallen, für ein
> anderes g' dafür nur 0,5*|N| Elemente?

Nein, es sind immer genau $|N|$ Elemente. Das zeigst du wie folgt:

1) es gilt $N g = N h$ genau dann, wenn $h = n g$ ist fuer ein $n [mm] \in [/mm] N$;
2) die Nebenklasse $N g = [mm] \{ n g \mid n \in N \}$ [/mm] hat genau $|N|$ Elemente, da die Abbildung $N [mm] \to [/mm] N g$, $n [mm] \mapsto [/mm] n g$ eine Bijektion ist.

LG Felix


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#Elem. in Faktorgruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:04 So 11.01.2009
Autor: JustSmile

Danke :)
Gute und kurze Erklärung!
lg

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