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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mi 21.11.2012 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Eine Folge [mm] (a_{n}) [/mm] sei rekursiv durch [mm] a_{0} [/mm] = 0, [mm] a_{1} [/mm] = 3
[mm] a_{n} [/mm] = 7 [mm] a_{n-1} [/mm] - 10 [mm] a_{n-2} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2 (R)
erklärt.
Im folgenden wollen wir eine explizite Formel für [mm] a_{n} [/mm] bestimmen.
(a) Betrachten Sie die formale Reihe f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k}x^{k} [/mm] und versuchen Sie, aus (R) auf eine Darstellung für f(x) herzuleiten.
(b) Entwickeln Sie die Darstellung von f(x) wieder in eine Potenzreihe und versuchen Sie auf [mm] (a_{n}) [/mm] zu schließen.
(c) Kontrollieren Sie, dass Ihre Lösung der Gleichung (R) genügt. |
Hallo Leute,
also hab ne Frage zu der obigen Aufgabe.
Die (a) hab ich hinbekommen, d.h. meine Funktion ist f(x) = [mm] \bruch{3x}{10x^{2}-7x+1}. [/mm] Das entspricht dem Kontrollergebnis das angegeben ist.
Nun zur (b).
Da hab ich mit Partialbruchzerlegung angefangen und bekomme dann:
[mm] \bruch{3x}{10x^{2}-7x+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{5x-1}.
[/mm]
Also Nullstellen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{5}.
[/mm]
Das kann man beides dann mithilfe der geometrischen Reihe in ne Reihe umschreiben mit der Bedingung |x| < [mm] \bruch{1}{5}:
[/mm]
- [mm] \bruch{1}{1-2x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1-5x} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (5x)^{n} [/mm] - [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (2x)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (5^{n}- 2^{n}) x^{n}.
[/mm]
Dann wäre meine Folge [mm] b_{n} [/mm] = [mm] 5^{n} [/mm] - [mm] 2^{n}.
[/mm]
Wenn ich dann die Werte n=0 und n=1 einsetze bekomme ich die Anfangswerte [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{1}.
[/mm]
Ist die Aufgabe (b) damit fertig ?
Und was muss ich bei der (c) machen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sieht alles gut aus.
Du sollst bei der c) nur noch schauen, ob auch wirklich [mm] b_n=7*b_{n-1}-10*b_{n-2} [/mm] ist. Sollte aber stimmen!
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