Erzeugnis und Erzeuger < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Sa 11.02.2006 | | Autor: | Becks |
| Aufgabe | | Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir erklären könntet, was ein Erzeugnis und ein Erzeuger ist. |
Hallo :)
Das Erzeugnis ist ja erstmal definiert durch:
Sei G eine Gruppe, X eine Teilmenge davon. Dann nennt man die Untergruppe:
<X> := [mm] \cap [/mm] {U | X [mm] \subseteq [/mm] U [mm] \le [/mm] G}
das Erzeugnis von X.
Ich verstehe das so.
G:={1,2,3}
X:={2}
<X> := {1,2,3} [mm] \cap [/mm] {1,2} [mm] \cap [/mm] {2,3} [mm] \cap [/mm] {2}
=> <X> := {2}
Das heißt das Erzeugnis von <2> wäre {2}. Aber nach meiner Überlegenung wäre ja das Erzeugnis immer die Teilmenge selbst.
Wenn G = <g> für ein g [mm] \in [/mm] G, dann ist g ein Erzeuger von g.
Das verstehe ich irgendwie nicht.
es wäre total klasse, wenn ihr das vielleicht in eigenen Worten erklären könntet, was die Begriffe genau sind. Vielleicht mit Beispiel. Weil ich komme beim Lernen nicht weiter. :)
Viele Grüße
Becks
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Sa 11.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Becks,
du scheinst völlig zu vergessen, dass du es hier mit Gruppen, also Mengen mit einer Strucktur, zu tun hast.
> Das Erzeugnis ist ja erstmal definiert durch:
>
> Sei G eine Gruppe, X eine Teilmenge davon. Dann nennt man
> die Untergruppe:
> $<X> := [mm] \cap \{U | X \subseteq U \le G\}$ [/mm]
> das Erzeugnis von X.
dieses [mm] "$\le$" [/mm] bedeutet hier "Untergruppe" mit all ihren Eigenschaften !
Du darfst also nicht nur Teilmengen nehmen, denn in einer Untergruppe ist mit jedem Element a auch "a+a" und "a+a+a" usw. drinne
(Abgeschlossenheit)
Wenn mehrere verschiede Elemente in der Teilmenge drin sind, dann natürlich auch (a+b) oder (3a+4b)
Also : das Erzeugnis einer MENGE X ist die Menge aller Linearkombinationen von den elementen aus X, aber bezüglich der Verknüpfung , die definiert ist !
(Alle Untergruppen, die X enthalten, müssen auch wegen der Abgeschlossenheit alle Linkombis aus X enthalten, deshalb ist dies äquivalent zu deiner Definition mit dem Schnitt)
Beispiel: wie nehmen mal [mm] $(\IZ [/mm] ,+)$
dann ist die Menge alle geraden Zahlen das Erzeugnis von <2> , denn mit 2 kann man alle geraden Zahlen durch addition mit sich selbst erzeugen.
Das Erzeugnis aller durch 21 teilbaren Zahlen wäre dann natürlich <21> ..
Aber die gesamte Gruppe wird schon durch 1 erzeugt, denn 2=1+1, 3=1+1+1 usw (auch negativ)
Hier hast du jetzt auch mal drei Beispiele für einen Erzeuger gesehen.
> Wenn G = <g> für ein g [mm]\in[/mm] G, dann ist g ein Erzeuger von
> g.
Jede Gruppe G wird natürlich als Erzeugnis all ihrer Elmente erzeugt, also :
$< [mm] \IZ [/mm] > = <1>= [mm] \IZ [/mm] $ (mit der Addition)
aber hier wird noch gesagt : wenn es ein Element g aus G gibt, so dass G=<g> , dann nennt man g einen Erzeuger von G..
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 So 12.02.2006 | | Autor: | Becks |
Ok, das ich ja Untergruppen vergleiche hatte ich echt vergessen.
Jetzt ist mir das schon wieder klarer. Vielen Dank :)
MFG
Becks
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