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Extremstellen: "Beweis" Extremwert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Do 22.05.2014
Autor: Blechle

Aufgabe
1.0 Gegeben ist die reelle Funktion:
       fk(x)= [mm] -0,5x^3+k/2*x^2+2x-2k [/mm]   mit   k Element  IR
1.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass der Grapf Gfk für jedes k zwei relative Extremstelen besitzt.

Hallo,
Ich habe mit notwendiger und hinreichender Bed. herausgefunden das für k=-Wurzel 12 oder k=+Wurzel12 ein Terassenpunkt aber kein Extrema (da kein VZW) vorliegt.
Wenn man ableitet, nullsetzt und in die Lösungsformel einsetzt kommt eine Diskrimiante von [mm] k^2+12 [/mm] heraus. Ich habe Fall1 D=O  daraus folgt [mm] k^2+12=0 [/mm] gerechnet so kam ich auf die obigen Ergebnisse.

In den Lösungen steht:
hinr. Bed [mm] D=k^2+12 [/mm] größer 0

Meine Frage ist nun warum ist die hinr.Bed D größer 0 wenn man doch  k Element  IR bei 1.0 gegeben ist?

Danke für die Antworten,
Blechle


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Do 22.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> 1.0 Gegeben ist die reelle Funktion:
> fk(x)= [mm]-0,5x^3+k/2*x^2+2x-2k[/mm] mit k Element IR
> 1.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass der Grapf Gfk für jedes
> k zwei relative Extremstelen besitzt.
> Hallo,
> Ich habe mit notwendiger und hinreichender Bed.
> herausgefunden das für k=-Wurzel 12 oder k=+Wurzel12 ein
> Terassenpunkt aber kein Extrema (da kein VZW) vorliegt.

Und wie hast du das herausgefunden? Es ist nämlich falsch.

> Wenn man ableitet, nullsetzt und in die Lösungsformel
> einsetzt kommt eine Diskrimiante von [mm]k^2+12[/mm] heraus. Ich
> habe Fall1 D=O daraus folgt [mm]k^2+12=0[/mm] gerechnet so kam ich
> auf die obigen Ergebnisse.

Die Diskrimainante stimmt, aber das was du 'obige Ergebnisse' nennst eben nicht. Eine Ursache kann man nicht angeben, da deine Rechnung fehlt.

>

> In den Lösungen steht:
> hinr. Bed [mm]D=k^2+12[/mm] größer 0

>

> Meine Frage ist nun warum ist die hinr.Bed D größer 0
> wenn man doch k Element IR bei 1.0 gegeben ist?

Was ist denn das für eine kryptische Formulierung? D>0 ist jedenfalls deshalb hier hinreichend, weil es zwei Stellen mit waagererchter Tangente garantiert. Und da es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Ordnung handelt, müssen das dann Extrempunkte sein (überlege dir mal, wie sonst ein Kurvenverlauf aussehen würde, da siehst du auch, dass das gar nicht anders sein kann).

Wenn man jedenfalls die Lösungen der Gleichung f'_k(x)=0 in die zweite Ableitung einsetzt und das ganze gleich Null setzt, dann kommt eine Gleichung heraus, deren Lösungsmenge leer ist. Auch dies zeigt nochmal, dass die Behauptung aus der Musterlösung richtig ist.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Extremstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 Do 22.05.2014
Autor: Blechle

Danke für die schnelle Antwort,
aber warum müssen zwei Extrema garantiert sein? wenn das doch der "Beweis" ist?  und zwei garantierte Extrema treffen für alle k aus IR doch nicht zu, oder?

Ich hab das nicht so ganz verstanden, wenn ich ehrlich bin.

Bezug
                        
Bezug
Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Do 22.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Danke für die schnelle Antwort,
>   aber warum müssen zwei Extrema garantiert sein?

Hallo,

weil man das ausrechnen kann.

Dürfte man Deine Extremwertberechnung denn mal sehen?
Wenn man das vor sich hätte, könnte man besser erklären und ggf. Fehler aufspüren.

Wie lautet die erste Ableitung, welche Nullstellen hat sie?
Können diese Stellen gleich sein?

Hast Du nachweisen können, daß eine ein Min. und die andere ein Max. ist?

> wenn das doch der "Beweis" ist?  

Was denn?
Zeig doch mal!


> und zwei garantierte Extrema
> treffen für alle k aus IR doch nicht zu, oder?

Doch, wenn ich mich nicht täusche.

>  
> Ich hab das nicht so ganz verstanden, wenn ich ehrlich bin.

Das glaube ich auch.
Also:

gegeben ist die Funktion(enschar) mit

[mm] f_k(x)= [/mm] $ [mm] -0,5x^3+k/2\cdot{}x^2+2x-2k [/mm] $.

Jetzt rechne doch erstmal die Extremwerte aus und hier vor.
Wenn wir das vor Augen haben, können wir alles klären.

LG Angela


Bezug
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