Extremstellen,Sattelpunkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:39 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie lokale Extremstellen und Sattelpunkte von
[mm] f(x,y)=x^3+y^3-3xy. [/mm] |
Hallo habe bei der Aufgabe Probleme auch wenn sie einfach ist.
Hier die ableitungen:
[mm] fx=3x^2-3y
[/mm]
[mm] fy=3y^2-3x
[/mm]
fxx=6x
fyy=6y
[mm] fxy=fyx=3x^2-3 [/mm] ? das müsste doch soweit stimmen.
Jetz untersuche ich mein fx ( 0, 0 ) aber da komt auch mein Problem,
[mm] fx=3x^2-3y=0 [/mm] dann sieht man schon das [mm] y= \wurzel{x} [/mm] ist, mache ich hier schon einen Fehler? Ich brauche doch eine Zahl für meine Hesse Matrix?
Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter vieleicht habe ich einen Denkfehler.
Kann mir bitte jemand weiter helfen?
Gruss
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> Bestimmen Sie lokale Extremstellen und Sattelpunkte von
> [mm]f(x,y)=x^3+y^3-3xy.[/mm]
> Hallo habe bei der Aufgabe Probleme auch wenn sie einfach
> ist.
> Hier die ableitungen:
> [mm]fx=3x^2-3y[/mm]
> [mm]fy=3y^2-3x[/mm]
> fxx=6x
> fyy=6y
> [mm]fxy=fyx=3x^2-3[/mm] ? das müsste doch soweit stimmen.
>
> Jetz untersuche ich mein fx ( 0, 0 ) aber da komt auch mein
> Problem,
> [mm]fx=3x^2-3y=0[/mm] dann sieht man schon das [mm]y= \wurzel{x}[/mm] ist, mache ich hier schon einen Fehler? Ich brauche doch eine Zahl für meine Hesse Matrix?
Hallo,
notwendige Bedingung für lokales Extremum: Der Gradient ist 0. Du hast nur eine partielle Ableitung Null gesetzt, in Wirklichkeit gibt es aber ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen.
LG
> Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter vieleicht habe ich
> einen Denkfehler.
> Kann mir bitte jemand weiter helfen?
> Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
Ok.
$ [mm] fx=3x^2-3y [/mm] $
$ [mm] fy=3y^2-3x [/mm] $
muss ich jetz sowohl fx als auch fy auf ( o, o )
untersuchen.Das ist doch mein Gradient oder vewechsel ich da was?
[mm] fx=3x^2-3y=0 [/mm] (0,0) => fx=0
fy=0
Ich verstehe es nicht.
Der Gradient ist doch die erste Ableitung und dann den Punkt ( 0,0) einfügen oder?
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> Ok.
> [mm]fx=3x^2-3y[/mm]
> [mm]fy=3y^2-3x[/mm]
> muss ich jetz sowohl fx als auch fy auf ( o, o )
> untersuchen.Das ist doch mein Gradient oder vewechsel ich
> da was?
Es gilt grad f [mm] (x,y)=(f_x(x,y),f_y(x,y))
[/mm]
Es soll gelten grad f(x,y)=(0,0)
Also gibt es zwei Gleichungen:
(1) [mm] f_x(x,y)=3x^2-3y=0
[/mm]
(2) [mm] f_y(x,y)=3y^2-3x=0
[/mm]
Daraus folgt (x,y) = ?
> [mm]fx=3x^2-3y=0[/mm] (0,0) => fx=0
> fy=0
> Ich verstehe es nicht.
> Der Gradient ist doch die erste Ableitung und dann den
> Punkt ( 0,0) einfügen oder?
Nein, das ist Unsinn. Mit Null gleichsetzen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
Ich versuche es nochmal:
[mm] fx(x,y)=3x^2-3y=0 [/mm] => fx=0
[mm] fy(x,y)=3y^2-3x=0 [/mm] => fy=0
Jetz die Hesse Matrix;
[mm] \begin{pmatrix}
6x & 3x^2-2 \\
3x^-2 & 6y
\end{pmatrix}
[/mm]
dann würde ja alles Null sei da ist doch schon mein Ansatz falsch!
Kannste mir bitte helfen.
Danke
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> Ich versuche es nochmal:
>
> [mm]fx(x,y)=3x^2-3y=0[/mm] => fx=0
> [mm]fy(x,y)=3y^2-3x=0[/mm] => fy=0
Ich sehe nirgends, wo du einmal versuchst das Gleichungssystem ernsthaft zu lösen. So schwer ist das doch nicht. Es gibt zwei Lösungen. Man kann sie sogar direkt ersehen.
>
> Jetz die Hesse Matrix;
>
> [mm]\begin{pmatrix}
6x & 3x^2-2 \\
3x^-2 & 6y
\end{pmatrix}[/mm]
Die Matrix stimmt nicht, denn es gilt [mm] f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=-3
[/mm]
Daher (Hess [mm] f)(x,y)=\begin{pmatrix}
6x & -3 \\
-3 & 6y
\end{pmatrix}
[/mm]
>
>
>
> dann würde ja alles Null sei da ist doch schon mein Ansatz
> falsch!
> Kannste mir bitte helfen.
> Danke
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
sorry auf der Diagonallen war ja -3.
det: 9
die Det ist ja grösser als Null und der erste Eintrag ist Null ( Ist Null Positiv? )
Dann wäre die Matrix Positiv Definit
Haben wir ein Maximum oder Minimum?
D>0 und fxx>0 dann liegr doch hier ein rel. Minimum vor?
Stimmt das denn so.
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> sorry auf der Diagonallen war ja -3.
>
> det: 9
Ich vermute mal, du hast jetzt für (x,y) den Punkt (0,0) eingesetzt. Das ist die erste Lösung des Gleichungssystems (1),(2).
Da kommt jedoch -9 als Determinante raus.
>
> die Det ist ja grösser als Null und der erste Eintrag ist
> Null ( Ist Null Positiv? )
> Dann wäre die Matrix Positiv Definit
Nein. Untersuche die Matrix [mm] M:=\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} [/mm] auf Definitheit.
Und was ist mit der anderen Lösung des Gleichungssystems?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
Ja da kommt - 9 heraus aber dann wäre es ja ein Sattelpunkt und das andere Gleichungssystem kommt doch das selbe heraus weil x=y=0
es bleibt ja immer die - 3 übrig.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:11 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
Habe noch eine Frage:
Was sind hier meine Extremstellen?
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Hallo,
lies den thread durch und vor allem die Vorlesungsmitschrift.
Thema Extrema im Mehrdim. --> Definitheit der Hessematrix
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja da kommt - 9 heraus aber dann wäre es ja ein
> Sattelpunkt und das andere Gleichungssystem kommt doch das
> selbe heraus weil x=y=0
> es bleibt ja immer die - 3 übrig.
Das Gl.- System
(1) $ [mm] f_x(x,y)=3x^2-3y=0 [/mm] $
(2) $ [mm] f_y(x,y)=3y^2-3x=0 [/mm] $
hat 2 Lösungen !! Nämlich: (0,0) und (1,1)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
ja stimmt sind ja die extrema.
Danke nochmal.
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Hallo,
> ja stimmt sind ja die extrema. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, das sind Kandidaten für Extrema!
Ob es tatsächlich Extrema sind, musst du anhand der Definitheit der Hessematrix in den Kandidatenpunkten prüfen.
In $(0,0)$ war doch die Hessematrix indefinit, oder?
Dann ist dort ein Sattelpunkt!
Wie war es mit der Definitheit der Hessematrix im Punkt $(1,1)$ ?
War das geklärt?
Habe keine Lust zu suchen ...
> Danke nochmal.
Gruß
schachuzipus
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