Filterkoeffizienten < Signaltheorie < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Flock |
Hallo, Forum!
Ich habe vor kurzem über Folgendes nachgedacht:
Angenommen, man hat einen Filter mit den Filterkoeffizienten a(u). Betrachte desweiteren eine Eingangssignalfolge X(t). Dann ist der Filteroutput oder die gefilterte Eingangsfolge gegeben durch:
Y(t) = [mm] \summe_{u=-\infty}^{\infty} [/mm] a(t-u)*X(u).
Ist es soweit richtig so?
(Ich gehe von einem summierbaren Filter aus, bzw. linearen translationsinvarianten Filter aus)
Geht man nun vom konreten Beispiel aus:
Y(t) = X(t) - X(t-m) ist ein summierbarer Filter, für alle m mit Koeffizienten
a(u) = 1 für u=0
a(u) = -1 für u=m
a(u) = 0 sonst
Wie kann man anhand dieser Information die Transferfunktion/ Übertragungsfunktion ermitteln? Gibt es auch eine praktische Möglichkeit dies umzusetzen, anhand bestimmter Algorithmen?
Oder umgekehrt -
Angenommen ich habe die Transferfunktion gegeben, z.B für die Hilberttransformation
[mm] H(\lambda) [/mm] = [mm] \begin{cases} i, & \lambda<0 \\ -i, & \lambda>0 \\ 0, \mbox{ sonst } \end{cases}
[/mm]
Wie kann ich jetzt die gewünschten Filterkoeffizienten a(u) bestimmen?
Was ich bisher glaube verstanden zu haben:
Übertragungsfunktion operiert im Frequenzbereich und die Filterkoeffizienten im Zeitbereich. Multiplikation im Frequenzbereich entspricht der Faltung im Zeitbereich.
Nun wäre es nahligend zu vermuten, dass man irgendwo die Fouriertransformation braucht, um vom Zeitbereich in den Frequenzbereich zu gelangen sowie umgekehrt. Es wäre sicherlich leichtsinnig einfach salopp zu sagen:
(dft(x) - diskrete Fouriertransformierte von x, dft - discrete fourier transform)
[mm] A(\lambda)=dft(a(u)) [/mm] oder [mm] a(u)=idft(A(\lambda))
[/mm]
Ich vermute, dass ich schon auf der richtigen Spur bin, mir fehlt noch etwas an Genauigkeit der mathematischen Formulierung. Da bräuchte ich Hilfe.
Vielen Dank im Voraus.
Flock
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Sa 29.09.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Flock,
Deine Überlegungen sind durchaus okay. Die Fouriertransformation, egal ob kontinuierlich oder diskret, stellt den Übergang zwischen Zweit- und Frequenzbereich dar, mit der inversen FFT geht es wieder zurück aus dem Frequenzbereich in den Zeitbereich. Bei linearen Systemen ergibt sich im Zeitbereich das Ausgangssignal solch eines Systems aus der Faltung des Eingangssignals mit der Impulsnatwort des systems. Diese Faltung transformeirt sich in den Frequenzbereich als Multiplikation der Frequenztransformierten des Eingangssignals mit der Übertragungsfunktion des Systems. Die Übertragungsfunktion ist im Frequwenzbereich das Pendant zur Impulsantwort im Zeitbereich. Du kannst für irgendwelche Optimierungen zwischen beiden Bereichen hin- und herhüpfen, je nachdem, welche Aufgabe zu lösen ist und wo die Rechnung einfacher durchzuführen ist.
Bei Deinem Beispiel mit der Hilberttransformation musst Du allerdings aufpassen. Wie ich schon mal als Antwort zu Deiner ersten Frage schrieb, stellt die Hilberttransformation einen Bezug zwischen dem Real- und dem Imaginärteil eines komplexen Signals dar, dies geht sowohl im Zeit- wie auch im Frequenzbereich, die Anwendung der Hilberttransformation, auch wenn sie Transformation genannt wird, bildet also keine Transformation zwischen der Darstellung eines Signals im Zeit- bzw. im Frequenzbereich.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Sa 29.09.2012 | | Autor: | Flock |
Erstmal, vielen Dank für die Antwort, Indefinit!
Ich habe jetzt verstanden, wie man es mit FFT umsetzt, irgendwie merke ich folgendes - je mehr ich verstehe, desto mehr Fragen kommen in meinen Kopf
Hier:
http://www.nt.fh-koeln.de/fachgebiete/gms/sources/diplom/jh_ib/kap7.pdf
auf Seite 61, 62 habe ich gefunden, wie man die Impulsantwortfolge für den idealen Tiefpass berechnet, allerdings für kontinuierliche Signale.
Angenommen ich hätte ein diskretes Eingangssignal mit N äquidistanten Zeitpunkten - was wähle ich als Sampling oder Abtastrate (im Dokument mit [mm] f_{s} [/mm] bezeichnet). Wenn ich die Formel für h(n) auf Seite 62 anwenden will - was schreibe ich dann für [mm] f_{s} [/mm] in diese Formel rein? Darf man einfach [mm] f_{s}= [/mm] N wählen (dann ist das Zeitintervall durch T = [mm] \bruch{1}{f_{s}} [/mm] gegeben, was gut passt)?
oder gibt es dafür dann eine andere Formel ,wenn ja, welche (ich vermute, dass das ganze dann mit dem Summenzeichen statt dem Integral hergeleitet werden muss, mit der DFT - diskreter Fouriertransformation)?
Dann gibt es noch so ein Theorem von Shannon, das besagt, dass [mm] f_{s} [/mm] >> [mm] 2*f_{a} [/mm] sein muss, damit das Ergebnis nicht verfälscht wird [mm] (f_{a} [/mm] ist eine Grenzfrequenz des Tiefpasses). Inwiefern muss ich das Theorem im diskreten Fall beachten?
Vielen Dank im Voraus
Gruss
Flock
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Sa 29.09.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Flock,
das scheint ja ein Parforce-Ritt durch die Signaltheorie zu werden. Okay, gucken wir mal.
Das kontinuierliche Signal, so wie auf Seite 61 beschrieben, soll durch Abtastwerte so beschrieben werden, dass diese Abtastwerte das Signal im Digitalbereich gleichwertig darstellen. Hier kommt nun der alte Shannon ins Spiel (er wurde wirklich alt und ist erst 2001 oder 2002 gestorben, wenn ich mich recht entsinne), der herausgefunden hat, dass so etwas möglich ist, wenn die Abtastfrequenz für das kontinuierliche Signal mindestens dem doppelten der im Analogsignal maximal vorkommenden Frequenz ist. Bei dem im Buch gezeigten Tiefpass mit der Grenzfrequenz [mm] f_a $ [/mm] führt dies also auf eine Abtastfrequenz von mimdestens [mm] 2 f_a [/mm]. Wenn man etwas in der Signaltheorie rumwühlt und feststellt, was solch eine Abtastung eines Analogsignals bewirkt, nämlich die Repitition des Grundspektrums um die Abtastfrequenz und um Vielfache davon herum, dann ist auch klar, weswegen man die mindestens doppelte Abtastfrequenz benötigt. Würde man einen kleineren Wert nehmen, würden sich die Spektren überlappen und man könnte durch eine Filterung nicht mehr das Originalsignal herausfiltern.
Was Du jetzt augenscheinlich suchst, ist der Zusammenhang zwischen dem Abtastabstand und der Anzahl der Stützwerte, um damit in eine diskrete FFT zu gehen.
Habe ich ein Zeitsignal der Länge [mm] T_{ges} [/mm] und taste dieses Signal mit N Stützstellen ab, so liegen meine Abtastwerte in so einem zeitlichen Abstand [mm] T_{ab} [/mm], so dass
[mm] N \cdot T_{ab} = T_{ges} [/mm] gilt.
Im Frequenzbereich ist die Betrachtung ähnlich und man kann sich überlegen, dass der Kehrwert der Gesamtdauer [mm] T_{ges} [/mm] gerade dem Abstand der Stützstellen im Frequenzbereich entspricht. Damit gilt im Frequenzbereich
[mm] N \cdot \bruch{1}{T_{ges}} = N \cdot f_{ab} = F_{ges} [/mm] und es gilt
[mm] T_{ab} = \bruch{1}{F_{ges}} [/mm]
Der Kehrwert des Abtastabstands im Zeitbereich entspricht also gerade der maximal darstellbaren Frequenz und umgekehrt wird auch ein Schuh daraus: Der Kehrwert des Abtastabstands im Frequenzbereich entspricht gerade der Signaldauer. Mit den Variablen von oben gilt also
[mm] \bruch{1}{T_{ab}} = F_{ges} [/mm] bzw.
[mm] \bruch{1}{f_{ab}} = T_{ges} [/mm].
Wenn Du direkt mit diskreten Werten arbeitest, ist Shannon inherent erfüllt.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Mo 01.10.2012 | | Autor: | Flock |
Hallo, Indefinit!
Danke für deine ausführliche Erklärung, eine kurze Frage habe ich aber noch -
Was bedeutet denn [mm] f_{a} [/mm] in deiner Antwort? Ist es jetzt die Grenzfrequenz des Filters (wie in dem von mir geposteten Link) oder der Abstand zwischen zwei Punkten im Frequenzbereich, so dass [mm] N*f_{a}=F_{ges} [/mm] gilt, oder gar dasselbe, was in dem von mir geposteten Link mit [mm] f_{s} [/mm] bezeichnet wird? (Ich bin auf der Suche nach dem Zusammenhang dieser Variablen [mm] f_{s} [/mm] und dem Zeitabstand [mm] T_{a} [/mm] oder [mm] T_{ges}, [/mm] also wenn mit [mm] f_{a} [/mm] das [mm] f_{s} [/mm] aus dem Link gemeint ist, dann habe ich alles verstanden)
Und einmal verwendest Du T und [mm] T_{ges} [/mm] - meinen diese beiden Variablen dasselbe?
Vielen Dank im Voraus!
Gruss
Flock
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mo 01.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Flock,
da war ich nicht ganz so stringent, wie ich es normalerweise bin. Mit den Werten bezog ich mich auf den Abstand der Abtastwerte im Frequenz- bzw. Zeitbereich. Ich habe die Indizes geändert, jetzt ist es hoffentlich klar.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
