Fläche zwischen y=x und y=x² < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Mi 26.10.2011 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | Gegeben ist das endliche Flächenstück im ersten Quadranten, das von der ersten Winkelhalbierenden y=x und der Parabel [mm] y=x^2 [/mm] berandet wird.
Berechnen Sie den Flächeninhalt durch Integration über y und x. |
Hallo,
Das Flächenintegral ist hier nicht mein Problem. Vielmehr: Wie packe ich g(x)=x und [mm] h(x)=x^2 [/mm] in eine einzige Funktion, so dass ich mit einem Doppelintegral
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{h(x)}^{g(x)}{f(x,y) dydx}
[/mm]
arbeiten kann ?
Ich suche also f(x,y) welches aus g(x) und h(x) besteht ?!
Schönen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist das endliche Flächenstück im ersten
> Quadranten, das von der ersten Winkelhalbierenden y=x und
> der Parabel [mm]y=x^2[/mm] berandet wird.
>
> Berechnen Sie den Flächeninhalt durch Integration über y
> und x.
> Hallo,
>
> Das Flächenintegral ist hier nicht mein Problem. Vielmehr:
> Wie packe ich g(x)=x und [mm]h(x)=x^2[/mm] in eine einzige Funktion,
> so dass ich mit einem Doppelintegral
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{h(x)}^{g(x)}{f(x,y) dydx}[/mm]
>
> arbeiten kann ?
> Ich suche also f(x,y) welches aus g(x) und h(x) besteht ?!
>
> Schönen Dank
Hallo bammbamm,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
die Funktionen $\ g(x)=x$ und [mm] h(x)=x^2 [/mm] haben in diesem Fall
gar nichts mit der zu integrierenden Funktion zu tun,
sondern nur mit den Integrationsgrenzen. Letzteres hast
du ja eigentlich auch schon berücksichtigt. Und dann ist
es wohl einfacher als du denkst: Anstelle der Funktion
f(x,y) im Integranden setzt du einfach eine blanke 1 !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mi 26.10.2011 | | Autor: | bammbamm |
> > Gegeben ist das endliche Flächenstück im ersten
> > Quadranten, das von der ersten Winkelhalbierenden y=x und
> > der Parabel [mm]y=x^2[/mm] berandet wird.
> >
> > Berechnen Sie den Flächeninhalt durch Integration über y
> > und x.
> > Hallo,
> >
> > Das Flächenintegral ist hier nicht mein Problem. Vielmehr:
> > Wie packe ich g(x)=x und [mm]h(x)=x^2[/mm] in eine einzige Funktion,
> > so dass ich mit einem Doppelintegral
> >
> > [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{h(x)}^{g(x)}{f(x,y) dydx}[/mm]
> >
> > arbeiten kann ?
> > Ich suche also f(x,y) welches aus g(x) und h(x) besteht
> ?!
> >
> > Schönen Dank
>
>
> Hallo bammbamm,
>
>
>
Dankeschön :)
> die Funktionen [mm]\ g(x)=x[/mm] und [mm]h(x)=x^2[/mm] haben in diesem Fall
> gar nichts mit der zu integrierenden Funktion zu tun,
> sondern nur mit den Integrationsgrenzen. Letzteres hast
> du ja eigentlich auch schon berücksichtigt. Und dann ist
> es wohl einfacher als du denkst: Anstelle der Funktion
> f(x,y) im Integranden setzt du einfach eine blanke 1 !
>
> LG Al-Chw.
Vielen Dank für die schnelle Antwort
Das versteh ich aber nun überhaupt nicht.
Das wäre ja dann dementsprechend [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{h(x)}^{g(x)}{1 dydx} [/mm] ? Wie komme ich zu der 1 ?
Das würde dann wie folgt aussehen:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{x^2}^{x}{1 dydx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{x^2-x}=\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^2}{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{6}
[/mm]
Wieso bekomme ich ein negatives Ergebnis ?
P.S.: Entschuldigung für die vielen Bearbeitungen des Beitrags, mir sind ein paar Gedankenblitze gekommen und Tippfehler aufgefallen :)
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> > > Gegeben ist das endliche Flächenstück im ersten
> > > Quadranten, das von der ersten Winkelhalbierenden y=x und
> > > der Parabel [mm]y=x^2[/mm] berandet wird.
> > >
> > > Berechnen Sie den Flächeninhalt durch Integration über y
> > > und x.
> Das wäre ja dann dementsprechend
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{h(x)}^{g(x)}{1 dydx}[/mm] ? Wie
> komme ich zu der 1 ?
Um den Flächeninhalt des Flächenstücks zu berechnen,
muss man nur seine Flächenelemente summieren (bzw.
integrieren). Und das infinitesimale Flächenelement ist
eben einfach dx*dy (wie eine Rechtecksfläche).
Analog kannst du etwa die Länge der auf der x-Achse
liegenden Strecke von x=4 bis x=7 berechnen als
[mm] $\integral_{4}^{7}1\,dx$
[/mm]
> Das würde dann wie folgt aussehen:
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{x^2}^{x}{1 dydx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^2-x}=\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^2}{2}[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{6}[/mm]
>
> Wieso bekomme ich ein negatives Ergebnis ?
Weil du für das innere Integral [mm] x^2-x [/mm] anstatt [mm] x-x^2
[/mm]
geschrieben hast ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Mi 26.10.2011 | | Autor: | bammbamm |
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mi 26.10.2011 | | Autor: | bammbamm |
Die nächste Teilaufgabe lautet die Integration mit vertauschter Integrationsreihenfolge durchzuführen. Hier müsste das gleiche Ergebnis wie in der vorherigen Aufgabe [mm] (\bruch{1}{6}) [/mm] herauskommen, sonst wäre das ganze ja auch nicht integrierbar.
Ich bekomme allerdings folgendes heraus:
[mm] \integral_{x^2}^{x}\integral_{0}^{1}{1 dxdy}=\integral_{x^2}^{x}{1 dy}=x-x^2
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die nächste Teilaufgabe lautet die Integration mit
> vertauschter Integrationsreihenfolge durchzuführen. Hier
> müsste das gleiche Ergebnis wie in der vorherigen Aufgabe
> [mm](\bruch{1}{6})[/mm] herauskommen, sonst wäre das ganze ja auch
> nicht integrierbar.
>
> Ich bekomme allerdings folgendes heraus:
>
> [mm]\integral_{x^2}^{x}\integral_{0}^{1}{1 dxdy}=\integral_{x^2}^{x}{1 dy}=x-x^2[/mm]
Wir machen folgendes:
Du malst die Graphen von y=x und [mm] y=x^2 [/mm] in ein x-y - Koordinatensystem. Dann drehst Du Dein Blatt um 90° gegen den Uhrzeigersinn und siehst dann hoffentlich, dass die Vertauschung der Integrationsreihenfolge auf folgendes Integral führt:
[mm] \integral_{0}^{1}{( \integral_{y}^{\wurzel{y}}{1 dx}) dy}
[/mm]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mi 26.10.2011 | | Autor: | bammbamm |
> > Die nächste Teilaufgabe lautet die Integration mit
> > vertauschter Integrationsreihenfolge durchzuführen. Hier
> > müsste das gleiche Ergebnis wie in der vorherigen Aufgabe
> > [mm](\bruch{1}{6})[/mm] herauskommen, sonst wäre das ganze ja auch
> > nicht integrierbar.
> >
> > Ich bekomme allerdings folgendes heraus:
> >
> > [mm]\integral_{x^2}^{x}\integral_{0}^{1}{1 dxdy}=\integral_{x^2}^{x}{1 dy}=x-x^2[/mm]
>
>
> Wir machen folgendes:
>
> Du malst die Graphen von y=x und [mm]y=x^2[/mm] in ein x-y -
> Koordinatensystem. Dann drehst Du Dein Blat um 90° gegen
> den Uhrzeigersinn und siehst dann hoffentlich, dass die
> Vertauschung der Integrationsreihenfolge auf folgendes
> Integral führt:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{( \integral_{y}^{\wurzel{y}}{1 dx}) dy}[/mm]
>
> FRED
> >
>
Das leuchtet mir ein. Dann komme ich trotz allem aber immer noch auf [mm] x-x^2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Die nächste Teilaufgabe lautet die Integration mit
> > > vertauschter Integrationsreihenfolge durchzuführen. Hier
> > > müsste das gleiche Ergebnis wie in der vorherigen Aufgabe
> > > [mm](\bruch{1}{6})[/mm] herauskommen, sonst wäre das ganze ja auch
> > > nicht integrierbar.
> > >
> > > Ich bekomme allerdings folgendes heraus:
> > >
> > > [mm]\integral_{x^2}^{x}\integral_{0}^{1}{1 dxdy}=\integral_{x^2}^{x}{1 dy}=x-x^2[/mm]
> >
> >
> > Wir machen folgendes:
> >
> > Du malst die Graphen von y=x und [mm]y=x^2[/mm] in ein x-y -
> > Koordinatensystem. Dann drehst Du Dein Blat um 90° gegen
> > den Uhrzeigersinn und siehst dann hoffentlich, dass die
> > Vertauschung der Integrationsreihenfolge auf folgendes
> > Integral führt:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{1}{( \integral_{y}^{\wurzel{y}}{1 dx}) dy}[/mm]
>
> >
> > FRED
> > >
> >
>
> Das leuchtet mir ein. Dann komme ich trotz allem aber immer
> noch auf [mm]x-x^2[/mm]
Tatsächlich ? Dann möchte ich, dass Du mir das ausführlichst vorrechnest. Ich bin gespannt....
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mi 26.10.2011 | | Autor: | bammbamm |
> > > > Die nächste Teilaufgabe lautet die Integration mit
> > > > vertauschter Integrationsreihenfolge durchzuführen. Hier
> > > > müsste das gleiche Ergebnis wie in der vorherigen Aufgabe
> > > > [mm](\bruch{1}{6})[/mm] herauskommen, sonst wäre das ganze ja auch
> > > > nicht integrierbar.
> > > >
> > > > Ich bekomme allerdings folgendes heraus:
> > > >
> > > > [mm]\integral_{x^2}^{x}\integral_{0}^{1}{1 dxdy}=\integral_{x^2}^{x}{1 dy}=x-x^2[/mm]
> > >
> > >
> > > Wir machen folgendes:
> > >
> > > Du malst die Graphen von y=x und [mm]y=x^2[/mm] in ein x-y -
> > > Koordinatensystem. Dann drehst Du Dein Blat um 90° gegen
> > > den Uhrzeigersinn und siehst dann hoffentlich, dass die
> > > Vertauschung der Integrationsreihenfolge auf folgendes
> > > Integral führt:
> > >
> > > [mm]\integral_{0}^{1}{( \integral_{y}^{\wurzel{y}}{1 dx}) dy}[/mm]
>
> >
> > >
> > > FRED
> > > >
> > >
> >
> > Das leuchtet mir ein. Dann komme ich trotz allem aber immer
> > noch auf [mm]x-x^2[/mm]
>
> Tatsächlich ? Dann möchte ich, dass Du mir das
> ausführlichst vorrechnest. Ich bin gespannt....
>
> FRED
>
[mm] \integral_{x^2}^{x}\integral_{0}^{\wurzel{1}}{1 dxdy} [/mm] = [mm] \integral_{x^2}^{x}{[x]_{x=0}^{x=\wurzel{1}} dy} [/mm] = [mm] \integral_{x^2}^{x}{1 dy}=[y]_{y=x^2}^{y=x}=x-x^2
[/mm]
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Hallo bammbamm,
bitte zitiere mit mehr Bedacht, lösche Unnötiges weg!
> > > > Wir machen folgendes:
> > > >
> > > > Du malst die Graphen von y=x und [mm]y=x^2[/mm] in ein x-y -
> > > > Koordinatensystem. Dann drehst Du Dein Blat um 90° gegen
> > > > den Uhrzeigersinn und siehst dann hoffentlich, dass die
> > > > Vertauschung der Integrationsreihenfolge auf folgendes
> > > > Integral führt:
> > > >
> > > > [mm]\red{\integral_{0}^{1}{( \integral_{y}^{\wurzel{y}}{1 dx}) dy}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > FRED
> > > > >
> > > >
> > >
> > > Das leuchtet mir ein. Dann komme ich trotz allem aber immer
> > > noch auf [mm]x-x^2[/mm]
> >
> [mm]\integral_{x^2}^{x}\integral_{0}^{\wurzel{1}}{1 dxdy}[/mm] =
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Das ist nicht das Integral, das zu berechnen ist, angeblich war dir das klar - siehe oben in rot!
> [mm]\integral_{x^2}^{x}{[x]_{x=0}^{x=\wurzel{1}} dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{x^2}^{x}{1 dy}=[y]_{y=x^2}^{y=x}=x-x^2[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Mi 26.10.2011 | | Autor: | bammbamm |
Ich stand wohl gerade ein wenig neben mir. Danke für die Antworten, ich komme jetzt auf das richtige Ergebnis!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Tatsächlich ? Dann möchte ich, dass Du mir das
> > ausführlichst vorrechnest. Ich bin gespannt....
> >
> > FRED
> >
> [mm]\integral_{x^2}^{x}\integral_{0}^{\wurzel{1}}{1 dxdy}[/mm] =
> [mm]\integral_{x^2}^{x}{[x]_{x=0}^{x=\wurzel{1}} dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{x^2}^{x}{1 dy}=[y]_{y=x^2}^{y=x}=x-x^2[/mm]
Ich bin gerührt ! Dass es doch immer wieder Leute gibt, die meine gut gemeinten Ratschläge beherzigen..
Ein zu Tränen gerührter FRED
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> Ein zu Tränen gerührter FRED
geschüttelt oder gerührt - das ist immer wieder
die zentrale Frage, auch bei Tränen ...
 Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:45 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Ein zu Tränen gerührter FRED
>
>
> geschüttelt oder gerührt - das ist immer wieder
> die zentrale Frage, auch bei Tränen ...
>
> Al
>
Danke für Deine Anteilnahme.
FRED
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