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Habe eine Folge gegeben:
[mm] a_{n}=2-\bruch{(-1)^{n}}{n^{3}}
[/mm]
Nun hat unser Prof. leider nicht erklärt wie man einen Grenzwert beweist, sondern nur wie einen Grenzwert in eine Definition einfügt. Jedenfalls habe ich als Grenzwert mal 2 ausgemacht. [mm] \varepsilon [/mm] ist wohl > 0, wobei ich nicht direkt weiß, was das bedeutet. Dann habe ich in die Formel
[mm] |a_{n}-n| [/mm] eingesetzt und als Ergebnis [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n^{3}} [/mm] erhalten und jetzt weiß ich nicht weiter....
Waren die Schritte bis hier nun richtig oder nicht und wie geht es weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Do 11.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Habe eine Folge gegeben:
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> [mm]a_{n}=2-\bruch{(-1)^{n}}{n^{3}}
[/mm]
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> Nun hat unser Prof. leider nicht erklärt wie man einen
> Grenzwert beweist, sondern nur wie einen Grenzwert in eine
> Definition einfügt. Jedenfalls habe ich als Grenzwert mal 2
> ausgemacht. [mm]\varepsilon[/mm] ist wohl > 0, wobei ich nicht
> direkt weiß, was das bedeutet. Dann habe ich in die Formel
>
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> [mm]|a_{n}-n|[/mm] eingesetzt und als Ergebnis
> [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n^{3}}[/mm] erhalten und jetzt weiß ich nicht
> weiter....
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> Waren die Schritte bis hier nun richtig oder nicht und wie
> geht es weiter?
>
Hmm.. vielleicht fange ich erstmal an, das Epsilon zu erklären. Also wir haben eine Folge von der wir vermuten, dass sie konvergiert (mit Grenzwert 2). Dann ist die Konvergenz so definiert, dass ich zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] finde, sodass mein [mm] $a_n_0 [/mm] $-Grenzwert vom Betrag her kleiner ist als mein Epsilon. Der Beweis ist deshalb so aufgebaut, dass ich zuerst annehme, dass Epsilon größer 0 und beliebig ist:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$.
Jetzt suche ich mit Hilfe der Definition der Konvergenz ein $n$, sodass ich ab diesem Folgeglied n auf jeden Fall um weniger als Epsilon um meinen vermuteten Grenzwert liege:
[mm] \left| a_n -2 \right| = \left| 2-\bruch{(-1)^{n}}{n^{3}} - 2 \right| = \left| \bruch{(-1)^{n}}{n^{3}} \right| = \bruch{\left|(-1)^{n}\right|}{\left| n^{3} \right|}\underbrace{=}_{n > 0} \bruch{1}{n^{3}} < \varepsilon [/mm]
Also: [mm] $\bruch{1}{n^{3}} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw n^3 [/mm] > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] n > [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{\varepsilon}}$
[/mm]
Also muss mein n nur größer als [mm] $\sqrt[3]{\bruch{1}{\varepsilon}}$ [/mm] sein, und schon ist es erfüllt. Du kannst leicht überprüfen, was passiert, wenn du z.B. als Grenzwert 3 vermutest, was ja falsch ist. Probiers einfach mal und du wirst zu einem Widerspruch kommen.
Alles in Allem haben wir gezeigt, dass 2 der Grenzwert der Folge ist und das damit auch die Folge konvergiert.
Gruß Micha 
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Also ich denke, dass ich alles bis auf eine Sache verstanden habe. Vielen Dank erstmal.
Aber wieso weiß ich, dass 2 richtig ist, wenn $ [mm] \gdw [/mm] n > [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{\varepsilon}} [/mm] $ ???
Und in der Vorlesung war auch die ganze Zeit von einem N die Rede, so dass für alle [mm] n\in\IN N\in\IR [/mm] ist, was hat es damit auf sich?
EDIT: Noch ne kurze, kleine Frage hinterher: Was gilt bei [mm] a=+\infty? [/mm] Ziehe ich das in der Rechnung bei [mm] \varepsilon [/mm] mit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Micha |
> Also ich denke, dass ich alles bis auf eine Sache
> verstanden habe. Vielen Dank erstmal.
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> Aber wieso weiß ich, dass 2 richtig ist, wenn [mm]\gdw n > \wurzel[3]{\bruch{1}{\varepsilon}}[/mm]
> ???
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> Und in der Vorlesung war auch die ganze Zeit von einem N
> die Rede, so dass für alle [mm]n\in\IN N\in\IR[/mm] ist, was hat es
> damit auf sich?
Das N ist mein [mm] $n_0$. [/mm] Ich habe es nur anders bezeichnet. Wie kommt man darauf und was bedeutet das? Nun für die Konvergenz ist es nicht entscheidend, was am Anfang der Folge passiert. Hier ist es fast beliebig, welche Werte die Folge annimmt. Wichtig für die Betrachtung der Konvergenz ist, was "am Ende" passiert. Also für mehr oder weniger große n.
Du musst dir das wie gesagt so vorstellen. Ich habe eine Folge und gebe mir einen Toleranzbereich vor, wie weit mein Folgenglied von meinem vermuteten Grenzwert entfernt liegt. Das ist genau mein Epsilon. Ich kann es zwar riesig groß wählen, aber das sagt mir nicht viel darüber, was "am Ende" der Folge passiert, wo sie entweder kovergiert oder eben nicht.
Also wähle ich mein Epsilon meinetwegen relativ klein, z.B. [mm] $\varepsilon [/mm] = 0,01$. Nun suche ich eine Zahl N, ab der das N-te Folgenglied und alle nachfolgenden Folgenglieder einen Wert haben, der nicht einmal 0,01 von meinem Grenzwert abweicht.
In unserer Rechnung kann man dieses N, ab dem das passiert exakt bestimmen für jedes vorgegebene Epsilon. Und genau das ist der entscheidende Punkt: Egal wie klein ich diesen Toleranzbereich wähle, es gibt immer eine Zahl N, aber der alle Folgenglieder [mm] $a_n$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] N$ einen Wert haben, der um weniger als diese Toleranz vom Grenzwert abweicht.
Das ganze geht aber nur dann, wenn mein vermuteter Grenzwert auch tatsächlich ein Grenzwert ist.
Deshalb nochmal das Beweisschema:
Ein beliebiges [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ festlegen (man muss das nicht näher angeben). Dann schauen, ob ich dann zu jedem Epsilon ein N finde, dass
(i) [mm] $|a_N [/mm] - a | < [mm] \varepsilon$
[/mm]
erfüllt, wenn a hier mal den Grenzwert bezeichnet. Dieses N erhält an standardmäßig durch Umformung der Gleichung (i).
Ich hoffe noch ein paar UNklarheiten beseitigt zu haben.
Gruß Micha
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> EDIT: Noch ne kurze, kleine Frage hinterher: Was gilt bei
> [mm]a=+\infty?[/mm] Ziehe ich das in der Rechnung bei [mm]\varepsilon[/mm]
> mit?
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So, eigentlich alles verstanden. D.h. in dem angegebenen Beispiel gilt: Wenn meine n größer als [mm] \sqrt[3]{\bruch{1}{\varepsilon}} [/mm] sind, dann gilt die Konvergenz...? Ist [mm] \bruch{1}{n^{3}} [/mm] dann mein N?
Und nochmal der zweite Teil der Frage: Was gilt bei [mm] +\infty [/mm] für [mm] |a_{n}-a|?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Micha |
> So, eigentlich alles verstanden. D.h. in dem angegebenen
> Beispiel gilt: Wenn meine n größer als
> [mm]\sqrt[3]{\bruch{1}{\varepsilon}}[/mm] sind, dann gilt die
> Konvergenz...? Ist [mm]\bruch{1}{n^{3}}[/mm] dann mein N?
Fast... nach dem archimedischen Prinzip existiert zu jeder reellen Zahl eine natürliche Zahl, die größer als diese reelle Zahl ist. Deine Konvergenz gilt ab dem N, das größer ist als [mm]\wurzel[3]{\bruch{1}{n^{3}}}[/mm]. Du könntest auch ein größeres nehmen, es muss nur zumindest ab einem gewissen Folgenglied an gelten. Also nochmal: dein N ist die nächstgrößere natürliche Zahl von [mm]\wurzel[3]{\bruch{1}{n^{3}}}[/mm].
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> Und nochmal der zweite Teil der Frage: Was gilt bei [mm]+\infty[/mm]
> für [mm]|a_{n}-a|?[/mm]
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Für Unendlich findest du keinen vermuteten Grenzwert, der das erfüllt. Das kann man sich plausibel machen, wenn man nochmal
[mm] \left| a_n - a \right| < \varepsilon [/mm] betrachtet und für den vermuteten Grenzwert a Unendlich einsetzt:
[mm] \left| a_n - \infty \right| < \left| - \infty \right| = \infty < \varepsilon [/mm] Das gilt natürlich nicht. Hier liegt ein Widerspruch vor, weil für ein vorgegebenes Epsilon, das was gegen unedlich geht immer irgendwann größer wird.
Formal geht der Beweis auch nur, wenn du einen "echten" Grenzwert hast.
Gruß Micha
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