www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebra" - Galoisgruppe bestimmen
Galoisgruppe bestimmen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Galoisgruppe bestimmen: Idee und Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Mi 24.06.2020
Autor: clemenum

Aufgabe
Bestimme die Galoisgruppe des Polynoms [mm] $p=X^6+X^4+X^2+1$ [/mm] über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] und über [mm] $F_5$ [/mm]

Liebe Mathematikerinnen und Mathematiker!

Die Sache ist die, dass wir aufgrund der Coronapandamie diesmal weniger Möglichkeiten hatten die Professoren bei Unklarheiten zu fragen. Daher bitte ich euch, dass es etwas mehr geduldet wird, wenn es wo Unklarheiten gibt! :)

Meine erste Frage dazu ist: Muss man das Polynom faktorisieren können um Körper-Automorphismen aufstellen zu können? Ich wüßte nicht, wie man die Nullstellen miteinander vertauschen soll, wenn man sie nicht kennt.

Hier ist jedenfalls mal die Faktorisierung:
$p= [mm] (x^2+1)(x^4+1)= (x-i)(x+i)(x^2-i)(x^2+i)= [/mm]
[mm] $=(x-i)(x+i)(x-e^{i*\pi/4})(x+e^{i*\pi/4})(x-e^{(7*\pi/4)*i})(x+e^{(7*\pi/4)*i})$ [/mm]

$p$ hat also die "Wurzeln" [mm] $\pm [/mm] i, [mm] \pm e^{i*\pi/4}, \pm e^{(7*\pi/4)*i}$ [/mm]

Wir erhalten also den Zerfällungskörper K von $p$, indem wir an den Grundkörper [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] alle Nullstellen von $p$ adjungieren. Der Zerfällungskörper von $p$ ist also [mm] $\mathbb{Q}(i,-i,e^{i*\pi/4}, -e^{i*\pi/4}, e^{(7*\pi/4)*i}, -e^{(7*\pi/4)*i}).$ [/mm] Wir wissen außerdem, dass ein Körper, der ein Element $a$ enthält, auch dessen additives Inverses $-a$ enthält und somit der Zerfällungskörper $K$ folgende einfachere Darstellung haben muss:
$K:= [mm] \mathbb{Q}(i,e^{i*\pi/4}, e^{(7\pi/4)i} [/mm] )$

Da der Grad der Körpererweiterung der Anzahl der Automorphismen  unserer Automorphismengruppe entspricht, müssen wir also [mm] $[K:\mathbb{Q}]$ [/mm] bestimmen, um leichter und schneller all unsere Elemente der gesuchten Gruppe [mm] $Gal:=Gal(K/\mathbb{Q})$ [/mm] angeben zu können.

Idee dazu: Die Gradformel hilft!
Wegen  Kette von Körpererweiterungen, gilt also
[mm] $[K:\mathbb{Q}]= [/mm] [K: [mm] \mathbb{Q}(i,e^{i*\pi/4})]\cdot [\mathbb{Q}(i,e^{i*pi/4}):\mathbb{Q}(i)]\cdot [\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]. [/mm] $

Meine erste Frage ist mal, wie kann ich zum Beispiel  $[K: [mm] \mathbb{Q}(i,e^{i*\pi/4})]$ [/mm] feststellen? Ich weiß, dass man mit dem Grad von Minimalpolynomen arbeiten muss, aber wie soll hier das Minimalpolynom aussehen?

Wäre für Hilfe sehr dankbar!


        
Bezug
Galoisgruppe bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:35 Do 25.06.2020
Autor: statler

Guten Morgen!

> Bestimme die Galoisgruppe des Polynoms [mm]p=X^6+X^4+X^2+1[/mm]
> über [mm]\mathbb{Q}[/mm] und über [mm]F_5[/mm]
>  Liebe Mathematikerinnen und Mathematiker!
>  
> Die Sache ist die, dass wir aufgrund der Coronapandamie
> diesmal weniger Möglichkeiten hatten die Professoren bei
> Unklarheiten zu fragen. Daher bitte ich euch, dass es etwas
> mehr geduldet wird, wenn es wo Unklarheiten gibt! :)
>  
> Meine erste Frage dazu ist: Muss man das Polynom
> faktorisieren können um Körper-Automorphismen aufstellen
> zu können? Ich wüßte nicht, wie man die Nullstellen
> miteinander vertauschen soll, wenn man sie nicht kennt.
>
> Hier ist jedenfalls mal die Faktorisierung:
>  $p= [mm](x^2+1)(x^4+1)= (x-i)(x+i)(x^2-i)(x^2+i)=[/mm]
>  
> [mm]=(x-i)(x+i)(x-e^{i*\pi/4})(x+e^{i*\pi/4})(x-e^{(7*\pi/4)*i})(x+e^{(7*\pi/4)*i})[/mm]
>
> [mm]p[/mm] hat also die "Wurzeln" [mm]\pm i, \pm e^{i*\pi/4}, \pm e^{(7*\pi/4)*i}[/mm]
>  
> Wir erhalten also den Zerfällungskörper K von [mm]p[/mm], indem
> wir an den Grundkörper [mm]\mathbb{Q}[/mm] alle Nullstellen von [mm]p[/mm]
> adjungieren. Der Zerfällungskörper von [mm]p[/mm] ist also
> [mm]\mathbb{Q}(i,-i,e^{i*\pi/4}, -e^{i*\pi/4}, e^{(7*\pi/4)*i}, -e^{(7*\pi/4)*i}).[/mm]
> Wir wissen außerdem, dass ein Körper, der ein Element [mm]a[/mm]
> enthält, auch dessen additives Inverses [mm]-a[/mm] enthält und
> somit der Zerfällungskörper [mm]K[/mm] folgende einfachere
> Darstellung haben muss:
> [mm]K:= \mathbb{Q}(i,e^{i*\pi/4}, e^{(7\pi/4)i} )[/mm]
>  

Das geht noch einfacher: [mm] e^{i*\pi/4} [/mm] reicht, weil die beiden anderen Elemente Potenzen davon sind. Dann ist [mm] [K:\mathbb{Q}] [/mm] = 4.

> Da der Grad der Körpererweiterung der Anzahl der
> Automorphismen  unserer Automorphismengruppe entspricht,
> müssen wir also [mm][K:\mathbb{Q}][/mm] bestimmen, um leichter und
> schneller all unsere Elemente der gesuchten Gruppe
> [mm]Gal:=Gal(K/\mathbb{Q})[/mm] angeben zu können.

Für die Galois-Gruppe gibt es nur noch 2 Möglichkeiten. Aber jeder Automorphismus [mm] \varphi [/mm] wird bestimmt durch das Bild von [mm] e^{i*\pi/4}. [/mm] Damit sind auch die Potenzen von [mm] \varphi [/mm] bstimmt.

>
> Idee dazu: Die Gradformel hilft!
>  Wegen  Kette von Körpererweiterungen, gilt also
>  [mm][K:\mathbb{Q}]= [K: \mathbb{Q}(i,e^{i*\pi/4})]\cdot [\mathbb{Q}(i,e^{i*pi/4}):\mathbb{Q}(i)]\cdot [\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}].[/mm]
>  
> Meine erste Frage ist mal, wie kann ich zum Beispiel  [mm][K: \mathbb{Q}(i,e^{i*\pi/4})][/mm]
> feststellen? Ich weiß, dass man mit dem Grad von
> Minimalpolynomen arbeiten muss, aber wie soll hier das
> Minimalpolynom aussehen?
>  
> Wäre für Hilfe sehr dankbar!

Wie sieht das bei [mm] F_5 [/mm] aus?

Gruß aus HH
Dieter  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de