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Gewöhnliches DGL System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:59 Mi 17.02.2021
Autor: Andrejtrikolor

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Guten Morgen,

ich versuche seit gestern Abend folgenden Wikipedia - Abschnitt über DGLs (etwas umgeschriebenen Abschnitt aus Wikipedia) zu verstehen (Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung):

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Seien $\Omega \subseteq \mathbb{R} \times \left ( \mathbb{R}^{m} \right )^{n + 1}$, $n \in \mathbb{N}$, $M:= \{1, 2, \ldots, n \}$ und $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ eine stetige Funktion.

Dann heißt $f \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right ) = \left( \begin{array}{c} f_{1} \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right )   \\\ f_{2} \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right ) \\\ \vdots \\\ f_{m} \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right )\\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0  \\\ 0 \\\ \vdots \\\ 0 \\\ \end{array}\right)$ ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem $n$ - ter Ordnung von $m$ Gleichungen.

a) Gilt $f_{i} \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right )  = f_{i} \left (  y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right ) $ (hängt nicht von der unab. Variablen $x$ ab) für alle $i \in M$, so spricht man von einem autonomen oder zeitinvarianten DGLS.
b) Lässt sich $f_{i} \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right )  = 0$ auf die Form $y^{(n)} = g_{i}\left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n - 1)} \right )$ bringen für alle $i \in M$, so spricht man von einem expliziten (andernfalls impliziten) gewöhnlichen DGLS.
c) Gilt $f_{i} \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right ) = \sum\limits_{j = 0}^{n} a_{i, n - j}(x) y^{(n - j)} + b_{i}(x)$ für alle $i \in M$, so spricht man von einem linearen (andernfalls nicht-linearen) gewöhnlichen DGLS. Gilt zusätzlich $b_{i}(x) = 0$ für alle $i \in M$, so spricht man von einem homogonen (andernfalls inhomogenen) linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystem.

Die in blau markierten Definitionen habe ich hinzugefügt, damit die Definition vollständiger wird, denn da habe ich alle Begriffe wie homogen, linear, autonom usw. in einer einzigen Definition. Passen die Definitionen oder stimmen manche nicht?


Ihre Lösungen sind {\displaystyle n}-mal differenzierbare Funktionen {\displaystyle y\colon I\to \mathbb {R} ^{m}}, welche die Differentialgleichung auf einem zu bestimmenden Intervall {\displaystyle I\subset \mathbb {R} }  erfüllen. Sucht man eine spezielle Lösung, welche zu gegebenen {\displaystyle x_{0}\in I} und {\displaystyle y_{0},\dotsc ,y_{n-1}\in \mathbb {R} ^{m}} zusätzlich {\displaystyle y(x_{0})=y_{0},\;y'(x_{0})=y_{1},\dotsc ,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{n-1}} erfüllt, so bezeichnet man dies als Anfangswertproblem.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Und nach diesem Abschnitt bin ich mega verwirrt, denn:


Erstens)

Ich habe Probleme mit dem Definitionsbereich von $f$.
Die Menge $\Omega$ ist eine Teilmenge von $\mathbb{R} \times \left ( \mathbb{R}^{m} \right )^{n + 1} = \mathbb{R}^{m (n + 1) + 1}$.
Die Elemente von $\Omega$ sind also $m (n + 1) + 1$ - dimensionale Vektoren mit reellen Zahlen als Einträge.

Aus $f(x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n))$ entnimmt man, dass $f$ von den Variablen $x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)$ abhängt.

Nehmen wir nun an, dass $x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)$ Zahlenvariablen sind (man setzt also nur Zahlen ein), da kann ich einen Vektor $a \in \Omega$ nicht in $f$ einsetzen, da $a$ mit seinen $m(n+ 1) + 1$ Einträgen mehr Werte hat, als man in den $n + 1$ Variablen einsetzen kann. Das macht für mich keinen Sinn.

Nehmen wir nun mal das an, was ich denke: Man kann die Variablen $x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)$ nicht miteinander vergleichen. Die Variable $x$ erwartet Zahlenwerte und die Variable  $y^{(i)}$ erwartet Funktionen, wobei nur $x$ und $y^{(0)}$ frei wählbar sind. Die restlichen Variablen hängen von  $y^{(0)}$ ab. Aber das ist doch nicht zulässig, da ein $a \in \Omega$ nur Zahlen als Einträge hat. Das heißt, ich kann $a$ ebenfalls nicht in $f$ einsetzen, da zwar $x$ eine Zahl erwartet, aber $y^{(0)}$ eine Funktion.
Das macht für mich auch keinen Sinn.

Was verstehe ich falsch?


Zweitens)  (Nicht so schlimm)

Was genau meint man mit der Intervallbestimmung?
Ich stelle mir das so vor:

Gegeben ist die DGL $y'(x) = (y(x)^{2} - (2x + 1) y(x) + 1 + x + x^{2}$.
Die Lösung dazu lautet $y(x) = x + \frac{1}{De^{x}}$ mit $D \in \mathbb{R}$.

Diese Lösung ist auf ganz $\mathbb{R}$ definiert. Die Frage ist nun, ob $y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x + \frac{1}{De^{x}}$ die Lösung der DGL ist oder nicht. Es kann auch sein, dass es ein $s \in \mathbb{R}$ gibt, so dass $y'(s) \neq (y(s)^{2} - (2s + 1) y(s) + 1 + s + s^{2}$ gilt. Dann wäre $y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x + \frac{1}{De^{x}}$ nämlich keine Lösung der DGL und wir müssten den Definitionsbereich verkleinern, damit $y$ eine Lösung ist.

Verstehe ich das so richtig?


Würde mich riesig freuen, wenn mir jemand helfen kann.
Liebe Grüße,

Andrej


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gewöhnliches DGL System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:45 Mi 17.02.2021
Autor: fred97


> Guten Morgen,

Hallo Andrej,


>  
> ich versuche seit gestern Abend folgenden Wikipedia -
> Abschnitt über DGLs (etwas umgeschriebenen Abschnitt aus
> Wikipedia) zu verstehen (Quelle:
> https://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung):
>  
> __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
>  Seien [mm]\Omega \subseteq \mathbb{R} \times \left ( \mathbb{R}^{m} \right )^{n + 1}[/mm],
> [mm]n \in \mathbb{N}[/mm], [mm]M:= \{1, 2, \ldots, n \}[/mm] und [mm]f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{m}[/mm]
> eine stetige Funktion.
>  
> Dann heißt [mm]f \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right ) = \left( \begin{array}{c} f_{1} \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right ) \\\ f_{2} \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right ) \\\ \vdots \\\ f_{m} \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right )\\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ \vdots \\\ 0 \\\ \end{array}\right)[/mm]
> ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem [mm]n[/mm] - ter
> Ordnung von [mm]m[/mm] Gleichungen.
>  
> a) Gilt [mm]f_{i} \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right ) = f_{i} \left ( y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right )[/mm]
> (hängt nicht von der unab. Variablen [mm]x[/mm] ab) für alle [mm]i \in M[/mm],
> so spricht man von einem autonomen oder zeitinvarianten
> DGLS.
>  b) Lässt sich [mm]f_{i} \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right ) = 0[/mm]
> auf die Form [mm]y^{(n)} = g_{i}\left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n - 1)} \right )[/mm]
> bringen für alle [mm]i \in M[/mm], so spricht man von einem
> expliziten (andernfalls impliziten) gewöhnlichen DGLS.
>  c) Gilt [mm]f_{i} \left ( x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)} \right ) = \sum\limits_{j = 0}^{n} a_{i, n - j}(x) y^{(n - j)} + b_{i}(x)[/mm]
> für alle [mm]i \in M[/mm], so spricht man von einem linearen
> (andernfalls nicht-linearen) gewöhnlichen DGLS. Gilt
> zusätzlich [mm]b_{i}(x) = 0[/mm] für alle [mm]i \in M[/mm], so spricht man
> von einem homogonen (andernfalls inhomogenen) linearen
> gewöhnlichen Differentialgleichungssystem.
>  
> Die in blau markierten Definitionen habe ich hinzugefügt,
> damit die Definition vollständiger wird, denn da habe ich
> alle Begriffe wie homogen, linear, autonom usw. in einer
> einzigen Definition. Passen die Definitionen oder stimmen
> manche nicht?
>

Die Definitionen passen.

>
> Ihre Lösungen sind [mm]{\displaystyle n}-mal[/mm] differenzierbare
> Funktionen [mm]{\displaystyle y\colon I\to \mathbb {R} ^{m}},[/mm]
> welche die Differentialgleichung auf einem zu bestimmenden
> Intervall [mm]{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }[/mm]  erfüllen.
> Sucht man eine spezielle Lösung, welche zu gegebenen
> [mm]{\displaystyle x_{0}\in I}[/mm] und [mm]{\displaystyle y_{0},\dotsc ,y_{n-1}\in \mathbb {R} ^{m}}[/mm]
> zusätzlich [mm]{\displaystyle y(x_{0})=y_{0},\;y'(x_{0})=y_{1},\dotsc ,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{n-1}}[/mm]
> erfüllt, so bezeichnet man dies als Anfangswertproblem.
>  
> ____

Auch das passt.


______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

>  
>
> Und nach diesem Abschnitt bin ich mega verwirrt, denn:
>  
>
> Erstens)
>  
> Ich habe Probleme mit dem Definitionsbereich von [mm]f[/mm].
>  Die Menge [mm]\Omega[/mm] ist eine Teilmenge von [mm]\mathbb{R} \times \left ( \mathbb{R}^{m} \right )^{n + 1} = \mathbb{R}^{m (n + 1) + 1}[/mm].
>  
> Die Elemente von [mm]\Omega[/mm] sind also [mm]m (n + 1) + 1[/mm] -
> dimensionale Vektoren mit reellen Zahlen als Einträge.
>
> Aus [mm]f(x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n))[/mm] entnimmt man, dass [mm]f[/mm]
> von den Variablen [mm]x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)[/mm] abhängt.
>  
> Nehmen wir nun an, dass [mm]x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)[/mm]
> Zahlenvariablen sind (man setzt also nur Zahlen ein), da
> kann ich einen Vektor [mm]a \in \Omega[/mm] nicht in [mm]f[/mm] einsetzen, da
> [mm]a[/mm] mit seinen [mm]m(n+ 1) + 1[/mm] Einträgen mehr Werte hat, als man
> in den [mm]n + 1[/mm] Variablen einsetzen kann. Das macht für mich
> keinen Sinn.
>  
> Nehmen wir nun mal das an, was ich denke: Man kann die
> Variablen [mm]x, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n)[/mm] nicht miteinander
> vergleichen. Die Variable [mm]x[/mm] erwartet Zahlenwerte und die
> Variable  [mm]y^{(i)}[/mm] erwartet Funktionen, wobei nur [mm]x[/mm] und
> [mm]y^{(0)}[/mm] frei wählbar sind. Die restlichen Variablen
> hängen von  [mm]y^{(0)}[/mm] ab. Aber das ist doch nicht zulässig,
> da ein [mm]a \in \Omega[/mm] nur Zahlen als Einträge hat. Das
> heißt, ich kann [mm]a[/mm] ebenfalls nicht in [mm]f[/mm] einsetzen, da zwar
> [mm]x[/mm] eine Zahl erwartet, aber [mm]y^{(0)}[/mm] eine Funktion.
>  Das macht für mich auch keinen Sinn.
>  
> Was verstehe ich falsch?


Ich probiere es mal.

Sei $y: I [mm] \to \IR^m$ [/mm] eine n-mal differenzierbare (vektowertige Funktion.

Dann sind die Ableitungen [mm] $y^{(i)}:I \to \IR^m$ [/mm] ebenfalls vektorwertige Funktionen (i=1,...,n).


Für $x [mm] \in [/mm] I [mm] \subseteq \IR$, [/mm] so ist also

       $ [mm] (y(x),y^{(1)}(x), [/mm] .... [mm] y^{(n)}(x)) \in [/mm] ( [mm] \IR^m)^n$ [/mm]

und damit ist

        $ (x, [mm] y(x),y^{(1)}(x), [/mm] .... [mm] y^{(n)}(x)) \in \IR \times [/mm] ( [mm] \IR^m)^n$. [/mm]

Wegen [mm] $f=(f_1,....f_m)$ [/mm] kannst Du

  $ (x, [mm] y(x),y^{(1)}(x), [/mm] .... [mm] y^{(n)}(x))$ [/mm]

problemlos in $f$ einsetzen.




>  
>
> Zweitens)  (Nicht so schlimm)
>  
> Was genau meint man mit der Intervallbestimmung?
> Ich stelle mir das so vor:
>  
> Gegeben ist die DGL [mm]y'(x) = (y(x)^{2} - (2x + 1) y(x) + 1 + x + x^{2}[/mm].


Hier fehlt irgendwo eine Klammer ) Daher mache ich mir nicht die Mühe nachzurechnen, ob  [mm]y(x) = x + \frac{1}{De^{x}}[/mm] tatsächlich eine Lösung ist.



>  
> Die Lösung dazu lautet [mm]y(x) = x + \frac{1}{De^{x}}[/mm] mit [mm]D \in \mathbb{R}[/mm].
>
> Diese Lösung ist auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] definiert. Die Frage
> ist nun, ob [mm]y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x + \frac{1}{De^{x}}[/mm]
> die Lösung der DGL ist oder nicht. Es kann auch sein, dass
> es ein [mm]s \in \mathbb{R}[/mm] gibt, so dass [mm]y'(s) \neq (y(s)^{2} - (2s + 1) y(s) + 1 + s + s^{2}[/mm]
> gilt. Dann wäre [mm]y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x + \frac{1}{De^{x}}[/mm]
> nämlich keine Lösung der DGL und wir müssten den
> Definitionsbereich verkleinern, damit [mm]y[/mm] eine Lösung ist.
>  
> Verstehe ich das so richtig?

Ich denke schon. Ich mach Dir ein anders Beispiel:

Betrachten wir das Anfangswertproblem

[mm] $y'=1+y^2, [/mm] y(0)=0.$

Die Differentialgleichung kannst Du so schreiben $y'=f(x,y)$ mit [mm] $f(x,y)=1+y^2.$ [/mm]

$f$ ist auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] definiert. Die eindeutig bestimmte Lösung  des AWPs ist

    [mm] $y(x)=\tan [/mm] x,$

allerdings nur für $x [mm] \in [/mm] (- [mm] \pi/2, \pi/2).$ [/mm]

>  
>
> Würde mich riesig freuen, wenn mir jemand helfen kann.
>  Liebe Grüße,
>  
> Andrej
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
        
Bezug
Gewöhnliches DGL System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 Mi 17.02.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

mal eine Ergänzung zur Notation (und deinem Verständnis).
Du schreibst:

> Ich habe Probleme mit dem Definitionsbereich von $ f $.
> Die Menge $ [mm] \Omega [/mm] $ ist eine Teilmenge von $ [mm] \mathbb{R} \times \left ( \mathbb{R}^{m} \right )^{n + 1} [/mm] = [mm] \mathbb{R}^{m (n + 1) + 1} [/mm] $.
> Die Elemente von $ [mm] \Omega [/mm] $ sind also $ m (n + 1) + 1 $ - dimensionale Vektoren mit reellen Zahlen als Einträge.

Ich würde dir dringend raten dieses "umgerechne" sein zu lassen, denn es ist weder zielführend, noch hilfreich für dein Verständnis.

Die "Gleichung" $ [mm] \mathbb{R} \times \left ( \mathbb{R}^{m} \right )^{n + 1} [/mm] = [mm] \mathbb{R}^{m (n + 1) + 1} [/mm] $ kann man zwar so schreiben, wenn man weiß, was gemeint ist.
Es ist aber eben keine Gleichung im Sinne von zweier Mengen, die gleich sind.

Mal etwas vereinfacht: Wir betrachten den [mm] $(\IR^m)^n$. [/mm]
Du würdest nun schreiben: [mm] $(\IR^m)^n [/mm] = [mm] \IR^{nm}$ [/mm]

Aber: Auf der Linken Seite steht nun ein $n$-Komponenten Vektor, dessen Komponenten selbst wieder Vektoren des [mm] R^m [/mm] sind.
D.h. du hast n Einträge und jeder Eintrag ist selbst ein m-dimensionaler Vektor.

Rechts hingegen steht ein $nm$-dimensionaler Vektor, dessen Komponenten reelle Zahlen sind.

Dass die Mengen nicht gleich sind, ergibt sich nun daraus, dass sich die Elemente eklatant  unterscheiden.

D.h. deine Aussage

> Die Elemente von $ [mm] \Omega [/mm] $ sind also $ m (n + 1) + 1 $ - dimensionale Vektoren mit reellen Zahlen als Einträge.

ist schlichtweg falsch. Die Elemente von [mm] \Omega [/mm] sind 2-Tupel, deren erster Eintrag eine relle Zahl und zweiter Eintrag ein (n+1)-komponenten Vektor ist (dessen Einträge selbst wieder Vektoren das [mm] \IR^m [/mm] darstellen).

Du kannst die eine Menge zwar bijektiv auf die andere Abbilden und sie daher miteinander identifizieren… gleich sind sie aber nicht.
Und ich vermute sehr stark, dass dies ganz stark zu deinem Verständnisproblem beigetragen hat.

Freds Antwort zeigt dir schon, dass das mit den Vektoren aus dem [mm] \IR^m [/mm] hier elementar ist, denn:

> Sei $ y: I [mm] \to \IR^m [/mm] $ eine n-mal differenzierbare (vektowertige) Funktion.
> Dann sind die Ableitungen $ [mm] y^{(i)}:I \to \IR^m [/mm] $ ebenfalls vektorwertige Funktionen (i=1,...,n).

Das nützt dir absolut nichts, wenn du die Einträge vorher in einen "großen" Vektor des [mm] $\IR^{m(n+1)}$ [/mm] "zusammenziehst"

Gruß,
Gono

Bezug
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