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Grenzwert Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:56 Fr 01.03.2019
Autor: rubi

Hallo zusammen,

wie kann man den Grenzwert von [mm] n^{\bruch{2}{3}}*(\wurzel[3]{n+1}-\wurzel[3]{n}) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] berechnen ?
Scheinbar ergibt sich als Grenzwert 1/3.

Bei Quadratwurzeln würde ich mit dem 3.Binom erweitern.

Wenn ich umforme, komme ich auf [mm] (\wurzel[3]{1+\bruch{1}{n}}-1)*n. [/mm]
Aber auch hier komme ich nicht auf einen Grenzwert.

Kann mir jemand helfen ?

Viele Grüße
Rubi




        
Bezug
Grenzwert Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 Fr 01.03.2019
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>
> wie kann man den Grenzwert von
> [mm]n^{\bruch{2}{3}}*(\wurzel[3]{n+1}-\wurzel[3]{n})[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm]
> berechnen ?
> Scheinbar ergibt sich als Grenzwert 1/3.
>
> Bei Quadratwurzeln würde ich mit dem 3.Binom erweitern.

Wir haben aber 3. Wurzeln .....


>
> Wenn ich umforme, komme ich auf
> [mm](\wurzel[3]{1+\bruch{1}{n}}-1)*n.[/mm]
>  Aber auch hier komme ich nicht auf einen Grenzwert.
>
> Kann mir jemand helfen ?
>  
> Viele Grüße
>  Rubi
>  
>
>  

Vorweg: für reelle Zahlen a,b gilt:

[mm] a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). [/mm]

Überzeuge Dich davon !

Nun seien [mm] a=\wurzel[3]{n+1} [/mm] und [mm] b=\wurzel[3]{n} [/mm] . Das liefert:

[mm] \wurzel[3]{n+1}-\wurzel[3]{n}= \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}= \frac{1}{\wurzel[3]{(n+1)^2}+\wurzel[3]{(n+1)n}+\wurzel[3]{n^2}}. [/mm]

Im Nenner des letzten Bruchs klammere [mm] n^{2/3} [/mm] aus. Wenn Du das ganze dann mit [mm] n^{2/3} [/mm] multiplizierst, solltes Du sehen, wie der Grenzwert 1/3 entsteht.



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