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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mo 31.03.2008 | | Autor: | DannyL |
| Aufgabe | Berechnen Sie (gegebenenfalls nach elementarern Umformungen) die folgenden Grenzwerte:
lim [mm] (x^2 [/mm] -1) / [mm] (x^2 [/mm] + 1)
x -> 1 |
Bei dieser Aufgabe weiß ich überhaupt nicht wo ich anfangen soll. und warum x->1, was bedeutet das?
gruß danny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also um mal deine Aufgabe richtig hinzuschreiben.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\\1} [/mm] = [mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1} [/mm] $
Um den Grenzwert hierfür auszurechnen musst du einfach nur für x = 1 einstetzen.
Da kommt dann folgendes raus:
$ [mm] \bruch{0}{2} [/mm] = 0 $
Der Grenzwert beträgt also 0. D. h. an der Stelle x = 1 hat die Funktion den Wert 0.
Allerdings könnte ich mir eher vorstellen, dass du die Aufgabe falsch abgeschrieben hast und der Ansatz folgendermaßen heißen sollte:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\\1} [/mm] = [mm] \bruch{x^2+1}{x^2-1} [/mm] $
Der obere Ansatz ist zumindest für diesen einen Grenzwert ziemlich einfach.
MfG Michael
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mo 31.03.2008 | | Autor: | DannyL |
ok dann wars ja doch ganz einach
ich verstehe bei der ganzen geschichte nicht, wann ich die zahl einfach einsetzen kann oder wann ich diesen ganzen ausdruck umstellen muss
bei meiner aufgabe eben, ok da konnte man die eins einfach einsetzen
aber bei
lim (1+2x) / (x)
[mm] x->\infty
[/mm]
müsste ich jetzt über und unter dem bruchstrich das x ausklammern, kürzen und dann bleibt nur noch 1/x +2 übrig. ok wenn ich das sehe erscheint mir das auch logisch. aber da hätte ich doch auch einfach für x eine verdammt riesen zahl wie 9*10^99 einsetzen können.
ich weiß halt einfach nicht wann ich anfange umzustellen. bei der letzten aufgabe bin ich dran hängen geblieben, weil ich krampfhaft probiert habe alle x unter dem bruchstrich weg zubekommen.
gibt es da ein tipp
vielen dank schon mal im voraus
Gruß Danny
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Hallo!
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1+2x}{x}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{x}+\limes_{x\rightarrow\infty}2=0+2=2 [/mm]  Bei diesem Grenzwert strebt x gegen keine bestimmte Zahl sonder gegen [mm] +\infty [/mm] deshalb musst du hier umformen [mm] \to [/mm] Grenzwertsätze. Alternativ so du es wolltest eine große Zahl einsetzen aber beachte dass es nicht immer funktioniert.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sagen wir einmal das wir das hier berechnen sollen [mm] \limes_{x\rightarrow 2 }\bruch{1+2x}{x}=2,5 [/mm] denn für das x setzen wir 2 an weil die Funktion sich hier einer bestimmten Zahl annähert
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 31.03.2008 | | Autor: | DannyL |
Liege ich richtig, dass man generell sagen kann, dass sobald ein " x -> [mm] \infty [/mm] "
vorliegt man umstellen muss?
und man muss umstellen wenn unter dem bruchstrich, aufgrund des einsetzens der grenze, Null raus kommt?!
Bsp.:
lim (x - 1) / (x + 3)
x -> -3
Bei allen anderen Fällen kann ich einfach einsetzen!
Liege ich damit richtig und kann mir das so als merksatz einprägen??
gruß und danke
danny
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Also mit einem hast du recht. Wenn du schreibst
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\\-3} [/mm] = [mm] \bruch{x-1}{x+3} [/mm] $
darf der Nenner niemals $ x + 3 $ heißen. Den muss man dann umstellen. Aber so einen richtigen Merksatz gibt es hier nicht. Am besten ist einfach viel Übung. Dann bekommt man solche Sachen, die man einfach sehen muss, gut hin.
MfG Michael
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mo 31.03.2008 | | Autor: | DannyL |
Oh gott schon wieder so eine Frage. Wie gehe ich denn bei folgender frage vor
lim [mm] (x^3-2x+3) [/mm] / [mm] (x^2+1)
[/mm]
x -> [mm] \infty
[/mm]
umstellen? einfach nur große werte einsetzen? oder gar ncihts von beiden??
ich habe keine ahnung!
danke schonmal im voraus
Gruß Danny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Danny!
Klammere in Zähler und Nenner die höchste Potenz von $x_$ aus; hier also [mm] $x^3$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mo 31.03.2008 | | Autor: | DannyL |
dann bekomme ich
lim [mm] [x^3( [/mm] 1 - [mm] 2/x^2 [/mm] + [mm] 3/x^3)] [/mm] / [mm] [x^2(1 [/mm] + [mm] 1/x^2)]
[/mm]
[mm] x->\infty
[/mm]
aber was fange ich damit an?
wie gehe ich dann vor? ich kann ja nicht einfach irend eine zahl einsetzen!
lg danny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Danny!
Nun kannst Du ja schonmal [mm] $x^2$ [/mm] kürzen. Und betrachte nunmehr den großen Bruch. Dabei solltest Du wissen, dass jeder Teilbruch [mm] $\bruch{a}{x^k}$ [/mm] für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] gegen $0_$ strebt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mo 31.03.2008 | | Autor: | DannyL |
ahh ok! ich glaube ich habe es verstanden!
das heißt jeder Bruch, wobei x immer unter dem bruchstrich steht da wir die höchste potenz ausklammern, löse ich. das heißt [mm] 1/x^3 [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] würde dann 0 ergeben. so setze ich dann für jeden entstandenen bruch die zahl ein und kann dann weiter überlegen was raus kommt!
das heißt, aus meiner aufgabe
lim $ [mm] \bruch{x^3 -2x +3}{x^2 + 1} [/mm] $
[mm] x->\infty
[/mm]
daraus wird
lim $ [mm] \bruch{x^3( 1 - 2/x^2 + 3/x^3)}{x^2(1 + 1/x^2)} [/mm] $
[mm] x->\infty
[/mm]
gekürzt wird das draus
lim $ [mm] \bruch{x( 1 - 2/x^2 + 3/x^3)}{1 + 1/x^2} [/mm] $
[mm] x->\infty
[/mm]
darf man sicher jetzt eigentlich nicht so schreiben! Aber der einfach halber überlege ich mir jetzt bei jedem bruch was passiert wenn die zahl gegen [mm] \infty [/mm] geht
das heißt ich würde bekommen
lim $ [mm] \bruch{x( 1 - 0 + 0)}{1 + 0} [/mm] $
[mm] x->\infty
[/mm]
das heißt
lim $ [mm] \bruch{x}{1} [/mm] $
[mm] x->\infty
[/mm]
und damit weiß ich $ [mm] \bruch{\infty}{1} [/mm] $ --> ist [mm] \infty
[/mm]
ist das von der herleitung richtig??
denke ich habe es jetzt einigermaßen verstanden!
lg danny und vielen vielen dank für euere mühe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mo 31.03.2008 | | Autor: | DannyL |
| Aufgabe | lim [mm] \bruch{x^2 - x - 12}{x + 3}
[/mm]
x-> -3 |
noch eine Grenzwertfrage:
irgendwie komme ich nicht aufs richtige ergebnis. es soll -7 raus kommen. setze ich über all -2,99999999 ein komme ich auch genau darauf, aber das soll man ja eigentlch nicht machen, da es nicht immer funktioniert und irgendwie ja auch ein lösungsweg verlang ist.
also probiere ich es so
höchste potenz ausklammern
lim [mm] \bruch{x^2(1 - 1/x - 12/x^2)}{x(1 + 3/x)}
[/mm]
x-> -3
kürzen
lim [mm] \bruch{x(1 - 1/x - 12/x^2)}{1 + 3/x}
[/mm]
x-> -3
jetzt setze ich es wieder zusammen
lim [mm] \bruch{x - 1 - 12/x}{1 + 3/x}
[/mm]
x-> -3
und dann setze ich für mich als zwischenschritt -3 ein für jedes x
dann bekomme ich:
lim [mm] \bruch{-3 - 1 - 12/-3}{1 + 3/-3}
[/mm]
x-> -3
das macht
lim [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
x-> -3
--> ergibt 0
weiß jemand wo ich den fehler gemacht habe???
vielen lieben dank im voraus
danny
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Hallo Danny,
ich habe deine Rechnung jetzt nicht nachgeschaut, weil sie unnötig umständlich ist.
Es lohnt sich immer zuerst zu schauen, ob man nicht vllt. faktorisieren und dann kürzen kann.
Und tatsächlich:
Im Zähler steht [mm] $x^2-x-12$
[/mm]
Und das ist $=(x-4)(x+3)$
Also hast du [mm] $\frac{x^2-x-12}{x+3}=\frac{(x-4)\blue{(x+3)}}{\blue{x+3}}=x-4$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $x\to [/mm] -3$ doch genau gegen die gewünschten $-3-4=-7$
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mo 31.03.2008 | | Autor: | DannyL |
ach verdammt!!! ;)
vielen vielen dank
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Hallo, deine Rechnung ist bis auf den letzten Schritt korrekt, auch wenn sie dich leider nicht zum Ziel bringt, dort steht leider [mm] \bruch{0}{0}, [/mm] die Division durch Null ist doch aber nicht definiert!!!
Steffi
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