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| Aufgabe | Zeige: Für alle [mm]z\in\IC[/mm] gilt
1) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^z e^{-x} [/mm] = 0
2) [mm] \limes_{x \rightarrow von oben \rightarrow 0 } x^z e^{-\bruch{1}{x}} [/mm] = 0 |
Irgendwie hab ichs nicht so mit komplexen Zahlen...
1.) Wenn ich mir das erste mal mit nem reellen [mm]z[/mm] anschaue, dann sieht das mit mehrmals L'hospital so aus:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^z e^{-x} = \limes_{x\rightarrow\infty} zx^{z-1} e^{-x} =
\limes_{x\rightarrow\infty} zx^{z-1} e^{-x} =
\limes_{x\rightarrow\infty} z(z-1)x^{z-2} e^{-x} =
... =
\limes_{x\rightarrow\infty} z!x^{0} e^{-x} =
\limes_{x\rightarrow\infty} z! e^{-x}
[/mm]
das sollte jetzt iegentlich Null rauskommen, weil [mm] e^x [/mm] schneller wächst als [mm]z![/mm], aber den formalen Beweis für diese Tatsache hab ich auch noch nicht.
Und wie mache ich das dann für komplexe [mm]z[/mm]?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:50 Sa 24.05.2008 | | Autor: | moody |
Na zu 1)
Du hast doch [mm] e^{-x}
[/mm]
Und du hast richtig erkannt [mm] e^{-x} [/mm] wächst schneller als [mm] x^{z}
[/mm]
Und wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] gilt, also x gegen unendlich geht, geht [mm] e^{-x} [/mm] gegen 0, also 0 * [mm] x^{z}, [/mm] sprich der Term geht gegen 0.
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| Aufgabe | Zeige: Für alle [mm]z\in\IC[/mm] gilt
1) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^z e^{-x} [/mm] = 0
2) [mm] \limes_{x \rightarrow von oben \rightarrow 0 } x^z e^{-\bruch{1}{x}} [/mm] = 0 |
> Na zu 1)
>
> Du hast doch [mm]e^{-x}[/mm]
> Und du hast richtig erkannt [mm]e^{-x}[/mm] wächst schneller als
> [mm]x^{z}[/mm]
>
> Und wenn [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] gilt, also x gegen
> unendlich geht, geht [mm]e^{-x}[/mm] gegen 0, also 0 * [mm]x^{z},[/mm] sprich
> der Term geht gegen 0.
ja, aber kann ich einfach so behaupten [mm] e^x [/mm] wächst schneller als [mm] x^z? [/mm] vor allem weiß ich nicht ob das auch für [mm] x^z [/mm] mit [mm]z\in\IC[/mm] gilt.
Beides müsste ich ja auch erstmal beweisen...
Und dann noch zum zweiten Aufgabenteil:
Mit [mm]x[/mm] von oben [mm]\rightarrow 0[/mm] gilt [mm]\bruch{1}{x} \rightarrow \infty[/mm], also [mm]e^{\bruch{1}{x}}[/mm][mm]\rightarrow \infty[/mm]
gilt dann auch wieder dass [mm]e^{\bruch{1}{x}}[/mm] schneller gegen [mm]\infty[/mm] geht als [mm] x^z [/mm] ?
Wenn ja, warum?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Sa 24.05.2008 | | Autor: | moody |
Ja du könntest einfach die Graphen von [mm] e^{x} [/mm] und [mm] x^{z} [/mm] vergleichen, dabei fällt das auf.
Ob es da einen konkreten Beweis für gibt, könnte ich mir schon vorstellen, aber den muss man in diesem Zusammenhang wohl dafür nicht erbringen. Wir
haben das z.B. immer als gegeben betrachtet.
Zu 2)
Dass die e-Funktion hier wieder schneller wächst stimmt.
Du hast übringes ein -x vergessen, damit hat man wie in 1) wieder, dass die e-Funktion gegen 0 geht. Sprich der ganze Term läuft damit wieder gegen 0.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 01:17 So 25.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo moody,
> Na zu 1)
>
> Du hast doch [mm]e^{-x}[/mm]
>
> Und du hast richtig erkannt [mm]e^{-x}[/mm] wächst schneller als
[mm] $e^{-x}$ [/mm] wächst gar nicht, sondern ist monoton fallend.
> [mm]x^{z}[/mm]
Von wachsen oder fallen kann man bei [mm] $x^z$ [/mm] mMn nicht wirklich reden, denn bei [mm] $x^z$ [/mm] handelt es sich ja um eine komplexe Zahl, bei denen man nicht sagen kann, dass "eine komplexe Zahl größer als eine andere komplexe Zahl" wäre.
Höchstens könnte man vielleicht den Betrag von [mm] $|x^z|$ [/mm] betrachten, der muss allerdings für [mm] $x\to\infty$ [/mm] nicht monoton wachsend oder fallend sein:
Für $z=a+bi$ gilt:
[mm] $|x^z|=|e^{z*\ln x}|=|e^{(a+bi)*\ln x}|=|e^{a*\ln x} [/mm] * [mm] e^{bi*\ln x}|=|e^{a*\ln x}| [/mm] * [mm] \underbrace{|e^{bi*\ln x}|}_{=1}=e^{a*\ln x}=x^{a}$
[/mm]
Für $a<0$ ist [mm] $x^z$ [/mm] monoton fallend, für $a>0$ monoton wachsend.
> Und wenn [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] gilt, also x gegen
> unendlich geht, geht [mm]e^{-x}[/mm] gegen 0, also 0 * [mm]x^{z},[/mm] sprich
> der Term geht gegen 0.
Das geht mir auch ein bisschen zu schnell, das "also" passt da nicht rein, da das folgende nicht aus dem vorher gesagten folgt.
Viele Grüße,
Marc
P.S. Morgen vielleicht mehr dazu, falls mir nicht jemand zuvor kommt 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 So 25.05.2008 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen
> Zeige: Für alle [mm]z\in\IC[/mm] gilt
>
> 1) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^z e^{-x}[/mm] = 0
>
> 2) [mm]\limes_{x \rightarrow von oben \rightarrow 0 } x^z e^{-\bruch{1}{x}}[/mm]
> = 0
>
> Irgendwie hab ichs nicht so mit komplexen Zahlen...
>
> 1.) Wenn ich mir das erste mal mit nem reellen [mm]z[/mm] anschaue,
> dann sieht das mit mehrmals L'hospital so aus:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^z e^{-x} = \limes_{x\rightarrow\infty} zx^{z-1} e^{-x} =
\limes_{x\rightarrow\infty} zx^{z-1} e^{-x} =
\limes_{x\rightarrow\infty} z(z-1)x^{z-2} e^{-x} =
... =
\limes_{x\rightarrow\infty} z!x^{0} e^{-x} =
\limes_{x\rightarrow\infty} z! e^{-x}
[/mm]
Das geht aber nur, wenn $z$ eine natuerliche Zahl ist! Bei allgemeinen reellen Zahlen funktioniert das so nicht!
> das sollte jetzt iegentlich Null rauskommen, weil [mm]e^x[/mm]
> schneller wächst als [mm]z![/mm], aber den formalen Beweis für diese
> Tatsache hab ich auch noch nicht.
Also $z!$ ist eine Konstante, und [mm] $e^{-x}$ [/mm] geht gegen 0. Damit geht das ganze gegen 0.
> Und wie mache ich das dann für komplexe [mm]z[/mm]?
Was heisst [mm] $x^z$ [/mm] denn ueberhaupt? Das bedeutet doch [mm] $e^{z \log x}$.
[/mm]
Also sollst du [mm] $\lim_{x \to \infty} e^{z \log x} e^{-x}$ [/mm] berechnen. Nun ist [mm] $e^{z \log x} e^{-x} [/mm] = [mm] e^{z \log x - x}$.
[/mm]
Wie Marc schon gesagt hat, der Betrag davon ist interessant, da [mm] $\lim_{x \to \infty} [/mm] f(x) = 0$ genau dann gilt, wenn [mm] $\lim_{x \to \infty} [/mm] |f(x)| = 0$ ist.
Schreibe also $z = a + i b$, dann kannst du [mm] $|e^{z \log x - x}$ [/mm] ziemlich konkret ausrechnen. Dann kannst du noch die Stetigkeit von $t [mm] \mapsto e^t$ [/mm] ausnutzen und musst somit dann nur den Grenzwert im Exponenten (gegen [mm] $-\infty$) [/mm] zeigen.
LG Felix
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| Aufgabe | Zeige: Für alle [mm]z\in\IC[/mm] gilt
2) [mm] \limes_{x \rightarrow von oben \rightarrow 0 } x^z e^{-\bruch{1}{x}} [/mm] = 0 |
Hallo!
> Was heisst [mm]x^z[/mm] denn ueberhaupt? Das bedeutet doch [mm]e^{z \log x}[/mm].
>
> Also sollst du [mm]\lim_{x \to \infty} e^{z \log x} e^{-x}[/mm]
> berechnen. Nun ist [mm]e^{z \log x} e^{-x} = e^{z \log x - x}[/mm].
>
> Wie Marc schon gesagt hat, der Betrag davon ist
> interessant, da [mm]\lim_{x \to \infty} f(x) = 0[/mm] genau dann
> gilt, wenn [mm]\lim_{x \to \infty} |f(x)| = 0[/mm] ist.
>
> Schreibe also [mm]z = a + i b[/mm], dann kannst du [mm]|e^{z \log x - x}[/mm]
> ziemlich konkret ausrechnen. Dann kannst du noch die
> Stetigkeit von [mm]t \mapsto e^t[/mm] ausnutzen und musst somit dann
> nur den Grenzwert im Exponenten (gegen [mm]-\infty[/mm]) zeigen.
>
> LG Felix
>
Danke erstmal!
Damit hab ich schon den ersten Aufgabenteil gelöst ([mm]\lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \gdw \lim_{x \to \infty} |f(x)| = 0[/mm] wusste ich nicht mehr), auch wenn ich nicht genau weiß, warum ich die stetigkeit der e-funktion brauche.
nun aber noch kurz zum zweiten Aufgabenteil: Da kann ich ja obige [mm]\gdw[/mm]-Beziehung nicht anwenden, oder?
wie zeige ich dann dass [mm]e^{-\bruch{1}{x}}[/mm] schneller gegen 0 geht als [mm]x^z=e^zlogx[/mm]? gegen [mm]\infty[/mm]?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 So 25.05.2008 | | Autor: | Knoedel |
Schreib doch einfach wieder z als a+bi, [mm] x^z [/mm] als e^(z*log x) und e^bi als cos b + i sin b.
INsgesamt hast du dann stehen: [mm] x^z [/mm] * e^(-1/x) = [mm] ((x^a)/e^{1/x})*(cos [/mm] (b*log x) + i*sin (b log x)).
Die Beträge von sinus und cosinus liegen jeweils zwischen 0 und 1, die ganze hintere Klammer also zwischen 0 und 2.
Du hast dann also:
0 [mm] \le \limes_{n\rightarrow\0} x^z [/mm] * e^(-1/x) [mm] \le [/mm] 2* [mm] \limes_{n\rightarrow\0} ((x^a)/e^{1/x}).
[/mm]
Auf [mm] \limes_{n\rightarrow\0} ((x^a)/e^{1/x}) [/mm] kannst du a-mal L'Hopital anwenden, dann hast du [mm] \limes_{n\rightarrow\0} [/mm] (a!/e^(1/x).
Das geht gegen 0 und somit ist dein gesuchter Limes [mm] \le [/mm] 0 und [mm] \ge [/mm] 0, also = 0.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:55 So 25.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Schreib doch einfach wieder z als a+bi, [mm]x^z[/mm] als e^(z*log x)
> und e^bi als cos b + i sin b.
> INsgesamt hast du dann stehen: [mm]x^z[/mm] * e^(-1/x) =
> [mm]((x^a)/e^{1/x})*(cos[/mm] (b*log x) + i*sin (b log x)).
> Die Beträge von sinus und cosinus liegen jeweils zwischen
> 0 und 1, die ganze hintere Klammer also zwischen 0 und 2.
Die ist sogar vom Betrag her genau 1, weil [mm] $\sin^2 [/mm] t + [mm] \cos^2 [/mm] t = 1$ ist.
> Du hast dann also:
> 0 [mm]\le \limes_{n\rightarrow\0} x^z[/mm] * e^(-1/x) [mm]\le[/mm] 2*
> [mm]\limes_{n\rightarrow\0} ((x^a)/e^{1/x}).[/mm]
Vorsicht! Du hast hier komplexe Zahlen, da kannst du nicht Vergleichen!
Du meinst: $0 [mm] \le \lim_{n\to0+} |x^z e^{-1/x}| [/mm] = [mm] \lim_{n\to0+} \frac{x^a}{e^{1/x}}$.
[/mm]
> Auf
> [mm]\limes_{n\rightarrow\0} ((x^a)/e^{1/x})[/mm] kannst du a-mal
> L'Hopital anwenden, dann hast du [mm]\limes_{n\rightarrow\0}[/mm]
> (a!/e^(1/x).
> Das geht gegen 0 und somit ist dein gesuchter Limes [mm]\le[/mm] 0
> und [mm]\ge[/mm] 0, also = 0.
Seit wann ist $a$ eine natuerliche Zahl?
LG Felix
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