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Forum "Algebra" - Gruppenhomomorphismus
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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Mi 25.10.2006
Autor: sternchen19.8

Aufgabe
Zeigen sie, dass die folgende Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist und bestimmen sie jeweils Kern und Bild:
[mm] \alpha: \IR [/mm] --> GL(2, [mm] \IR), t-->(\pmat{ 1 & t \\ 0 & 1 }) [/mm]

Meine Frage ist jetzt, wie ich das beweisen kann.
Wir haben schon:
[mm] f(t_1°t_2)=f(t_1)°f(t_2) [/mm]
d.h., [mm] f(t_1*t_2)=(\pmat{ 1 & t_1*t_2 \\ 0 & 1 }), [/mm]
aber das ist leider nicht das selbe, wie
[mm] f(t_1)*f(t_2)=(\pmat{ 1 & t_1+t_2 \\ 0 & 1 }). [/mm]
Könnt ihr mir bei meinem Denkfehler weiterhelfen.
Vielen Dank

        
Bezug
Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:01 Mi 25.10.2006
Autor: statler

Hey Sternchen!

> Zeigen sie, dass die folgende Abbildung ein
> Gruppenhomomorphismus ist und bestimmen sie jeweils Kern
> und Bild:
>  [mm]\alpha: \IR[/mm] --> GL(2, [mm]\IR), t-->(\pmat{ 1 & t \\ 0 & 1 })[/mm]

>  
> Meine Frage ist jetzt, wie ich das beweisen kann.
>  Wir haben schon:
>  [mm]f(t_1°t_2)=f(t_1)°f(t_2)[/mm]
>  d.h., [mm]f(t_1*t_2)=(\pmat{ 1 & t_1*t_2 \\ 0 & 1 }),[/mm]
>  aber
> das ist leider nicht das selbe, wie
> [mm]f(t_1)*f(t_2)=(\pmat{ 1 & t_1+t_2 \\ 0 & 1 }).[/mm]

...aber das ist dasselbe wie [mm] f(t_{1} [/mm] + [mm] t_{2}) [/mm]

Konnte ich dir bei deinem Denkfehler weiterhelfen?

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Mi 25.10.2006
Autor: sternchen19.8

Vielen Dank erstmal, aber irgendwie steh ich immer noch auf dem Schlauch.
Warum muss ich jetzt die Verknüpfung + einbringen?
Ist es egal, ob * oder +?
Sorry, aber ist schon so lange her.

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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Mi 25.10.2006
Autor: statler


> Vielen Dank erstmal, aber irgendwie steh ich immer noch auf
> dem Schlauch.
> Warum muss ich jetzt die Verknüpfung + einbringen?
>  Ist es egal, ob * oder +?
>  Sorry, aber ist schon so lange her.

Weil [mm] \IR [/mm] mit * (wegen der bl...n Null) überhaupt keine Gruppe ist, nur [mm] \IR [/mm] mit +.
Und dann funktioniert es ja auch!

Noch ein Gruß
Dieter



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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:16 Mi 25.10.2006
Autor: sternchen19.8

Achso, super, vielen Dank! Kannst du mir aber noch dabei helfen, wie ich das für die nächste Aufgabe beweisen soll:
[mm] \gamma: [/mm] Mat(n, [mm] \IC)--> [/mm] Mat(n, [mm] \IC), A-->A+A^T [/mm]
Diesmal hab ich keinen Ansatz.

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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Mi 25.10.2006
Autor: statler

Rechne doch einfach mal [mm] \gamma [/mm] (A), [mm] \gamma [/mm] (B) und [mm] \gamma [/mm] (A+B) aus und vergleiche die Ergebnisse. (Selbst ist die Frau. [Jedenfalls sollte sie das ein bißchen sein.])

3. Gruß
Dieter



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Gruppenhomomorphismus: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:34 Mi 25.10.2006
Autor: sternchen19.8

Die selbstständige Frau, hat es geschafft:-)! Vielen Dank.
Mein letztes Problem ist jetzt aber noch, wie ich den Kern und das Bild bestimmen kann.

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Gruppenhomomorphismus: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:38 Mi 25.10.2006
Autor: statler

So weit super [ok]

Jetzt für welche Abb. den Kern und das Bild?
Kern ist Urbild des neutralen Elementes, also leg mal los ...

Dieter


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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Mi 25.10.2006
Autor: sternchen19.8

Erstmal geht es mir um die letzte Abbildung mit der Matrix.
Das neutrale Element der Matrix ist die Nullmatrix.
Und dazu muss ich jetzt das Urbild finden?

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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Mi 25.10.2006
Autor: statler

Genau! Für welche Matrizen A ist denn A + [mm] A^{T} [/mm] = 0?

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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mi 25.10.2006
Autor: sternchen19.8

Mir fällt spontan eigentlich nur die Nullmatrix ein.
Gibt es noch mehr?

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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Mi 25.10.2006
Autor: statler

Oja! Versuch es doch mal mit einer (allgemeinen) 2x2-Matrix, das ergibt dann Gleichungen für die Einträge der Matrix.

Dieter

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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Mi 25.10.2006
Autor: sternchen19.8

Allgemeine 2x2-Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & -a \\ a & 0 } [/mm]
Addiert man dazu die Transponierte Matrix, ergibt das immer die Nullmatrix. Richtig?

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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Mi 25.10.2006
Autor: statler

Da bist du genau auf der richtigen Spur! Jetzt versuch mal, das zu verallgemeinern.

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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Mi 25.10.2006
Autor: sternchen19.8

[mm] \pmat{ 0 &-a_12&...&-a_1n \\a_21 & ... &...&...\\...&...&...&...\\a_n&...&a_mn&0 } [/mm]
Geht das so, oder ist das immer noch nicht allgemein genug?

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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 Mi 25.10.2006
Autor: statler

Und jetzt solltest du die Test- und Probierphase beenden und deine Erkenntnisse in einen mathematisch ansprechenden Text gießen. Bei deiner Matrix sind die Indizes durcheinandergeraten.

Beh.: A = [mm] (a_{ij}) \in ker(\gamma) \gdw a_{ij} [/mm] = ...

Bew.: ...



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Gruppenhomomorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Mi 25.10.2006
Autor: sternchen19.8

Vielen Dank für deine Bemühungen. Muss jetzt leider los, werd mir aber dazu nochmal meine Gedanken machen.
Vielen Dank

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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Mi 25.10.2006
Autor: zahlenspieler

Hallo sternchen19.8,
ist A eine nxn-Matrix mit A [mm] +A^T=O [/mm] (gemeint ist die Nullmatrix). D.h. [mm]\label{eq:1} a_{ij}+a_{ji}=0[/mm] für [mm]1 \le i \le j \le n[/mm]. (Der Fall j<i "erledigt sich" wegen der "Symmetrie" der linken Seite von Gl. [mm][mm] \label{eq:1}.) [/mm]
Dann bekommst Du folgendes:
[mm]a_{ij}=\begin{cases} 0 & \mbox{falls $i=j$} \\ -a_{ji} & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm]
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler

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Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 Mi 25.10.2006
Autor: zahlenspieler


> Zeigen sie, dass die folgende Abbildung ein
> Gruppenhomomorphismus ist und bestimmen sie jeweils Kern
> und Bild:
>  [mm]\alpha: \IR[/mm] --> GL(2, [mm]\IR), t-->(\pmat{ 1 & t \\ 0 & 1 })[/mm]

>  
> Meine Frage ist jetzt, wie ich das beweisen kann.
>  Wir haben schon:
>  [mm]f(t_1°t_2)=f(t_1)°f(t_2)[/mm]
>  d.h., [mm]f(t_1*t_2)=(\pmat{ 1 & t_1*t_2 \\ 0 & 1 }),[/mm]
>  aber
> das ist leider nicht das selbe, wie
> [mm]f(t_1)*f(t_2)=(\pmat{ 1 & t_1+t_2 \\ 0 & 1 }).[/mm]

Hallo,
i.A. gehört zur vollständigen Angabe der Gruppe auch die Verknüpfung: Steht in Deiner Aufgabe, daß [mm](\IR, *)[/mm] abgebildet werden soll? :-) Probier's dochmal mit der Addition in [mm]\IR[/mm].
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler

Bezug
                
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Gruppenhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Mi 25.10.2006
Autor: sternchen19.8

Das es ein Gruppenhomomorphismus ist, habe ich schon bewiesen. Mir ist nur nicht ganz klar, wie ich den Kern und das Bild bestimmen soll.

Bezug
                        
Bezug
Gruppenhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:37 Fr 27.10.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Morgen,

der Kern ist die Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] die auf das neutrale Element von [mm] GL(2,\IR) [/mm] abgebildent wird, und dieses ist .....


... die Einheitsmatrix, also  [mm] Kern(\ldots [/mm] ) [mm] =\{0\} [/mm]

Das Bild ist die Menge der oberen Dreiecksmatrizen mit Diagonaleinträgen 1, insbes. Determinante 1, also eine Untergruppe der [mm] SO(2,\IR), [/mm] richtig ?

Viele Grüße,

Mathias

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