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Forum "Uni-Stochastik" - σ-Algebra und Zähldichte
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σ-Algebra und Zähldichte: Verständnisfragen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Sa 28.04.2018
Autor: Hela123

Aufgabe
Sei Ω höchstens abzählbar unendlich und sei  p: Ω→[0,1] eine Zähldichte, d.h.∑ω∈Ω p(ω)=1. Sei G:={{ω}|ω∈Ω}⊂2^Ω (wobei 2^Ω die Potenzmenge von Ω ist).

1) Gebe die kleinste σ-Algebra A:=σ(G) mit G ⊆ A ⊆2^Ω an und beweise, dass es keine kleinere geben kann.

2) Gebe ein Wahrscheinlichkeitsmaß P:A →[0,1] mit P({ω}) = p(ω) für alle ω∈Ω an und beweise, dass dieses Maß eindeutig bestimmt ist.

Hallo Forum,

ich studiere Informatik (noch ganz am Anfang) und habe Anlaufschwierigkeiten beim Fach Stochastik. Vor allem komme ich mit den ganzen Begriffen / Bezeichnungen durcheinander.

zu 1) Meine erste Frage:

Was ist eigentlich dieses G? Ich habe die Definition von G so verstanden: G ist Menge aller Ergebnismengen, die im Ergebnisraum Ω vorkommen. Heißt das, dass in G diese Ergebnisse aus Ω einfach in Mengenklammern stehen (siehe Beispiel)?

Ich nehme an, die kleinste σ-Algebra wäre die Potenzmenge von Ω, A:=σ(G)=2^Ω.

Ist es richtig?

Beispiel Würfel:

    Ω={1,2,3,4,5,6}
    G={{1},{2},{3},{4},{5},{6}}
    A:=σ(G)={{},Ω,{1},{2,3,4,5,6},{1,2},{3,4,5,6},...}

Macht es Sinn?

Wenn ja, wie kann ich beweisen (für den allgemeinteren Fall), dass diese σ-Algebra (also Potenzmenge) die kleinste ist?


zu 2) Also, wenn ich es richtig verstanden habe:
P({ω}) = p(ω) d.h. beispielsweise beim Würfeln: P({1})=p(1)=1/6.

Dann denke ich, dass Wahrscheinlichkeitsmaß P(A) = ∑ω∈Ω P({ω}) = ∑ω∈Ω p(ω) = 1. Ist es richtig?

Wie kann ich dann zeigen, dass dieses Maß eindeutig bestimmt ist?

Vielen Dank im Voraus!

Hela123

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
https://forum.selfhtml.org/self/2018/apr/28/stochastik-s-algebra-und-zaehldichte/1720724#m1720724


        
Bezug
σ-Algebra und Zähldichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:26 So 29.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg: Nutze doch bitte [mm] $\LaTeX$, [/mm] d.h. den Formeleditor um deine Formel zu schreiben… das macht das Lesen deutlich einfacher, und auch das antworten!

> ich studiere Informatik (noch ganz am Anfang) und habe
> Anlaufschwierigkeiten beim Fach Stochastik. Vor allem komme
> ich mit den ganzen Begriffen / Bezeichnungen
> durcheinander.

Das kommt mit der Zeit :-)
  

> zu 1) Meine erste Frage:
>  
> Was ist eigentlich dieses G?

Ganz allgemein: Eine Menge von einelementigen Mengen.

>  Ich habe die Definition von G so verstanden: G ist Menge aller Ergebnismengen, die im Ergebnisraum Ω vorkommen. Heißt das, dass in G diese Ergebnisse aus Ω einfach in Mengenklammern stehen (siehe Beispiel)?

Fast… G ist die Menge aller einelementigen Ergebnismengen.


> Ich nehme an, die kleinste σ-Algebra wäre die Potenzmenge
> von Ω, A:=σ(G)=2^Ω.
>  
> Ist es richtig?

Ja.

> Wenn ja, wie kann ich beweisen (für den allgemeinteren
> Fall), dass diese σ-Algebra (also Potenzmenge) die
> kleinste ist?

Du möchtest zeigen: [mm] $2^\Omega [/mm] = [mm] \sigma(G)$ [/mm]
Relativ oft zeigt man die Gleichheit zweier Mengen, indem man erst [mm] $\subseteq$ [/mm] und dann [mm] $\supseteq$ [/mm] zeigt.

Trivial ist hier tatsächlich die Inklusion [mm] $2^\Omega \supseteq \sigma(G)$ [/mm] (wieso?)

Bleibt also z.Z. [mm] $2^\Omega \subseteq \sigma(G)$ [/mm]
Und das zeigt man, indem man für ein $A [mm] \in 2^\Omega$ [/mm] nachweist, dass auch [mm] $A\in\sigma(G)$ [/mm] gilt, d.h. sich $A$ mit Hilfe von [mm] $\sigma$-Operationen [/mm] (d.h. abzählbare Vereinigung, abzählbarer Schnitt oder Komplementbildung) aus Elementen von $G$ darstellen lässt.

Beachte dazu, was du über [mm] $\Omega$ [/mm] weißt, was dann für $A [mm] \subseteq [/mm] G$ gelten muss… und schon ist die Sache eigentlich gegessen.

> zu 2) Also, wenn ich es richtig verstanden habe:
>  P({ω}) = p(ω) d.h. beispielsweise beim Würfeln:
> P({1})=p(1)=1/6.

Jo.

> Dann denke ich, dass Wahrscheinlichkeitsmaß P(A) =
> ∑ω∈Ω P({ω}) = ∑ω∈Ω p(ω) = 1. Ist es
> richtig?

Aufpassen mit der Notation. Nicht mal A und mal [mm] $\Omega$ [/mm] schreiben…

> Wie kann ich dann zeigen, dass dieses Maß eindeutig bestimmt ist?

"Eindeutig bestimmt" bedeutet: Für jedes andere Maß Q, mit den selben Eigenschaften, gilt automatisch $P=Q$.

Wenn man das hier ausschreibt, ist das aber relativ trivial, denn es gilt:
$P(A) = [mm] \ldots$ [/mm]
$Q(A) = [mm] \ldots$ [/mm]

Und wenn man es sauber aufschreibt, steht bei [mm] $\ldots$ [/mm] dasselbe jeweils, also gilt $P(A) = [mm] \ldots [/mm] = Q(A)$
Füll die [mm] $\ldots$ [/mm] mal :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
σ-Algebra und Zähldichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 So 29.04.2018
Autor: Hela123

Hallo Gono,

vielen Dank für die ausführliche und sehr hilfreiche Antwort!

> vorweg:  Nutze doch bitte $ [mm] \LaTeX [/mm] $, d.h. den Formeleditor um deine Formel zu schreiben… das macht das Lesen deutlich einfacher, und auch das antworten!

Danke für den Hinweis! Ich werde mir Mühe geben!:-)

> Du möchtest zeigen: [mm]2^\Omega = \sigma(G)[/mm]
> Relativ oft zeigt man die Gleichheit zweier Mengen, indem man erst [mm]\subseteq[/mm] und dann [mm]\supseteq[/mm] zeigt.  
> Trivial ist hier tatsächlich die Inklusion [mm]2^\Omega \supseteq \sigma(G)[/mm] (wieso?)

Weil [mm]2^\Omega[/mm] die größte [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist?

> Bleibt also z.Z. [mm]2^\Omega \subseteq \sigma(G)[/mm]
>  Und das zeigt man, indem man für ein [mm]A \in 2^\Omega[/mm] nachweist, dass auch [mm]A\in\sigma(G)[/mm] gilt, d.h. sich [mm]A[/mm] mit Hilfe von [mm]\sigma[/mm]-Operationen (d.h. abzählbare Vereinigung, abzählbarer Schnitt oder Komplementbildung) aus Elementen von [mm]G[/mm] darstellen lässt.

Hier tue ich mich wieder etwas schwerer. Also noch mal: Ich muss zeigen, dass [mm]A \in 2^\Omega[/mm] sich aus Elementen von G darstellen lässt (unter Vereinigung, Schnitt oder Komplementbildung).
(Sorry für die Wiederholungen, aber ich muss das noch mal sortieren).

> Beachte dazu, was du über [mm]\Omega[/mm] weißt, was dann für [mm]A \subseteq G[/mm] gelten muss… und schon ist die Sache eigentlich gegessen.

Warum gilt denn [mm]A \subseteq G[/mm]? G ist doch Menge aller einelementigen Ergebnismengen und A ist beliebig (Also nicht zwingen einelementig). Wäre nicht richtiger zu sagen, [mm]A \subseteq \sigma (G)[/mm]? (Ich bin nicht erbsenzählerisch, ich will nur die ganze Ausdrücke verstähen: bei Mathe muss man immer so genau sein...:-)).

Also kann man sagen, dass eine beliebige Ergebnismenge A kann z.B. als Vereinigung von Einzelereignissen dargestellt werden. Und jedes Einzelereignis entsprechend in G vorhanden ist. Und diese Einzelereignisse aus G sich entsprechend mit Hilfe von [mm]\sigma[/mm]-Operationen (in diesem Fall Vereinigung) als A darstellen lassen. Und damit gilt auch [mm]A \in 2^\Omega[/mm].

Ist es richtig? Oder eher: Ist etwas davon richtig?
  

>  "Eindeutig bestimmt" bedeutet: Für jedes andere Maß Q, mit den selben Eigenschaften, gilt automatisch [mm]P=Q[/mm].

Welche Eigenschaften sind damit gemeint?
Heißt das:
- sei q: Ω→[0,1] eine Zähldichte mit [mm]\sum_{\omega\in\Omega} q(\omega]=1[/mm]
und/oder
- [mm]Q(\{\omega\})=q(\omega)[/mm] ?

> Wenn man das hier ausschreibt, ist das aber relativ trivial, denn es gilt:
>  [mm]P(A) = \ldots[/mm]
>  [mm]Q(A) = \ldots[/mm]
>  
> Und wenn man es sauber aufschreibt, steht bei [mm]\ldots[/mm]
> dasselbe jeweils, also gilt [mm]P(A) = \ldots = Q(A)[/mm]
>  Füll die
> [mm]\ldots[/mm] mal :-)

Also ich versuche mal:
[mm]P(A)=\sum_{\omega\in A} P(\{\omega\})=\sum_{\omega\in A} p(\omega)=\sum_{\omega\in\Omega} q(\omega)=\sum_{\omega\in A} Q(\{\omega\})=Q(A)[/mm]
Ist es richtig?

Vielen Dank noch mal!
Hela123


Bezug
                        
Bezug
σ-Algebra und Zähldichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 So 29.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Weil [mm]2^\Omega[/mm] die größte [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist?

Ja. [mm] $2^\Omega$ [/mm] ist sogar "mehr", nämlich die Potenzmenge, d.h. die Menge aller Teilmengen!
D.h. jedes Mengensystem (so nennt man Mengen von Mengen) muss zweingend eine Teilmenge der Potenzmenge sein.

> Hier tue ich mich wieder etwas schwerer. Also noch mal: Ich
> muss zeigen, dass [mm]A \in 2^\Omega[/mm] sich aus Elementen von G
> darstellen lässt (unter Vereinigung, Schnitt oder
> Komplementbildung).
>  (Sorry für die Wiederholungen, aber ich muss das noch mal
> sortieren).

Völlig ok und auch völlig korrekt.

> > Beachte dazu, was du über [mm]\Omega[/mm] weißt, was dann für [mm]A \subseteq G[/mm]
> gelten muss… und schon ist die Sache eigentlich
> gegessen.
>  
> Warum gilt denn [mm]A \subseteq G[/mm]? G ist doch Menge aller
> einelementigen Ergebnismengen und A ist beliebig (Also
> nicht zwingen einelementig). Wäre nicht richtiger zu
> sagen, [mm]A \subseteq \sigma (G)[/mm]? (Ich bin nicht
> erbsenzählerisch, ich will nur die ganze Ausdrücke
> verstähen: bei Mathe muss man immer so genau sein...:-)).

Du hast völlig recht… und nebenbei einen Fehler von mir damit gefunden.
Ich meinte natürlich $A [mm] \subseteq \Omega$. [/mm]
Dass $A [mm] \in\sigma(G)$ [/mm] liegt, wollen wir ja erst noch zeigen… und aufpassen mit der Notation: $A [mm] \subseteq \sigma(G)$ [/mm] wäre falsch!
A ist ja eine Teilmenge von [mm] $\Omega$, [/mm] d.h. $A [mm] \subseteq \Omega$, $\sigma(G)$ [/mm] ist jedoch eine Teilmenge der Potenzmenge von Omega, d.h. [mm] $\sigma(G) \subseteq 2^\Omega$. [/mm]
Oder im bei der Bezeichnung von vorhin zu [mm] bleiben:$\sigma(G)$ [/mm] ist ein Mengensystem aus Teilmengen von [mm] $\Omega$. [/mm]
Da $A$ eine Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] ist, kann A nur ein Element aus [mm] $\sigma(G)$ [/mm] sein, nicht jedoch eine Teilmenge!


> Also kann man sagen, dass eine beliebige Ergebnismenge A
> kann z.B. als Vereinigung von Einzelereignissen dargestellt werden.

Ja, warum kann A so dargestellt werden?

> Und jedes Einzelereignis entsprechend in G
> vorhanden ist. Und diese Einzelereignisse aus G sich
> entsprechend mit Hilfe von [mm]\sigma[/mm]-Operationen (in diesem
> Fall Vereinigung) als A darstellen lassen. Und damit gilt
> auch [mm]A \in 2^\Omega[/mm].

Du meinst sicherlich: Und damit gilt auch [mm] $A\in\sigma(G)$. [/mm]


> Ist es richtig? Oder eher: Ist etwas davon richtig?

Das ist völlig richtig, jetzt bitte noch in mathematischer Notation aufschreiben :-)
  

> >  "Eindeutig bestimmt" bedeutet: Für jedes andere Maß Q,

> mit den selben Eigenschaften, gilt automatisch [mm]P=Q[/mm].
>  
> Welche Eigenschaften sind damit gemeint?
>  Heißt das:
>  - sei q: Ω→[0,1] eine Zähldichte mit
> [mm]\sum_{\omega\in\Omega} q(\omega]=1[/mm]
>  und/oder
>  - [mm]Q(\{\omega\})=q(\omega)[/mm] ?

Die selben Eigenschaften bedeutet sogar:
[mm]Q(\{\omega\})=p(\omega)[/mm]!
Denn die Vorgabe ist ja: [mm] $P(\{\omega\}) [/mm] = [mm] p(\omega)$ [/mm]


> Also ich versuche mal:
>  [mm]P(A)=\sum_{\omega\in A} P(\{\omega\})=\sum_{\omega\in A} p(\omega)=\sum_{\omega\in\Omega} q(\omega)=\sum_{\omega\in A} Q(\{\omega\})=Q(A)[/mm]

[ok]
Den Schritt mit den [mm] $q(\omega)$ [/mm] kannst du nach obigem weglassen.

> Ist es richtig?

Sieht alles schon sehr gut aus.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
σ-Algebra und Zähldichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 So 29.04.2018
Autor: Hela123

Hallo Gono,

und wieder ein ganz herzliches Dankeschön für die schnelle und hilfreiche Antwort!

>  Du hast völlig recht… und nebenbei einen Fehler von mir damit gefunden.
>  Ich meinte natürlich [mm]A \subseteq \Omega[/mm]. Dass [mm]A \in\sigma(G)[/mm] liegt, wollen wir ja erst noch zeigen… und aufpassen mit der Notation: [mm]A \subseteq \sigma(G)[/mm] wäre falsch!
>  A ist ja eine Teilmenge von [mm]\Omega[/mm], d.h. [mm]A \subseteq \Omega[/mm], [mm]\sigma(G)[/mm] ist jedoch eine Teilmenge der Potenzmenge von Omega, d.h. [mm]\sigma(G) \subseteq 2^\Omega[/mm].
>  Oder im bei der  Bezeichnung von vorhin zu bleiben:[mm]\sigma(G)[/mm] ist ein Mengensystem aus Teilmengen von [mm]\Omega[/mm]. Da [mm]A[/mm] eine Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] ist, kann A nur ein Element aus [mm]\sigma(G)[/mm] sein, nicht jedoch eine Teilmenge!

Ganz schon verwirrend, das Ganze, aber jetzt wird es klarer, danke!

> > Also kann man sagen, dass eine beliebige Ergebnismenge A
> > kann z.B. als Vereinigung von Einzelereignissen dargestellt
> werden.
> Ja, warum kann A so dargestellt werden?

Hmm, darüber habe ich nicht richtig nachgedacht.
Gilt es nicht im Allgemeinen:
[mm]A=\{a,b,c\}=\{a\}\cup\{b\}\cup\{c\}[/mm]?

Oder meinst Du, dass genau hier zum Einsatz kommt, dass [mm]\Omega[/mm] höchstens abzählbar unendlich ist? Macht Sinn! (Oder?)

> > Und damit gilt auch [mm]A \in 2^\Omega[/mm].
>  Du meinst sicherlich: Und damit gilt auch [mm]A\in\sigma(G)[/mm].

Genau, muss man echt aufpassen!

>  Die selben Eigenschaften bedeutet sogar:
>  [mm]Q(\{\omega\})=p(\omega)[/mm]!
>  Denn die Vorgabe ist ja: [mm]P(\{\omega\}) = p(\omega)[/mm]

Stimmt! Alles klar!:-)

Noch mal schönen Dank!
Hela123

Bezug
                                        
Bezug
σ-Algebra und Zähldichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 So 29.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hmm, darüber habe ich nicht richtig nachgedacht.
> Gilt es nicht im Allgemeinen:
>  [mm]A=\{a,b,c\}=\{a\}\cup\{b\}\cup\{c\}[/mm]?

Ja, oder anders aufgeschrieben, es gilt immer: $A = [mm] \bigcup_{a \in A} \{a\}$ [/mm]
Aber: Unter welchen Bedingungen ist das denn höchstens eine abzählbare Vereinigung?


> Oder meinst Du, dass genau hier zum Einsatz kommt, dass
> [mm]\Omega[/mm] höchstens abzählbar unendlich ist? Macht Sinn!

Genau dann!

Um dir mal ein Gegenbeispiel zu nennen: Natürlich gilt: $[0,1] = [mm] \bigcup_{x\in[0,1]} \{x\}$ [/mm] Aber das wäre eben keine abzählbare Vereinigung mehr.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
σ-Algebra und Zähldichte: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:17 Mo 30.04.2018
Autor: Hela123

Hallo Gono,

jetzt hast Du aber alle meine Fragen beantwortet!:-) Danke nochnmals dafür!

Ich hatte, ehrlich gesagt, nicht zwingend erwartet, dass ich im Forum fündig werde: Also, das Gegenteil ist der Fall und ich werde den Forum sicher noch oft benutzen!

Schönen Gruß
Hela123

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