Injektiv,Surjektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Do 16.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Ich weiß, diese Fragen werden zum x-ten Mal gestellt, ich war auch schon im Archiv, habe zwar Ansätze entdeckt (die mir selbst einleuchtend sind, aber es hilft mir bei meinem Problem nicht weiter)
Also, die Aufgabenstellung ist
Wenn g [mm] \circ [/mm] f surjektiv ist und g injektiv ist, dann ist f surjektiv.
Wenn ich mir das ganze als Mengendiagramm aufmale, dann ist mir das schon klar, aber ich weiß nicht, wie ich das ganze forumlieren soll.
Meine bisherigen Bemühungen belaufen sich auf: wenn g [mm] \circ [/mm] f surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g surjektiv und da g laut Voraussetzung auch noch injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g ist bijektiv.
[mm] \Rightarrow [/mm] zu jedem [mm] b\in [/mm] B exisitiert genau ein a [mm] \in [/mm] A mit g(a)=b. Da g [mm] \circ [/mm] f surjektiv, existiert zu jedem c [mm] \in [/mm] C ein a [mm] \in [/mm] A mit (g [mm] \circ [/mm] f)(a)=c.
So weit meine Bemühungen. Aber wie bekomm ich jetzt den Bogen, daß aus dem folgt, daß f nun eine injektive Abbildung sein muß????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Do 16.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du uns verrätst, wie gund f zusammenhängen, wird Dir vielleicht geholfen werden
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Do 16.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
g [mm] \circ [/mm] f := g(f(x))
g:A->B
f:B->C
wobei A,B,C nicht näher definierte Mengen sind.
(so meine Interpretation, bei der Aufgabenstellung ist das nicht näher formuliert, aber ich habe mich darauf berufen bzw mir das selbst definiert)
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> g [mm]\circ[/mm] f := g(f(x))
> g:A->B
> f:B->C
> wobei A,B,C nicht näher definierte Mengen sind.
>
> (so meine Interpretation, bei der Aufgabenstellung ist das
> nicht näher formuliert, aber ich habe mich darauf berufen
> bzw mir das selbst definiert)
Hallo,
überlege hier nochmal neu.
Du kannst die Funktion g doch nur auf Elemente der Menge A anwenden.
Wenn Du also g(f(x)) bildest, geht das ja nur, wenn f(x) der Menge A entstammt.
Das bedeutet: wenn g:A->B, dann muß f eine Funktion sein, die in die Menge A abbildet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Do 16.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Ich muß mich auch hier entschuldigen...
Ich habe ganz unten gepostet, daß natürlich f:A->B und g:B->C gelten muß und nicht andersherum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Do 16.10.2008 | | Autor: | Fulla |
Hallo Aquilera,
was hat f denn mit g zu tun? Schreib doch bitte die komplette (!) Aufgabenstellung hier rein.
Lieben Gruß,
Fulla
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> Also, die Aufgabenstellung ist
> Wenn g [mm]\circ[/mm] f surjektiv ist und g injektiv ist, dann ist
> f surjektiv.
> Meine bisherigen Bemühungen belaufen sich auf: wenn g [mm]\circ[/mm]
> f surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] g surjektiv und da g laut
> Voraussetzung auch noch injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] g ist
> bijektiv.
> [mm]\Rightarrow[/mm] zu jedem [mm]b\in[/mm] B exisitiert genau ein a [mm]\in[/mm] A
> mit g(a)=b. Da g [mm]\circ[/mm] f surjektiv, existiert zu jedem c
> [mm]\in[/mm] C ein a [mm]\in[/mm] A mit (g [mm]\circ[/mm] f)(a)=c.
Hallo,
Du solltest erstmal aufschreiben, von wo nach wo die Abbildungen f, g, g [mm] \circ [/mm] f abbilden.
Es scheint mir hier eine Verwirrung vorzuliegen.
Also:
f: ... [mm] \to [/mm] ...
g: ... [mm] \to [/mm] ...
g [mm] \circ [/mm] f: ... [mm] \to [/mm] ...
>
> So weit meine Bemühungen. Aber wie bekomm ich jetzt den
> Bogen, daß aus dem folgt, daß f nun eine injektive
> Abbildung sein muß????
Das sollst Du doch gar nicht zeigen, sondern die Surjektivität von f.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Do 16.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Oh, entschuldigung. Ich meinte natürlich, daß f surjektiv sein soll (3 Tage nur Fragen zu injektiv und surjektiv, mir schwirrt der Kopf).
Ansonsten hier nochmal meine implizierten Definitionen:
g [mm] \circ [/mm] f =g(f(x))
f:A->B
g:B->C
g ist also die zuletzt ausgeführe Abbilsung
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> Oh, entschuldigung. Ich meinte natürlich, daß f surjektiv
> sein soll (3 Tage nur Fragen zu injektiv und surjektiv, mir
> schwirrt der Kopf).
> Ansonsten hier nochmal meine implizierten Definitionen:
>
> g [mm]\circ[/mm] f =g(f(x))
> f:A->B
> g:B->C
>
> g ist also die zuletzt ausgeführe Abbilsung
Hallo,
ja, so ist das sinnvoll.
Du könntest den Beweis durch Widerspruch führen.
Fahrplan:
Nach Voraussetzung ist [mm] g\circ [/mm] f surjektiv und g injektiv.
Nimm an, daß f nicht surjektiv ist.
Was bedeutet das?
Verwende nun die Injektivität von g.
Entdecke anschließend den Widerspruch zur Surjektivität von [mm] g\circ [/mm] f.
Gruß v. Angla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Do 16.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
-also, ich probiere es mal:
Wenn f nicht surjektiv ist, dann exisitert mindestens ein b [mm] \in [/mm] B für das kein a [mm] \in [/mm] A exisitert mit f(a)=b.
g in jektiv heißt, daß zu jedem c [mm] \in [/mm] C höchstens ein b [mm] \in [/mm] B existiert, mit g(b)=c.
aber solche aussagen erscheinen mir so zusammenhanglos bzw kann ich daraus nicht schlußfolgern, daß das nun im Widerspruch zu der Aussage steht, daß es nun für alle c aus C ein a aus A gibt, für das gof(a)=c ist, das heißt dass es mindestens ein c aus C gibt, für das es kein a aus A gibt.
Ich seh den wald vor lauter a,b,cs udn A,B,Cs nimmer :(
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> Wenn f nicht surjektiv ist, dann exisitert mindestens ein b
> [mm]\in[/mm] B für das kein a [mm]\in[/mm] A exisitert mit f(a)=b.
Hallo,
ja, genau.
Oder anders ausgedrückt:
es gibt ein b [mm] \in [/mm] B, so daß
für alle [mm] a\in [/mm] A gilt: [mm] f(a)\not= [/mm] b
> g in jektiv heißt, daß zu jedem c [mm]\in[/mm] C höchstens ein b
> [mm]\in[/mm] B existiert, mit g(b)=c.
Ja.
Das bedeutet auch, daß zwei verschiedene Elemente aus B auf zwei verschiedene Elemente aus C abgebildet werden müssen.
Also gibt es ein [mm] b\in [/mm] B so, daß für alle [mm] a\in [/mm] A gilt: [mm] g(f(a))\not= [/mm] g(b).
g(b) ist aber ein Element aus C.
Jetzt klar?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Do 16.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Eigentlich ist es mir noch nicht klar, denn warum muß jedes g(b) [mm] \in [/mm] C sein?
Ich glaube, ich komme einfach nicht auf den Schluß...
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> Eigentlich ist es mir noch nicht klar, denn warum muß jedes
> g(b) [mm]\in[/mm] C sein?
Na, in welcher Menge sollte g(b) denn sonst sein?
Es ist doch
g: B [mm] \to [/mm] C
Gruß v. Angela
>
> Ich glaube, ich komme einfach nicht auf den Schluß...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Do 16.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Aber gilt denn für jedes g(b), daß es in C enthalten sein muß?
g ist doch laut voraussetzung nur injektiv (und damit gibt es auch die möglichkeit, daß es ein g(b) [mm] \not\in [/mm] C gibt oder muß ich da schon meine Grundüberlegung nehmen (und damit erst noch beweisen, daß wenn gof surjektiv ist, g surjektiv sein muß?????), daß g bijektiv sein muß, denn nur unter dieser voraussetzung haben wir ja die annahme gezeigt, daß jedes g(b) [mm] \in [/mm] C sein muß
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> Aber gilt denn für jedes g(b), daß es in C enthalten sein
> muß?
Hallo,
ja.
Denn g ist ja eine Abbildung, die aus der Menge B in die Menge C abbildet - völlig unabhängig von sonstigen Eigenschaften der Funktion g.
Wenn z.B. g eine Abbildung ist, die jeder natürlichen Zahl eine Farbe zuweist, so wissen wir zwar nicht, ob es eine Zahl gibt, die auf "blau" abgebildet wird,
aber wir wissen, daß durch g keine natürliche Zahl auf "süß" oder "sauer" oder "bitter" abgebildet wird.
> g ist doch laut voraussetzung nur injektiv (und damit gibt
> es auch die möglichkeit, daß es ein g(b) [mm]\not\in[/mm] C gibt
Gruß v. Angela
> oder muß ich da schon meine Grundüberlegung nehmen (und
> damit erst noch beweisen, daß wenn gof surjektiv ist, g
> surjektiv sein muß?????), daß g bijektiv sein muß, denn nur
> unter dieser voraussetzung haben wir ja die annahme
> gezeigt, daß jedes g(b) [mm]\in[/mm] C sein muß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Do 16.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Kann es denn nicht auch b aus B geben, die durch g gar nicht abgebildet werden und ist der Beweis dann genau für solche b nicht lückenhaft?
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> Kann es denn nicht auch b aus B geben, die durch g gar
> nicht abgebildet werden
Hallo,
nein, die kann es nicht geben, denn sonst wäre g keine ![[]](/images/popup.gif) Funktion.
Gruß v. Angela
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