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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Labrinth |
Guten Tag,
Auf der Menge [mm] $G:=\{e,a,b,c\}$ [/mm] seien gemaß der nachfolgenden Tafeln drei Verknüpfungen erklärt:
[mm] \begin{tabular}{c|cccc}\odot & e & a & b & c \\
\hline e & e & a & b & c \\
a & a & e & c & b \\
b & b & c & e & a \\
c & c & b & a & e
\end{tabular}\qquad\qquad\begin{tabular}{c|cccc}
\circledast & e & a & b & c \\
\hline e & e & a & b & c \\
a & a & e & c & b \\
b & b & c & a & e \\
c & c & b & e & a
\end{tabular}\qquad\qquad\begin{tabular}{c|cccc}
\oplus & e & a & b & c \\
\hline e & e & a & b & c \\
a & a & b & c & e \\
b & b & c & e & a \\
c & c & e & a & b
\end{tabular} [/mm]
| Aufgabe 1 | | Man verifiziere, dass [mm] $(G;\circledast)$ [/mm] und [mm] $(G,\oplus)$ [/mm] isomorphe Gruppen sind. |
Hier habe ich durch "Ausprobieren" herausgefunden, dass man $a$ und $b$ permutieren muss, damit man einen Isomorphismus erhält. Aber wie zeige ich zunächst, dass $G$ jeweils eine Gruppe bildet? Muss ich zum Beispiel für die Assoziativität je alle 3-stelligen Anordnungen von Elementen nachprüfen? Und um zuzeigen, dass
[mm] \pmat{e&a&b&c\\e&b&a&c} [/mm]
ein Isomorphismus ist, muss ich da auch jede Verknüpfung einzeln überprüfen, oder geht das beides geschickter?
| Aufgabe 2 | | Man zeige, dass die Gruppen [mm] $(G,\odot)$ [/mm] und [mm] $(G,\circledast)$ [/mm] nicht isomorph sind. |
Das sieht schon besser aus. Da [mm] $\forall g\in G:g\odot [/mm] g=e$, aber etwa [mm] $b\circledast [/mm] b=a$, gibt es keinen Isomorphismus. Richtig?
| Aufgabe 3 | | Man bestimme alle weiteren Gruppenstrukturen auf $G$, sowie die Isomorphiklassen von $G$. |
Ich weiß nicht, was der Begriff "Gruppenstruktur" meint. Ist damit die Verknüpfung gemeint? Also soll ich alle Abbildungen [mm] $G\times G\longrightarrow [/mm] G$ aufführen, welche die Gruppenaxiome erfüllen? Und dann im zweiten Schritt sagen, welche davon paarweise isomorph sind?
| Aufgabe 4 | | Man finde für [mm] $\mathsf{S}_3$ [/mm] eine nichtkommutative Gruppenstruktur. |
Diese Aufgabe gehört nicht zu den obigen, aber hier taucht auch das Wort "Gruppenstruktur" auf, darum frage ich auch hier. Denn hier macht meine obige Interpretation von "Gruppenstruktur" keinen Sinn mehr. Denn soweit ich weiß ist ja [mm] $\mathsf{S}_3$ [/mm] bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt - und diese Gruppenstruktur ist nunmal nicht kommutativ. Oder soll man zwei Elemente finden, die nicht kommutieren? Dann verstehe ich aber nicht mehr, was bei Aufgabe 3 gemeint ist.
So, ich hoffe, jemand kämpft sich durch diesen Riesenberg Text und kann mir vielleicht helfen, vielen Dank im Voraus dafür.
Beste Grüße,
Labrinth
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moin,
als "Gruppenstruktur" verstehe ich in deinen Aufgaben eine Verknüpfung auf der Menge $G$, die diese Menge zu einer Gruppe macht.
Daher nehme ich an bei Aufgabe 4 sollst du einfach die Menge [mm] $S_3$ [/mm] mit 6 Elementen betrachten und darauf eine Verknüpfung definieren, sodass du eine nichtkommutative Gruppe erhältst; du hast Recht, da [mm] $S_3$ [/mm] selbst schon nicht kommutativ ist, ist die Aufgabe leicht sinnlos.
Für die anderen Aufgaben würde ich dir empfehlen mit Aufgabe 3 anzufangen:
Es gibt bis auf Isomorphie nur zwei Gruppen mit 4 Elementen; weißt du das bereits oder kennst du Sätze, die dir dies sagen können?
Wenn ja untersuche, zu welcher der beiden Gruppen deine gegebenen isomorph sind.
Wenn nein ist das auch kein Problem, es ist dann nur mehr Schreibarbeit. Hier würde ich dir raten Erzeuger der Gruppe zu suchen und es für diese zu beweisen. In der dritten Gruppe lassen sich zB alle Elemente als $k*a$ schreiben für $k=0,1,2,3$ (wobei hier $k*a = a [mm] \oplus [/mm] a [mm] \oplus \ldots \oplus [/mm] a$ die Addition von $k$ Versionen von $a$ meint).
Das Wissen erleichtert es dir etwas die Rechengesetze nachzurechnen.
Dann solltest du nochmal klar machen, ob du wirklich zeigen musst, dass es sich hier um Gruppen handelt; oder ob du nur die Isomorphie zeigen sollst und ohne Beweis verwenden darfst, dass du es mit Gruppen zu tun hast (das lässt nämlich Aufgabe 2 erahnen).
Für die 3 (falls du noch nicht genug Sätze hast):
Es gibt wie gesagt nur zwei Isomorphietypen von Gruppen mit 4 Elementen.
Da du nach Aufgabe 2 bereits 2 kennst, kennst du also alle.
Nimm dir eine beliebige Gruppe mit 4 Elementen und zeige, dass sie isomorph zu einer der beiden sein muss, indem du die Verknüpfungstabelle (mit Fallunterscheidungen, Widerspruch, etc.) ausfüllst und siehst, dass es keine anderen Möglichkeiten gibt.
Auch die Isomorphie nachzurechnen gehört in die gleiche Kategorie: Zeigst du zuerst, dass es bis auf Isomorphie nur 2 Gruppen mit 4 Elementen gibt, kriegst du die 1) sofort aus der 2) geschenkt. Wenn nicht musst du hier halt nachrechnen.
Die Aufgabe ist wie gesagt etwas aufwändig, wenn man noch nicht die nötigen Sätze dazu hat. Umso mehr ist sie wichtig, um dann später die Schönheit und den Nutzen besagter Sätze zu erkennen ("puh, jetzt muss ich nicht mehr so viel schreiben wie letztes Mal, der Satz ist echt cool"^^).
Solltest du noch Fragen haben oder beim Bearbeiten noch Probleme auftreten kannst du gern fragen.
lg
Schadow
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