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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Di 15.07.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | sei [mm] f:\IR^n\to\IR [/mm] eine stetig differenzierbare Funktion
und [mm] g(t)=tv=\vektor{tv_{1}\\ ...\\tv_{n}}
[/mm]
a) Berechnen Sie [mm] \bruch{d}{dt}f(g(t))|_{t=0}
[/mm]
b) Vergleichen sie das ergebnis mit [mm] \partial_{v}f(0), [/mm] d.h. der Ableitung von f im Punkt 0 |
Zu a) heißt das, daß ich die Ableitung nach t für den Vektor berechnen soll?
und dann für t 0 einsetzen soll?
Als Ergebnis hätte ich dann [mm] \vektor{v_{1}\\ ...\\v_{n}}
[/mm]
Ich nehme an das ist falsch...
Zu b) würde bedueten:: [mm] \vektor{\partial_{v1}\\ ...\\\partial_{vn}} [/mm] im Punkt 0 ist 0 oder?
Könnte mir Jemand helfen?
Danke!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Nach der Kettenregel ist
$ [mm] \bruch{d}{dt}f(g(t)) [/mm] $ = f'(g(t))*g'(t) = f'(tv)*v (* = Skalarprodukt)
Also ist
$ [mm] \bruch{d}{dt}f(g(t))|_{t=0} [/mm] $ = f'(0)*v
Ich denke mit $ [mm] \partial_{v}f(0), [/mm] $ ist die Richtungsableitung von f in 0 in Richtung v gemeint.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Di 15.07.2008 | | Autor: | JMW |
Danke für die Antwort! Die a habe ich jetzt verstanden.
Bei der b heißt das dann, daß [mm] \partial_{v}f(0) [/mm] = grad f(0)*v ist. Ist das nicht das selbe wie f'(0)*v?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Es ist dasselbe, weißt Du auch warum ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Di 15.07.2008 | | Autor: | JMW |
Ich kanns mir am besten mit einer Beispielfunktion vorstellen.
z.b: f(x,y) = [mm] x^{2}y
[/mm]
Müsste da nicht die Ableitung das selbe bedeuten wie [mm] (f_{x}, f_{y}),=(2xy,x^{2}) [/mm] also der gradient?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Es steckt ein SATZ (den Ihr sicher hattet) dahinter:
SATZ: Sei D [mm] \subseteq R^n [/mm] offen und f: D --> [mm] R^n [/mm] sei auf D partiell differenzierbar. Sind alle partiellen Ableitungen von f in [mm] x_{0} \in [/mm] D stetig, so ist f in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar und [mm] f'(x_{0}) [/mm] = [mm] gradf(x_{0}).
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Di 15.07.2008 | | Autor: | JMW |
Genau diesen Satz habe ich jetzt nicht im Skript gefunden. Kann sein, daß der irgendwo trotzdem drin ist als ein Satz wo man indirekt drauf kommt.
Aber vielen Dank!! Das hat mir auf jeden Fall gehofen!
Lg
JMW
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hattet Ihr den Satz in folgender "Kurznotation"
f stetig dff.-bar ==> f diifbar
FRED
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