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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:40 Sa 30.07.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber Mathematiker,
Ich habe eine Frage. Ich habe hier eine Aussage, die FALSCH ist,
Die Jordanform jeder 4 [mm] \times [/mm] 4-Matrix über [mm] \IC [/mm] ist eindeutig durch ihr Minimal- und ihr Charakteristisches Polynom bestimmt..
Wieso ist das falsch..
Ich hatte eine Aufgabe gesehen, wo es die Charakteristische und die Minimal polynom gegeben war, und da sollte man die Jordansche Normalform bestimmen.
Danke
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Grüße!
Ja, genau da sist ein Problem - selbst das charakteristische und das Minimalpolynom zusammen enthalten noch nicht die volle Information über die Haupträume. Der kleinste Fall, wo dieses Phänomen auftritt ist eine 4 [mm] $\times$ [/mm] 4 Matrix - vielleicht war die Aufgabe, von der Du sprachst in einem kleineren Fall oder hatte noch mehr Voraussetzungen.
Also, ich gebe das Beispiel schnell an:
[mm] $\chi_A [/mm] = [mm] X^4$ [/mm] und [mm] $\mu_A [/mm] = [mm] X^2$.
[/mm]
Dazu zwei Möglichkeiten, wie die Matrix aussehen kann:
$A = [mm] \pmat{0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}$
[/mm]
oder
$A' = [mm] \pmat{0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0}$
[/mm]
Beide sind nilpotent, daher haben sie das gleiche charakteristische Polynom [mm] $\chi_A$. [/mm] Für beide gilt [mm] $A^2 [/mm] = A'^2 = 0$ und beide sind selbst von 0 verschieden, also ist für beide das Minimalpolynom [mm] $\mu_A$. [/mm] Aber és sind Matrizen mit verschiedenen Jordannormalformen, also insbesondere nicht ähnlich.
Merke: die Vielfachheit einer Nullstelle im charakteristischen Polynom gibt die Dimension des Hauptraumes an.
Die Vielfachheit einer Nullstelle im Minimalpolynom ist die Größe des größten Jordankästchens in dem entsprechenden Block: was darunter passiert, darüber hat man keine Kontrolle.
Alles klar?
Lars
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