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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Körper mit 4 Elementen
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Körper mit 4 Elementen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Mi 02.06.2004
Autor: baddi

Hallo wiedermal, ich habe eine Lösung und hoffe es stimmt.
Bitte mal drüberschauen - danke.

Aufgabe LA1.6.3

Gegeben: K Körber mit #K = 4

Fragen:
a) Anzahl der 1-dimensionalen Unterräume von [mm] $K^2$ [/mm] ?
b) Anzahl der Basen [mm] $K^2$ [/mm] ?

Ansatz zu a)
{k1,k2,k3,k4} = K
Die Anzahl möglicher Tupel (Permutationen) aus K ist dann 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
Wir hätten also 24 mögliche Vektoren für einen VRaum [mm] $K^4$. [/mm]
Aber so richtig hilft mir das noch nicht weiter.

Könnte ich bitte einen Tipp haben ?
Vielleiht auch gleich für die b)

Danke


        
Bezug
Körper mit 4 Elementen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:49 Mi 02.06.2004
Autor: Marc

Hallo baddi,

> Gegeben: K Körber mit #K = 4
>  
> Fragen:
>  a) Anzahl der 1-dimensionalen Unterräume von [mm] $K^2$ [/mm] ?
>  b) Anzahl der Basen [mm] $K^2$ [/mm] ?
>  
> Ansatz zu a)
>  {k1,k2,k3,k4} = K
>  Die Anzahl möglicher Tupel (Permutationen) aus K ist dann
> 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Das sehe ich ein bisschen anders.
Ein Vektor aus [mm] $\IK^2$ [/mm] hat doch diese Darstellung: [mm] $v=\vektor{a,b}$, [/mm] mit [mm] $a,b\in\IK$. [/mm]

Wie haben also $4*4=16$ verschiedene Vektoren.

>  Wir hätten also 24 mögliche Vektoren für einen VRaum
> [mm] $K^4$. [/mm]

Wie kommst du nun auf [mm] $\IK^4$? [/mm] (Aber auch dafür stimmt deine Rechnung nicht, im [mm] $\IK^4$ [/mm] gibt es [mm] $4^4$ [/mm] verschiedene Vektoren.)

Im [mm] $\IK^2$ [/mm] haben wir also 16 verschiedene Vektoren. Die Frage ist nun, welche von den 15 vom Nullvektor verschiedenen Vektoren linear abhängig sind (also ein [mm] \IK-Vielfaches [/mm] des anderen sind).
Das hängt (auch (oder vielleicht auch nicht, das müßtest du zeigen...)) vom zugrundeliegenden Körper ab:
Ich schreibe die Körperelemente der Einfachheit halber mal so: K={0,1,x,y}. Mit 0 und 1 sind naheliegenderweise die neutralen Elemente der ersten bzw. zweiten Verknüpfung gemeint.
Zum Beispiel sind die Vektoren [mm] \vektor{1\\1} [/mm] und [mm] \vektor{x\\x} [/mm] in jedem Fall linear abhängig, denn:
[mm] $x*\vektor{1\\1}=\vektor{x\\x}$ [/mm]

Ich hoffe, die Problematik ist klar geworden und meine Kommentare helfen dir schon weiter...

>  Aber so richtig hilft mir das noch nicht weiter.
>  
> Könnte ich bitte einen Tipp haben ?
>  Vielleiht auch gleich für die b)

Na gut ;-)

Ich sage dazu nur: Die Basis besteht in jedem Fall aus zwei linear unabhängigen Vektoren, und jetzt schaue dir an, was wir gerade unter a) untersucht haben...

Viel Spaß,
Marc

Bezug
        
Bezug
Körper mit 4 Elementen: Parallel-Posting (war: Körper mit 4 Elementen)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:09 Do 03.06.2004
Autor: Marc

Hallo,

zur Info:

[]http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=21341
[]http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000001187&read=1&kat=Studium

Viele Grüße,
Marc

Bezug
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