Konvergenz/Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] (a_{n}) [/mm] = [mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo,
habe ich das richtig gerechnet, dass die Folge gegen 0 konvergiert, der Grenzwert demnach 0 ist?Also eine Nullfolge?
Gruß,
Anna
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Hallo Anna!
Dein Grenzwert mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ 0$ ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Schön wäre auch noch gewesen, wenn Du uns gesagt hättest, wie Du darauf gekommen bist.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
suuuper :)
Also ich bin da so drauf gekommen:
Ich habe es mit [mm] \bruch{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}} [/mm] erweitert, damit die 3. binom. Formel anwendbar ist.
Dann kommt das raus:
[mm] \bruch{n + 1 - n}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Und da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] eine Nullfolge ist, ist auch [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] eine Nullfolge.
Ist das so ok?
Gruß,
Anna
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Hallo Anna!
> Ich habe es mit [mm]\bruch{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}}[/mm] erweitert, damit die 3. binom. Formel anwendbar ist.
> Dann kommt das raus:
> [mm]\bruch{n + 1 - n}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}[/mm]
Bis hierher stimmt alles. Aber wie kommst Du auf die nächste Zeile?
Das stimmt nämlich nicht!
Aber Du kannst ja nun hier die Grenzwertbetrachtung [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] durchführen und erhältst damit den Ausdruck:
[mm] $\bruch{1}{\infty+\infty} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] \ = \ 0$
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 26.04.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Roadrunner,
> > [mm]\bruch{n + 1 - n}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1} +\wurzel{n}}[/mm]
> Bis hierher stimmt alles. Aber wie kommst Du auf die
> nächste Zeile?
> Das stimmt nämlich nicht!
Ja, genau das dachte ich mir schon fast, daher ja auch meine Frage, ob ich das richtige Ergebnis habe. Also doch nicht so super von mir :-(
War mir irgendwie nicht sicher, ob man das jetzt noch weiter ausrechnen kann??? Habe da schon zig Variationen durchüberlegt.
> Aber Du kannst ja nun hier die Grenzwertbetrachtung
> [mm]n\rightarrow\infty[/mm] durchführen und erhältst damit den
> Ausdruck:
>
> [mm]\bruch{1}{\infty+\infty} \ = \ \bruch{1}{\infty} \ = \ 0[/mm]
Ja, stimmt. So kann man das schon lösen. War immer noch der Meinung ich müsste das noch weiter "ausrechnen". Danke!!!
Gruß,
Anna
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Hallo noch einmal,
> [mm]\bruch{1}{\infty+\infty} \ = \ \bruch{1}{\infty} \ = \ 0[/mm]
Kann ich den Beweis, dass [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] eine Nullfolge ist äquivalent dazu führen, dass [mm] \bruch{1}{n} [/mm] eine Nullfolge ist?
Gruß,
Anna
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Hallo Anna!
Meine Formulierung / Darstellung mit " [mm] $\bruch{1}{\infty} [/mm] \ = \ 0$ " war etwas unsauber um nicht zu sagen rein anschaulich.
Wenn Du den Nachweis auf [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm] \ = \ 0$ zurückführen möchtest, solltest Du [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] ausklammern:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}*\left( \ \wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}*\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\red{\bruch{1}{n}}}*\bruch{1}{\wurzel{1+\red{\bruch{1}{n}}}+1}$
[/mm]
Und nun für die Grenzwertbetrachtung jeweils [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm] \ = \ 0$ einsetzen ...
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Do 26.04.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Roadrunner,
> Wenn Du den Nachweis auf
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} \ = \ 0[/mm]
> zurückführen möchtest, solltest Du [mm]\wurzel{n}[/mm] ausklammern:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} \ = \ \bruch{1}{\wurzel{n}*\left( \ \wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1\right)} \ = \ \bruch{1}{\wurzel{n}}*\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1} \ = \ \wurzel{\red{\bruch{1}{n}}}*\bruch{1}{\wurzel{1+\red{\bruch{1}{n}}}+1}[/mm]
>
> Und nun für die Grenzwertbetrachtung jeweils
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} \ = \ 0[/mm] einsetzen
> ...
vielen Dank! Genau das hat mir gefehlt, ich bin irgendwie (obwohl es doch logisch ist) nicht darauf gekommen [mm]\wurzel{n}[/mm] auszuklammern. Danke!
Gruß,
Anna
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Hallo,
noch eine Frage dazu.
Nehmen wir an es wäre jetzt [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*(\sqrt{n+1} [/mm] - [mm] \sqrt{n}) [/mm] eine Reihe.
Wie bekannt ist ja [mm] (\sqrt{n+1} [/mm] - [mm] \sqrt{n} [/mm] ) eine Nullfolge. Und [mm] (-1)^n [/mm] ist ja beschränkt, das heißt die Reihe ist also auch konvergegent gegen Null? Oder schließe ich da jetzt falsch?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Fr 27.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
> noch eine Frage dazu.
>
> Nehmen wir an es wäre jetzt [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*(\sqrt{n+1}[/mm]
> - [mm]\sqrt{n})[/mm] eine Reihe.
> Wie bekannt ist ja [mm](\sqrt{n+1}[/mm] - [mm]\sqrt{n}[/mm] ) eine
> Nullfolge. Und [mm](-1)^n[/mm] ist ja beschränkt, das heißt die
> Reihe ist also auch konvergegent gegen Null? Oder schließe
> ich da jetzt falsch?
Die Reihe ist konvergent ,aber nicht, weil (-1)n beschränkt ist, sondern nach dem Leibnitzkriterium, wenn die [mm] a_n [/mm] einer Summe eine Nullfolge bilden UND die Reihe alternierend ist dann ist sie konvergent! Aber i.A. nicht gegen 0 (eigentlich fast nie)!
Dass die Glieder eine Nullfolge bilden reicht nie! Beispiel
[mm] \summe_{i=1}^{n}1/i [/mm] divergiert, d.h. es wird beliebig groß!
Gruss leduart
Gruss leduart.
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Hallo leduart,
vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Ja, an das Leibnizkriterium dachte ich auch schon. Ich fasse das noch einmal mit meinen Worten zusammen:
Da [mm](\sqrt{n+1}[/mm] - [mm]\sqrt{n}[/mm] ) eine monoton fallende Nullfolge ist und die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*(\sqrt{n+1} -\sqrt{n})[/mm]
alternierend ist, ist sie aufgrund des Leibnizkriteriums konvergent.
Ist die Begründung so nun korrekt??????
> [mm]\summe_{i=1}^{n}1/i[/mm] divergiert, d.h. es wird beliebig
> groß!
[mm] \bruch{1}{i} [/mm] ist also divergent? Hm, kann ich gerade irgendwie nicht so ganz nachvollziehen. :-(
Gruß,
Anna
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Hallo Anna!
> Da [mm](\sqrt{n+1}[/mm] - [mm]\sqrt{n}[/mm] ) eine monoton fallende Nullfolge
> ist und die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*(\sqrt{n+1} -\sqrt{n})[/mm]
> alternierend ist, ist sie aufgrund des Leibnizkriteriums konvergent.
> Ist die Begründung so nun korrekt??????
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !! Genau.
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}1/i[/mm] divergiert, d.h. es wird beliebig groß!
> [mm]\bruch{1}{i}[/mm] ist also divergent? Hm, kann ich gerade
> irgendwie nicht so ganz nachvollziehen. :-(
Ja, von der Anschauung her ist das nicht leicht nachzuvollziehen.
Aber der Nachweis hierfür erfolgt über die Betrachtung spezieller Partialsummen, die alle größer als [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] sind (vgl. z.B. Otto Forster "Analysis I").
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
> > Ist die Begründung so nun korrekt??????
>
> !! Genau.
Super. Danke nochmal an Euch beide!
Wie kann man denn nun von dieser Reihe rausfinden, ob sie auch absolut konvergent ist???? Ich meine ich "kenne" das Majorantenkriterium, die Definition über die absolute Konvergenz (also eine Reihe [mm] a_n [/mm] heißt absolut konvergent, wenn [mm] |a_n| [/mm] konvergiert), Wurzelkriterium... aber irgendwie fehlt mir gerade der Ansatz in diesem hier genannten Beispiel.
> > > [mm]\summe_{i=1}^{n}1/i[/mm] divergiert, d.h. es wird beliebig
> groß!
> > [mm]\bruch{1}{i}[/mm] ist also divergent? Hm, kann ich gerade
> > irgendwie nicht so ganz nachvollziehen. :-(
>
> Ja, von der Anschauung her ist das nicht leicht
> nachzuvollziehen.
>
> Aber der Nachweis hierfür erfolgt über die Betrachtung
> spezieller Partialsummen, die alle größer als [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> sind (vgl. z.B. Otto Forster "Analsysis I").
Gut, dann werde ich dafür mal in den Forster schauen. Forster, Heuser, ...- welche Literatur würdest Du / Ihr denn empfehlen für so eine Anfängerin wie mich?
Danke,
Anna
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Hallo,
> Wie kann man denn nun von dieser Reihe rausfinden, ob sie
> auch absolut konvergent ist???? Ich meine ich "kenne" das
> Majorantenkriterium, die Definition über die absolute
> Konvergenz (also eine Reihe [mm]a_n[/mm] heißt absolut konvergent,
> wenn [mm]|a_n|[/mm] konvergiert), Wurzelkriterium... aber irgendwie
> fehlt mir gerade der Ansatz in diesem hier genannten
> Beispiel.
kann es sein, dass die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})[/mm], die ja aufgrund des Leibnizkriteriums konvergent ist, nicht absolut konvergent ist, weil alternierende Reihen nie absolut konvergent sein können? Oder ist das wieder eine falsche Schlussfolgerung von mir?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 So 29.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
die Reihe ist nicht absolut konvergent, da:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\left|(-1)^{k}(\wurzel{k+1}-\wurzel{k})\right|
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}\wurzel{k+1}-\wurzel{k} [/mm] Teleskopsumme!
[mm] =\wurzel{2}-\wurzel{1}+\wurzel{3}-\wurzel{2}+...+\wurzel{n+1}-\wurzel{n}
[/mm]
[mm] =-\wurzel{1}+\wurzel{n+1}
[/mm]
Für n gegen unendlich divergiert die Summe also.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 So 29.04.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Hund!
Deine Umformung sieht ja ganz gut aus. Aber der letzte Schluss ist falsch.
Es gilt ja: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n+1}-1 [/mm] \ = \ [mm] \red{\infty}$ [/mm] .
Damit ist die genannte Reihe nicht absolut konvergent!
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 So 29.04.2007 | | Autor: | Hund |
Upps, ich hab irgendwie an n.te Wurzel aus n gedacht. Das geht ja gegen 1.
Danke für den Hinweis. Habs überarbeitet.
Gruß
Hund
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Hallo Hund,
vielen Dank für Deine Antwort, sie hat mir schon sehr geholfen, aber ich habe da noch eine Frage:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\left|(-1)^{k}(\wurzel{k+1}-\wurzel{k})\right|[/mm]
> [mm]=\summe_{k=1}^{n}\wurzel{k+1}-\wurzel{k}[/mm] Teleskopsumme!
Ja, dass es eine Teleskopsumme ist erkenne ich auch. Aber wo hast Du die [mm] (-1)^{k} [/mm] gelassen?
> [mm]=\wurzel{2}-\wurzel{1}+\wurzel{3}-\wurzel{2}+...+\wurzel{n+1}-\wurzel{n}[/mm]
> [mm]=-\wurzel{1}+\wurzel{n+1}[/mm]
Wie kommt man hier auf die [mm] -\wurzel{1} [/mm] ?
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 So 29.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ich hab doch den Betrag genommen:
[mm] betrag((-1)^{k}(\wurzel{k+1}-\wurzel{k}))
[/mm]
[mm] =\betrag((-1)^k)*betrag(...)
[/mm]
Der Betrag von -1 hoch k ist doch 1 und der Ausdruck mit den Wurzeln ist immer positiv.
Die [mm] -\wurzel{1} [/mm] kommt daher weil sich alle Glieder bis auf den ersten uns letzten weghenen. Schreib die Summe mal auf, dann siehst du es.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Hallo Hund,
danke für Deine Hilfe! Habe das jetzt nachvollziehen können. Klar.
Außer:
> Der Betrag von -1 hoch k ist doch 1
Aber der Betrag kann doch auch -1 sein oder wo ist da jetzt mal wieder mein Denkfehler?
Gruß,
Anna
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Hallo Anna!
Der Betrag einer Zahl oder eines Termes ist definitionsgemäß immer positiv (oder Null)!
Von daher gilt auch: [mm] $\left|(-1)^k\right| [/mm] \ = \ [mm] |-1|^k [/mm] \ = \ [mm] 1^k [/mm] \ = \ +1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 So 29.04.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Roadrunner,
vielen Dank für Deine Antwort!
> Der Betrag einer Zahl oder eines Termes ist
> definitionsgemäß immer positiv (oder Null)!
Ähm. Ja. |x| [mm] \ge [/mm] 0 und (|x| = 0 <=> x = 0). Das habe eigentlich auch ich über die Eigenschaft eines Betrages u.a. gelernt.
> Von daher gilt auch: [mm]\left|(-1)^k\right| \ = \ |-1|^k \ = \ 1^k \ = \ +1[/mm]
> .
Kann ich jetzt nachvollziehen. Danke.
Gruß,
Anna
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