Konvergenz beweisen. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Mlulz |
| Aufgabe | Beweise das die folgende Sequenz konvergent ist und finde ihren Grenzwert.
[mm] \wurzel{2}, \wurzel{2+\wurzel{2}},..... [/mm] |
also nach mir ist das dann ja
[mm] \summe_{n=1}^{k}2^\bruch{1}{2}^k [/mm] mit k [mm] \in \IZ
[/mm]
aber das konvergiert ja nicht weil sich [mm] 2^\bruch{1}{2}^n [/mm] an 1 annähert und dadurch mit genug hohem k stets 1 dazu addiert wird es ergo keine oberen Grenzwert gibt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Mi 17.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beweise das die folgende Sequenz konvergent ist und finde
> ihren Grenzwert.
> [mm]\wurzel{2}, \wurzel{2+\wurzel{2}},.....[/mm]
>
> also nach mir ist das dann ja
> [mm]\summe_{n=1}^{k}2^\bruch{1}{2}^k[/mm] mit k [mm]\in \IZ[/mm]
Nein.
Gemeint ist die Folge
[mm]a_1=\wurzel{2}[/mm], [mm] a_{n+1} = \wurzel{\vphantom{\|}2+a_n} [/mm], [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Tipp: Zeige, dass diese Folge monton und beschränkt ist.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Mlulz,
> Beweise das die folgende Sequenz konvergent ist und finde
> ihren Grenzwert.
> [mm]\wurzel{2}, \wurzel{2+\wurzel{2}},.....[/mm]
mit Hilfe der Beziehung für den halben Winkel [mm] $\cos \bruch{x}{2}=\pm \wurzel{\bruch{1}{2}(1+ \cos x)}$ [/mm] (Im 1. Quadranten gilt "+".) und ausgehend von [mm] $\cos \bruch{\pi}{4} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}$ [/mm] kann man zeigen:
$ [mm] \wurzel{2} [/mm] = 2 [mm] \cos \bruch{\pi}{4}$
[/mm]
$ [mm] \wurzel{2+\wurzel{2}} [/mm] = 2 [mm] \cos \bruch{\pi}{8} [/mm] $
$ [mm] \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2}}} [/mm] = 2 [mm] \cos \bruch{\pi}{16} [/mm] $
usw.
(Dies kann man sich auch sehr anschaulich am Einheitskreis ausgehend vom Winkel [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] mit Hilfe des Kosinussatzes überlegen, indem man den Winkel immer weiter halbiert.)
Der gesuchte Grenzwert ist somit: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 2 [mm] \cos \bruch{\pi}{2^{n+1}}$
[/mm]
Schöne Grüße
franzzink
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