Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 So 08.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
| Aufgabe | Eine weitere Aufgabe: Wieder Divergenz/Konvergenz zeigen:
für die Reihe:
[mm] \summe _ {n=1}^{\infty} (-1)^n * ( \bruch {1} {3} + \bruch {2} {n})^2 [/mm] |
Meine Idee: Leibnitz Kriterium
Da es sich um eine alternierende Folge handelt ist die erste Bedingung erfüllt.
Die zweite Bedingung sagt, dass es sich um eine Nullfolge handeln muss, meines Erachtens läuft es aber gegen [mm] \bruch {1} {9} [/mm] bzw es pendelt irgendwo zwischen - und + 1 /9
womit das zweite Kriterium von Leibniz verletzt ist.
Heißt das jetzt, dass die Reihe divergiert? oder heißt das nur, dass ich ein anderes Kriterium zum überprüfen nehmen muss? udn. wenn ja welches bietet sich da an?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 So 08.03.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich habe diese neue Aufgabe mal von der restlichen Diskussion getrennt, dann kann sich ein potentieller Helfer besser einlesen.
Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 So 08.03.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Eine weitere Aufgabe: Wieder Divergenz/Konvergenz zeigen:
>
> für die Reihe:
>
> [mm]\summe _ {n=1}^{infinity} (-1)^n * ( \bruch {1} {3} + \bruch {2} {n})^2[/mm]
>
> Meine Idee: Leibnitz Kriterium
>
> Da es sich um eine alternierende Folge handelt ist die
> erste Bedingung erfüllt.
>
> Die zweite Bedingung sagt, dass es sich um eine Nullfolge
> handeln muss, meines Erachtens läuft es aber gegen [mm]\bruch {1} {9}[/mm]
> bzw es pendelt irgendwo zwischen - und + 1 /9
> womit das zweite Kriterium von Leibniz verletzt ist.
>
> Heißt das jetzt, dass die Reihe divergiert? oder heißt
> das nur, dass ich ein anderes Kriterium zum überprüfen
> nehmen muss? udn. wenn ja welches bietet sich da an?
Leibniz brauchst Du hier nicht. Schau Dir das Nullfolgenkriterium nochmal genau an. Wenn Du es verstanden hast, sollte sich Deine Frage erübrigen. Was gilt nämlich für Reihen, deren Summanden keine Nullfolge bilden?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 So 08.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
Also das Nullfolgenkriterium sagt :
Bildet die Folge der Summanden einer Reihe keine Nullfolge, dann divergiert die Reihe.
Ich bin mir net sicher ob ichs richtig versteh, wenn man das Binom auflöst und den lim n--> unendlich macht , gehts ja gegen 1/9 , wenn es jetzt heist die Folge der Summanden einer Reihe, sind das ja die einzelnen Glieder, das heißt 1/9 und -1/9 wechseln sich dann ab , also ist es keine Nullfolge und somit divergiert die Reihe !?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 So 08.03.2015 | | Autor: | notinX |
> Also das Nullfolgenkriterium sagt :
> Bildet die Folge der Summanden einer Reihe keine
> Nullfolge, dann divergiert die Reihe.
>
>
> Ich bin mir net sicher ob ichs richtig versteh, wenn man
> das Binom auflöst und den lim n--> unendlich macht ,
> gehts ja gegen 1/9 , wenn es jetzt heist die Folge der
Nein, tuts nicht. Die Folge der Summanden sieht so aus:
[mm] $a_n= (-1)^n \cdot{} [/mm] ( [mm] \bruch [/mm] {1} {3} + [mm] \bruch [/mm] {2} [mm] {n})^2 [/mm] $
und damit gilt: [mm] $\lim_{n\to\infty}a_n\neq\frac{1}{9}$
[/mm]
> Summanden einer Reihe, sind das ja die einzelnen Glieder,
> das heißt 1/9 und -1/9 wechseln sich dann ab , also ist es
Die Summanden der Reihe sind nicht [mm] $\pm\frac{1}{9}$, [/mm] sondern:
[mm] $a_n= (-1)^n \cdot{} [/mm] ( [mm] \bruch [/mm] {1} {3} + [mm] \bruch [/mm] {2} [mm] {n})^2 [/mm] $
> keine Nullfolge und somit divergiert die Reihe !?
Ja, das ist die richtige Argumentation:
[mm] $a_n$ [/mm] ist keine Nullfolge (ist sogar divergent) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] die Reihe divergiert
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 So 08.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
Verstehe, die Summanden sind der ganze Ausdruck nach der Summe
Aber wieso gilt das:
[mm]$ \lim_{n\to\infty}a_n\neq\frac{1}{9} $ [/mm]
Hängt das damit zusammen, dass der Grenzwert für [mm] (-1)^n [/mm] nicht existiert?
Sorry für die vielen Fragen, aber ich bemühe mich echt das kapieren
Mfg Chiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 So 08.03.2015 | | Autor: | abakus |
> Verstehe, die Summanden sind der ganze Ausdruck nach der
> Summe
>
> Aber wieso gilt das:
>
> [mm] \lim_{n\to\infty}a_n\neq\frac{1}{9} [/mm]
>
> Hängt das damit zusammen, dass der Grenzwert für [mm](-1)^n[/mm]
> nicht existiert?
>
> Sorry für die vielen Fragen, aber ich bemühe mich echt
> das kapieren
>
> Mfg Chiko
>
>
>
Hallo,
hättest du geschrieben, dass der BETRAG gegen 1/9 konvergiert, wäre alles in Ordnung.
Die Folge hat aber die beiden Häufungspunkte 1/9 und -1/9, also konvergiert sich NICHT gegen 1/9.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Mo 09.03.2015 | | Autor: | reverend |
Sorry notinX,
> Die Summanden der Reihe sind nicht [mm]\pm\frac{1}{9}[/mm],
> sondern:
> [mm]a_n= (-1)^n \cdot{} ( \bruch {1} {3} + \bruch {2} {n})^2[/mm]
>
> > keine Nullfolge und somit divergiert die Reihe !?
>
> Ja, das ist die richtige Argumentation:
> [mm]a_n[/mm] ist keine Nullfolge (ist sogar divergent) [mm]\Rightarrow[/mm]
> die Reihe divergiert
Falsch. Sie konvergiert!
Bloß weil ein bestimmtes Kriterium nicht erfüllt ist, gilt noch nicht das Gegenteil der Folgerung aus der Erfüllung.
Wenn alle Raben schwarz sind, ist ein weißer Schmetterling kein Gegenargument. Da müssten schon alle nicht-schwarzen Objekte keine Raben sein.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Falsch. Sie konvergiert!
Oh oh, da liegst du aber falsch.
> Bloß weil ein bestimmtes Kriterium nicht erfüllt ist,
> gilt noch nicht das Gegenteil der Folgerung aus der
> Erfüllung.
oh doch, bei notwendigen Kriterien gilt nämlich genau das!
Die Reihe [mm] \summe a_n [/mm] konvergiert [mm] \Rightarrow a_n [/mm] Nullfolge
Dann gilt insbesondere die Kontradiktion:
[mm] a_n [/mm] keine Nullfolge [mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe [mm] \summe a_n [/mm] konvergiert nicht
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 So 08.03.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo!
> Die zweite Bedingung sagt, dass es sich um eine Nullfolge handeln muss
Nein. Die Nullfolge muss auch monoton sein!
Edit: Oder gibt es noch eine dritte Bedingung?
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 So 08.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
Ja, auf unsern Folien ist das nochmal unterteilt, 3. ist genau das was du gesagt hast
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Mo 09.03.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Ja, auf unsern Folien ist das nochmal unterteilt, 3. ist
> genau das was du gesagt hast
Ich bin in diesem Fall gegen so eine Unterteilung.
Dem Student sollte klar werden, welche Bedingungen
notwendig und welche hinreichend sind. Hoffentlich
weißt du das nun. Ansonsten frag noch einmal. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
Soweit ich es verstanden hab ist eine notwendige Bedingung eine Bedingung die auf jeden Fall erfüllt sein muss.
Hinreichend heißt das diese Bedingung eine von vielen ist die sozusagen zur Konvergenz/Divergenz führt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
Jetzt bin verwirrt , was stimmt den nun? Kovergiert oder divergiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
da die zugrunde liegende Folge keine Nullfolge ist, divergiert die Reihe.
Das mit reverend klärt sich sicherlich später noch
Gruß,
Gono.
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Entschuldigung, leider kann ich mich jetzt erst wieder einloggen (stationäres Internet war weg, und mobil krieg ich dieses Forum nicht annähernd praktikabel aufs Handy).
Meine Antwort war falsch! In der Tat habe ich das Kriterium nicht richtig eingeordnet. Die Reihe ist divergent; der Absolutbetrag der Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder geht allerdings einem festen Wert entgegen - doch war das ja gar nicht gefragt.
Wenn eine Folge (oder Reihe, was nicht das gleiche ist) sozusagen zwei Grenzwerte ansteuert, dann hat sie eben keinen Grenzwert und ist divergent.
Ich bitte um Pardon für die falsche Auskunft, die ich hier unten ungeschönt stehen lasse.
Grüße
reverend
Hallo Chiko,
die Aufgabe soll Dir vor allem klarmachen, dass man genauer nachdenken muss, wenn kein Kriterium für Konvergenz erfüllt ist. Das heißt nämlich noch lange nicht, dass die Reihe dann auch nicht konvergent ist!!!
> für die Reihe:
>
> [mm]\summe _ {n=1}^{infinity} (-1)^n * ( \bruch {1} {3} + \bruch {2} {n})^2[/mm]
>
> Meine Idee: Leibnitz Kriterium
Ok, da hast Du schon Antworten. Gottfried Wilhelm Leibniz (ohne tz!) ist da kein guter Ratgeber.
> Da es sich um eine alternierende Folge handelt ist die
> erste Bedingung erfüllt.
>
> Die zweite Bedingung sagt, dass es sich um eine Nullfolge
> handeln muss, meines Erachtens läuft es aber gegen [mm]\bruch {1} {9}[/mm]
> bzw es pendelt irgendwo zwischen - und + 1 /9
> womit das zweite Kriterium von Leibniz verletzt ist.
Es pendelt nicht. Die Folge hat halt zwei Häufungspunkte und ist also divergent.
> Heißt das jetzt, dass die Reihe divergiert?
Nein.
> oder heißt
> das nur, dass ich ein anderes Kriterium zum überprüfen
> nehmen muss? udn. wenn ja welches bietet sich da an?
Das ist die richtige Frage, und damit hast Du den wesentlichen Schritt schon getan. Bevor Du Deine eigenen Antworten glaubst, überprüfe sie gründlich. Die Folgerung, dass die bisher angewandten Kriterien keine Aussage liefern, ist jedenfalls richtig.
Tipp: fasse jeweils zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder zusammen und untersuche die so neu beschriebene Reihe.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:04 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Tipp: fasse jeweils zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder
> zusammen und untersuche die so neu beschriebene Reihe.
autsch!
Das ist hier nicht gestattet, da die Reihe nicht absolut konvergent ist.
Nach dieser Argumentation wäre ja auch [mm] $\summe_{n=1}^\infty (-1)^n$ [/mm] konvergent....
Im Übrigen divergiert die Reihe (siehe dazu auch meine Antwort auf deine Mitteilung).
Gruß,
Gono
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