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| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2+3}*\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)^n [/mm] |
Hallo,
ich soll den Konvergenzradius der Reihe bestimmen. Ich habe beide Faktoren zunächst getrennt betrachtet bei dem ersten habe ich Quotientenkriterium bei dem 2. Wurzelkriterium benutzt jedoch komme ich auf kein ergebnis, das ich am ende eine Gleichung mit 2 Variablen n und x habe.
Kann mir vll jemand auf die Sprünge helfen und sagen wie ich hätte vorgehen müssen?
LG jeany
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jeany,
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2+3}*\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)^n[/mm]
> Hallo,
> ich soll den Konvergenzradius der Reihe bestimmen. Ich
> habe beide Faktoren zunächst getrennt betrachtet bei dem
> ersten habe ich Quotientenkriterium bei dem 2.
> Wurzelkriterium benutzt jedoch komme ich auf kein ergebnis,
> das ich am ende eine Gleichung mit 2 Variablen n und x
> habe.
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> Kann mir vll jemand auf die Sprünge helfen und sagen wie
> ich hätte vorgehen müssen?
>
> LG jeany
setze [mm] $z:=z(x):=\frac{x+1}{x-1}$ [/mm] und die Reihe geht über in
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2+3}*\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)^n=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2+3}*z^n$
[/mm]
Nach Cauchy-Hadamard (resp. dem Wurzelkriterium) konvergiert diese Reihe für $|z|<r$, also [mm] $\left|\frac{x+1}{x-1}\right|r$, [/mm] wobei
[mm] $r:=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n^2+3}}}$
[/mm]
Hier wird $r=1$ herauskommen.
Weiterhin:
[mm] $\left|\frac{x+1}{x-1}\right|<1$ [/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $|x+1|<|x-1|$
und
[mm] $\left|\frac{x+1}{x-1}\right|>1$ [/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $|x+1|>|x-1|$
Im Falle $x [mm] \in \IR\backslash\{1\}$ [/mm] kann man dann mittels Fallunterscheidungen weitermachen...
Ich denke nicht, dass hier $x [mm] \in \IC\backslash\{1\}$ [/mm] gelten soll, oder? Falls doch und Du dann nicht weiterkommst, dann melde Dich nochmal.
Gruß,
Marcel
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