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| Aufgabe | Sei [mm] (X,Y)^T [/mm] ein bivariat normalverteilter Zufallsvektor mit Korrelationskoeffizient [mm] \rho \in [/mm] [-1,1], [mm] Erwartungsvetror(0,0)^T [/mm] und Varianzen [mm] \sigma_X^2 [/mm] und [mm] \sigma_Y^2
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass Z=X/Y Cauchy-Verteilt ist und bestimmen sie den Parameter der Cauchy-Verteilung. |
Hallo,
also ich komme gerade bei obiger Aufgabe nicht weiter. Soweit ich weiss, muss ich zunächst einmal die Verteilungen von X und Y berechnen, also die Randverteilungen unseres Zufallsvektors.
meine Korrelations-Matrix sieht so aus: [mm] \Sigma= \pmat{ \sigma_X^2 & \rho*\sigma_X*\sigma_Y \\ \rho*\sigma_X*\sigma_Y & \sigma_Y^2 }
[/mm]
Wenn [mm] \rho \in [/mm] (0,1), dann konnte ich die Umkehrabbildung [mm] \Sigma^{-1} [/mm] bilden.
Nur bei [mm] \rho=1, [/mm] kommt bei mir für die Umkehrabbildung nichts gescheites raus.
Kann mir jemand erklären, wie mann die Fälle [mm] \rho=+-1 [/mm] behandelt?, also wie sieht die dichtefunktion dann aus?
Liebe Grüße
raubkätzchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Fr 18.06.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin
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> Hallo,
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> also ich komme gerade bei obiger Aufgabe nicht weiter.
> Soweit ich weiss, muss ich zunächst einmal die
> Verteilungen von X und Y berechnen, also die
> Randverteilungen unseres Zufallsvektors.
>
> meine Korrelations-Matrix sieht so aus: [mm]\Sigma= \pmat{ \sigma_X^2 & \rho*\sigma_X*\sigma_Y \\ \rho*\sigma_X*\sigma_Y & \sigma_Y^2 }[/mm]
*Kovarianzmatrix*
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> Wenn [mm]\rho \in[/mm] (0,1), dann konnte ich die Umkehrabbildung
> [mm]\Sigma^{-1}[/mm] bilden.
[mm] $-1<\rho<+1$ [/mm] ?
> Nur bei [mm]\rho=1,[/mm] kommt bei mir für die Umkehrabbildung
> nichts gescheites raus.
Kein Wunder, denn dann liegt eine singulaere Normalverteilung vor. Ich denke hier hat sich der Aufgabensteller vertan ...
vg Luis
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danke für deine Antwort.
Der Aufgabensteller hat dies aber in zwei Aufgaben so gestellt.
Was bedeutet es, dass die Normalverteilung singulär ist? Besser: was hat das für folgen?
Gibt es dann keine Dichte? ´Wie ist dann der Zufallsvektor verteilt bzw. definiert?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Fr 18.06.2010 | | Autor: | luis52 |
> Gibt es dann keine Dichte? ´Wie ist dann der Zufallsvektor
> verteilt bzw. definiert?
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>
Sieh mal ![[]](/images/popup.gif) hier, Eigenschaften.
vg Luis
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Hallo,
ich habe nun a) gelöst und zwar habe ich folgendes Ergebnis:
Z ist cauchy-verteilt mit parameter [mm] a=\sigma_x/\sigma_y [/mm] und b=0.
Nun soll ich in aufgabenteil b) zeigen, dass wenn 0 [mm] \le \beta \le \pi [/mm] mit [mm] cos(\beta)=\rho. [/mm] dass dann [mm] P(X*Y)=\beta/\pi [/mm] gilt.
Als hinweis ist uns gegeben, aufgabenteil a zu benutzen.
Ich habe versucht es mit hilfe von a) zu zeigen, aber die Verteilung von Z, also meine cauchy-verteilung hängt doch gar nicht von [mm] \rho [/mm] ab oder?
kann mir jemand einen Tipp für den zusammenhang nennen?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Di 22.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Huhu,
b=0 ist falsch, es müsste [mm] $b=\rho\bruch{\sigma_x}{\sigma_y}$ [/mm] rauskommen 
MFG,
Gono.
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