Kreisgleichung, Radius < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Kreismittelpunkt M(5/3)
Gerade g1: 4x-3y-77=0
Welchen Radius hat der Kreis um M, der die Gerade g berührt? |
Ich kann die Steigung der Geraden g2, die senkrecht zu g1 ist, angeben. Ein Punkt dieser Geraden ist der Mittelpunkt M. Ich kann die Geradengleichung der Geraden g2 angeben und mit der Geraden g1 schneiden. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Berührpunkt.
Geht es nicht irgendwie einfacher mit der analytischen Geometrie. Mein beschriebener Lösungsweg ist irgendwie umständlich.
Für sachdienlich Hinweise bin ich dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mo 21.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Kreismittelpunkt M(5/3)
> Gerade g1: 4x-3y-77=0
>
> Welchen Radius hat der Kreis um M, der die Gerade g
> berührt?
>
> Ich kann die Steigung der Geraden g2, die senkrecht zu g1
> ist, angeben. Ein Punkt dieser Geraden ist der Mittelpunkt
> M. Ich kann die Geradengleichung der Geraden g2 angeben und
> mit der Geraden g1 schneiden. Der Schnittpunkt ist der
> gesuchte Berührpunkt.
>
> Geht es nicht irgendwie einfacher mit der analytischen
> Geometrie. Mein beschriebener Lösungsweg ist irgendwie
> umständlich.
>
> Für sachdienlich Hinweise bin ich dankbar.
.... wie bei XY .....
Kreisgleichung:
(*) [mm] (x-5)^2+(y-3)^2=r^2.
[/mm]
Gesucht: r
Löse die Gl. 4x-3y-77=0 nach y auf und setze das Resultat in (*) ein.
Damit bekommst Du eine quadratische Gl. für x.
r ist dann so zu bestimmen, dass diese quadr. Gl. genau eine Lösung hat.
FRED
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| Aufgabe | | Kann ich da nichts irgendwie mit Vektorrechnung machen? Gäbe es vielleicht noch andere Lösungsansätze? |
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Hallo Feuerbach,
der Weg, den Du zuerst (und etwas kraus) beschreibst, ist der naheliegendste.
Freds Weg geht m.E. schneller, da ist ja nur eine Diskriminante gleich Null zu setzen.
> Kann ich da nichts irgendwie mit Vektorrechnung machen?
> Gäbe es vielleicht noch andere Lösungsansätze?
Du hast Recht, es gibt noch einen weiteren Weg, der auf der Vektorrechnung basiert.
Die Gerade kann nämlich auch in der "Normalenform" beschrieben werden:
Bisher liegt als Geradengleichung 4x-3y-77=0 vor.
Für einen allgemeinen Vektor [mm] \vec{x}=\vektor{x\\y} [/mm] kann man also auch schreiben
[mm] \vec{x}*\vektor{4\\-3}=77
[/mm]
Dabei ist [mm] \vektor{4\\-3} [/mm] ein Normalenvektor, steht also senkrecht zu der Geraden. Wenn man den noch auf die Länge 1 bringt (normiert), dann hat man die sog. Hessesche Normal(en)form, die sonst vor allem im [mm] \IR^3 [/mm] Verwendung findet, aber auch in allen anderen Dimensionen möglich ist:
[mm] \vec{x}*\bruch{1}{5}\vektor{4\\-3}=\bruch{1}{5}*77
[/mm]
Interessant dabei ist, dass [mm] \left|\tfrac{1}{5}*77\right| [/mm] dabei gerade der Abstand zum Nullpunkt ist.
Für Deine Aufgabe noch interessanter ist aber, dass für einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor [mm] \vec{y} [/mm] der Abstand von der Geraden gerade [mm] \left|\vec{y}*\bruch{1}{5}\vektor{4\\-3}-\bruch{1}{5}*77\right| [/mm] ist.
Setzt man nun den Ortsvektor von M ein, so erhält man den Abstand d von der Geraden als
[mm] d=\left|\vektor{5\\3}*\bruch{1}{5}\vektor{4\\-3}-\bruch{1}{5}*77\right|=\bruch{1}{5}*|5*4+3*(-3)-77|=\bruch{66}{5}=13,2
[/mm]
Das ist ein sehr schneller Weg, ich denke nur, dass Du den noch gar nicht benutzen darfst, oder?
Grüße
reverend
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Also Dein Lösungsweg ist sicher sehr gut. Eine Abbildung würde mir zum Verständnis noch helfen.
Ich habe es leider nur mit dem schlechteren Weg berechnen können. Leider differieren meine Ergebnis auch von Deinen. Vielleicht ist es aber auch eine Interpretationssache?
mein Weg:
M(3/-5)
t: 4x-3y-77=0
m=3/4
m'= -3/4
Gerade durch den Mittelpunkt senkrecht zu t
y+5=-3/4(x-3)
g:y=-3/4x-11/4
Gerade g und Tangente werden zum Schnitt gebracht.
4x-3(-3/4x-11/4)-77=0
25/4 x + 33/4 -77= 25/4 x -68 3/4=0
x=11
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Hallo,
du hast hier
> M(3/-5)
> t: 4x-3y-77=0
> m=3/4
> m'= -3/4
einen Fehler: die Steigung der senkrechten Geraden (Lot auf der Tangente) ist
[mm] m'=-\bruch{4}{3}
[/mm]
aus dem einfachen Grund, weil für zwei orthogonale Steigungen stets
[mm] m_1*m_2=-1
[/mm]
bzw.
[mm] m_2=-\bruch{1}{m_1}
[/mm]
gilt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Feuerbach |
In meinem zweiten Beitrag habe ich leider einen anderen Mittelpunkt als in der ersten angenommen.
Es ist einleuchtend, daß ich dann auch ein anderes Ergebnis bekomme.
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Die Antwort ist sehr gut. Bei genauerer Betrachtung habe ich
Interessant dabei ist, dass [mm] \left|\tfrac{1}{5}\cdot{}77\right| [/mm] dabei gerade der Abstand zum Nullpunkt ist.
nach dieser Textstelle Probleme weiter zu folgen.
Die folgende Begründung für einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor y ...
verstehe ich nicht mehr.
Eine Zeichnung oder ein Link aus dem Net könnte vielleicht weiterhelfen. Leider bin ich in der Benutzung dieser Oberfläche nicht so firm. Wie kann ich aus Deiner Antwort zitieren?
gruß,
Feuerbach
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Fr 01.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
mach doch selbst eine Skizze!
der Einheisnormalenvektor auf g skalar multipliziert mit dem Ortsvektor von P ergibt den Abstand. alles andere ist komplizierter, und dass das Sklarprodukt die Projektion gibt sollte kar sein.
(ich hab nicht alle posts gelesen, sorrz, wenn das doppelt ist.
Gruss leduart
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| Aufgabe | Leider weiß ich nicht, wie ich auf dieser Internetseite Skizzen anfertigen kann. Ich würde gerne lernen, auf dieser Seite Skizzen anzufertigen.
Die Differenz zwischen den Betragsstrichen verstehe ich nicht. Deswegen bat ich um eine Skizze. Hätte jemand eine andere Idee, mir mein Problem ohne Skizze zu erklären, wäre ich natürlich auch sehr dankbar.
gruß,
feuerbach |
Die Antwort ist sehr gut. Bei genauerer Betrachtung habe ich
Interessant dabei ist, dass [mm] \left|\tfrac{1}{5}\cdot{}77\right| [/mm] dabei gerade der Abstand zum Nullpunkt ist.
nach dieser Textstelle Probleme weiter zu folgen.
Die folgende Begründung für einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor y ...
verstehe ich nicht mehr.
Eine Zeichnung oder ein Link aus dem Net könnte vielleicht weiterhelfen. Leider bin ich in der Benutzung dieser Oberfläche nicht so firm. Wie kann ich aus Deiner Antwort zitieren?
gruß,
Feuerbach
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Hallo Feuerbach,
Erläuterungen zur Hesseschen Normalenform (oder
auch Normalform) findest du im Netz genügend.
Z.B. dies: ![[]](/images/popup.gif) HNF
Dabei wird die HNF im [mm] \IR^3 [/mm] behandelt (für Ebenen
im Raum und den Abstand Punkt / Ebene).
Mit einer Koordinate weniger (also ohne das z)
entsteht daraus die HNF für eine Gerade in der
x-y-Ebene und zur Berechnung des Abstands
Punkt / Gerade in der x-y-Ebene.
LG , Al-Chw.
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77/5 ist der Abstand der Geraden vom Nullpunkt.
Der gefragte Abstand des Punktes von der Geraden ist 66/5.
Ich habe die Aufgabe jetzt verstanden. Dankeschön.
Gibt es hier auf dieser Seite einen Formeelditor, um eigene Aufgaben, Fragen und Erläuterungen besser zu schreiben?
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Hallo Feuerbach,
> 77/5 ist der Abstand der Geraden vom Nullpunkt.
> Der gefragte Abstand des Punktes von der Geraden ist
> 66/5.
>
> Ich habe die Aufgabe jetzt verstanden. Dankeschön.
Gratuliere.
> Gibt es hier auf dieser Seite einen Formeelditor, um eigene
> Aufgaben, Fragen und Erläuterungen besser zu schreiben?
Ja. Du hast zwei Möglichkeiten:
1) Du lernst ein bisschen mathematischen Textsatz in LaTeX - das ist weit über dieses Forum hinaus verwendbar und so ziemlich mathematisch-naturwissenschaftlicher Standard. Angaben dazu stehen auch unter Deinem jetzigen Eingabefenster.
2) Zugang zu einem Formeleditor bekommst Du, wenn Du in Deinem Profil ankreuzt, dass Du Dich an Betatests beteiligst. Dann wird Dein Eingabefenster anders aussehen und keine Eingabehinweise mehr darunter haben, dafür ein paar Icons darüber. Wenn Du da auf das rote Summenzeichen klickst, startet der Formeleditor.
Grüße
reverend
PS: Ich habe die Betatests zwar markiert und daher auch den Formeleditor, ich benutze ihn aber eigentlich nicht. Mir fällt der Überblick mit der Direkteingabe leichter, wahrscheinlich eine schlichte Gewohnheitssache.
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