Kugelradius a. tEbene & bPunkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welchen Radius besitzt eine Kugel, auf deren Oberfläche der Punkt [mm](3,0,-2)[/mm] sitzt und die eine Ebene mit Richtungsvektoren [mm](1,1,0)[/mm] und [mm](0,1,2)[/mm] im Punkt [mm](1,0,0)[/mm] berührt?
Hinweis: Die Differenz zwischen Kugelmittelpunkt und Berührpunkt steht senkrecht zur Ebene. |
Guten Morgen!
Wenn ich den Hinweis richtig verstehe sieht das ganze dann so aus wie im Anhang. Und dann brauche ich doch eigentlich nur noch zu rechnen [mm]R=\bruch{|B-T|}{2}=\bruch{\wurzel{2^2+0^2+2^2}}{2}=\bruch{\wurzel{8}}{2}=\wurzel{2}[/mm].
Stimmt das so?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo froopkind,
dies wäre eine Lösungsmöglichkeit, aber sie muss nicht unbedingt stimmen. Die Aussage, dass die Differenz zwischen Mittelpunkt und Berührpunkt senkrecht zur Ebene steht, heisst doch nur, dass Ebene und Radius senkrecht zueinander stehen, mithin die Ebene die Kugel nur berührt, aber nicht schneidet. Dies ist aber auch schon in der Aufgabenstellung gesagt. Für Deine Lösung müsstest Du noch zeigen, dass die drei Punkte B,M und T auf einer Geraden liegen.
Viele Grüße,
Infinit
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Das habe ich mir auch zuerst so überlegt, bin dann aber zu dem Schluss gekommen, dass bei einer Tangentialebene der Berührpunkt-Mittelpunkt-Vektor immer senkrecht zur Ebene steht und somit der im Hinweis erwähnte 'Berührpunkt' der zweite gegebene Punkt ist.
Außerdem bin ich nach langem überlegen und skizzieren zu keinem Ansatz für die Berechnung gekommen, wenn ich davon ausgehe, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
Wie könnte man so etwas denn rechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Infinit |
Ja, ich gebe zu, dass dies sehr naheliegend ist, da mir diese Hilfe auch nicht unbedingt als Hilfe erschien.
Gucken wir doch einfach mal, ob es stimmen kann. Liegen die beiden Punkte diametral, so liegt der Mittelpunkt gerade bei der Hälfte der einzelnen Koordinatenwerte, also bei (2,0,-1).
Hieraus lässt sich nun eine Geradengleichung aufbauen, für eine Gerade, die durch den Punkt (3, 0, -2) und den Mittelpunkt geht. Diese Gerade ist
$$ G = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -2} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] $$
Bei doppeltem Lamba-Wert (Lamba = -2) müsste man demzufolge auf den Punkt (1,0,0) stoßen.
Einsetzen liefert
$$ [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -2} [/mm] - 2 [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}\, [/mm] . $$
Juppheidie, die Sache hat geklappt.
Viele Grüße,
Infinit
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Danke für die Hilfe, Infinit.
Aber hätte man überhaupt auf den Radius kommen können, wenn die Drei Punkte nun nicht zufällig auf einer Geraden liegen?
(Nur für den Fall dass ich mal irgendwann eine solche Aufgabe vorgesetzt bekomme...)
Vielen Dank, Simon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Simon,
mit den Angaben, die Du hattest, dürfte es schwer sein, hier was zu konstruieren. Man kann sich natürlich aus den beiden Richtungsvektoren der Tangentialebene einen dritten Vektor konstruieren, der senkrecht auf beiden steht und demzufolge durch den Mittelpunkt laufen muss. Kann man wieder als Gerade ausdrücken.
Einen entsprechenden Richtungsvektor aber für den allein stehenden Punkt zu generieren, ist zumindest mit den Angaben, die Du hattest, nicht möglich. Da müssten noch weitere Infos dazukommen, um eine zweite Gerade, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht, zu generieren. Der Schnittpunkt beider Geraden wäre dann der Mittelpunkt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Mi 02.01.2008 | | Autor: | froopkind |
Dann bin ich ja beruhigt... Denn wenn der andere Berührpunkt auch eine Tangentialebene gehabt hätte wäre ich auf selbigen Lösungsweg gekommen.
Simon
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