LGS in Abhängigkeit von a < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmenge des LGS Ax = b in Abhängigkeit von a [mm] \in \IR
[/mm]
A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 \\
0 & 2 & 1/2a^2 - 5/2a + 5 \\
1 & 3 & a^2 - 5a + 7
\end{pmatrix}
[/mm]
b = [mm] \begin{pmatrix} 15 \\ 11 + 1/2a \\ 7 + a \end{pmatrix} [/mm] |
Hi,
ich habe eine solche Aufgabe noch nie selbst gerechnet und bin mir deshalb etwas unsicher ob das stimmt was ich da gemacht habe.
Mein Gleichungssystem:
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 15
[mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 1/2a^2x_3 [/mm] - [mm] 5/2ax_3 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] = 11 + 1/2a
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] a^2x_3 [/mm] - [mm] 5ax_3 [/mm] + [mm] 7x_3 [/mm] = 7 + a
1-3
[mm] x_2 [/mm] = 8 - a + [mm] a^2x_3 [/mm] - [mm] 5ax_3 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] neue 4. Gleichung
4 in 2
16 - 2a + [mm] 2a^2x_3 [/mm] - [mm] 10ax_3 [/mm] + [mm] 10x_3 [/mm] + [mm] 1/2a^2x_3 [/mm] - [mm] 5/2ax_3 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] = 11 + 1/2a
[mm] 5/2a^2x_3 [/mm] - [mm] 25/2ax_3 [/mm] + [mm] 15x_3 [/mm] = -5 + 5/2a
[mm] a^2x_3 [/mm] - [mm] 5ax_3 [/mm] + [mm] 6x_3 [/mm] = -2 + a
[mm] x_3(a^2 [/mm] - 5a + 6) = -2 + a
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{-2 + a}{a^2- 5a + 6}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] & [mm] x_1 [/mm] berechne ich dann auf die gleiche Art
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Lösungsmenge des LGS Ax = b in
> Abhängigkeit von a [mm]\in \IR[/mm]
> A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 \\
0 & 2 & 1/2a^2 - 5/2a + 5 \\
1 & 3 & a^2 - 5a + 7
\end{pmatrix}[/mm]
>
> b = [mm]\begin{pmatrix} 15 \\ 11 + 1/2a \\ 7 + a \end{pmatrix}[/mm]
>
> Hi,
>
> ich habe eine solche Aufgabe noch nie selbst gerechnet und
> bin mir deshalb etwas unsicher ob das stimmt was ich da
> gemacht habe.
Ich habe dir doch schonmal geschrieben: lass diese Art der Argumentation in deinem eigenen Interesse fallen. Prüfe einfach nach, ob dir jeder deiner Schritte plausibel erscheint. Wenn ja, weshalb? Wenn du dir darüber im Klaren bist, dann kannst du auch jeden dieser Schritte selbts auf Korrektheit prüfen. Dadurch gewinnt man an Sicherheit in der Mathematik, nicht durch endloses Aufgabenrechnen.
> Mein Gleichungssystem:
> [mm]x_1[/mm] + [mm]4x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = 15
> [mm]2x_2[/mm] + [mm]1/2a^2x_3[/mm] - [mm]5/2ax_3[/mm] + [mm]5x_3[/mm] = 11 + 1/2a
> [mm]x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] + [mm]a^2x_3[/mm] - [mm]5ax_3[/mm] + [mm]7x_3[/mm] = 7 + a
>
> 1-3
> [mm]x_2[/mm] = 8 - a + [mm]a^2x_3[/mm] - [mm]5ax_3[/mm] + [mm]5x_3[/mm] neue 4.
> Gleichung
>
> 4 in 2
> 16 - 2a + [mm]2a^2x_3[/mm] - [mm]10ax_3[/mm] + [mm]10x_3[/mm] + [mm]1/2a^2x_3[/mm] - [mm]5/2ax_3[/mm] +
> [mm]5x_3[/mm] = 11 + 1/2a
> [mm]5/2a^2x_3[/mm] - [mm]25/2ax_3[/mm] + [mm]15x_3[/mm] = -5 + 5/2a
> [mm]a^2x_3[/mm] - [mm]5ax_3[/mm] + [mm]6x_3[/mm] = -2 + a
> [mm]x_3(a^2[/mm] - 5a + 6) = -2 + a
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\bruch{-2 + a}{a^2- 5a + 6}[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] & [mm]x_1[/mm] berechne ich dann auf die gleiche Art
In deinem Ergebnis für [mm] x_3 [/mm] steckt meiner Rechnung nach ein Vorzeichenfehler. Da sollte also konkret a-2 im Zähler stehen, dann wäre es richtig. Das ist aber so unübersichtlich notiert, dass ich jetzt auf die Schnelle auch nicht sehe, wo der passiert ist, rechne also selbst nochmals nach.
EDIT:
Dein Ergebnis für [mm] x_3 [/mm] ist richtig. Aber: die eigentliche Aufgabenstellung bist du noch gar nicht angegangen. Du musst ja jetzt herausfinden, wie die Struktur der Lösungsmenge in Abhängighkeit von a aussieht. Also für welche a gibt es keine, eine oder unendlich viele Lösungen?
Eine kleiner Tipp noch zum Schluss. Auch wenn es vielleicht mehr Tipparbeit bzw. mehr Schreibarbeit ist: du würdest uns und dir selbst einen Gefallen damit tun, wenn du so eine Aufgabe per Gauß-Matrix / Gauß-Verfahren lösen und vor allem hier einstellen könntest.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Diophant
-2+a=a-2
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hallo Diophant
>
> -2+a=a-2
>
> Steffi
nun, jetzt wo du es sagst: dieser bestechenden Argumentation möchte ich mich nicht widersetzen. 
Danke für den Hinweis!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
also ich habe [mm] x_1, x_2 [/mm] & [mm] x_3.
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{-9a + 29}{a - 3}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{6a - 19}{a - 3}
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{a - 3}
[/mm]
Ich habe die erste Gleichung mit a = 0, a = 1 & a = -1 durchgerechnet und es kommt immer 15 heraus.
Das kann ja aber nicht die Art sein wie die Lösungsmenge zu bestimmen ist.
Jedoch muss das Lösungssystem nicht für alle a aufgehen?
Also, ich weiß nicht so recht für welches a es eine , unendlich oder keine Lösung geben kann.
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Hallo bindl,
sorry: aber liest du eigentlich durch, was man dir schreibt??? Das hier legt nahe, dass du es nicht tust:
> also ich habe [mm]x_1, x_2[/mm] & [mm]x_3.[/mm]
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{-9a + 29}{a - 3}[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{6a - 19}{a - 3}[/mm]
>
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\bruch{1}{a - 3}[/mm]
>
>
> Also, ich weiß nicht so recht für welches a es eine ,
> unendlich oder keine Lösung geben kann.
Ja das kommt halt davon, dass du den Linearfaktor (a-2) völlig unbedacht herausgekürzt hast (oder eben auch ein CAS benutzt hast). So ergibt das keinen Sinn. Ich habe dir ja deine Lösung für [mm] x_3 [/mm] (bis auf einen Vorzeichenfehler, den ich dir fälschlicherweise unterstellt habe) bestätigt. Also nimm diese Lösung jetzt und rechne damit weiter. Überlege dir dann speziell für die Fälle a=3 sowie a=2, was da mit der Lösungsmenge passiert. Beachte hierzu, dass für a=3 jeweils nur die Nenner, für a=2 jedoch Zähler und Nenner gleich Null werden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
also habe ich für
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{a - 2}{a^2 - 5a + 6}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{6a^2 - 31a + 36}{a^2 - 5a + 6}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{-9a^2 + 47a - 60}{a^2 - 5a + 6}
[/mm]
Also [mm] a^2 [/mm] - 5a + 6 = 0
[mm] a_1 [/mm] = 3 [mm] a_2 [/mm] = 2
Sind die Zähler denn jetzt noch wichtig ? [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ist doch auch nicht definiert. Bei Zähler von [mm] x_3=0 [/mm] bekomme ich a=2. Bei Zähler von [mm] x_1=0 [/mm] bekomme ich unteranderem a=3.
Ist mein [mm] x_2 [/mm] & [mm] x_1 [/mm] falsch?
Ist die Lösungsmenge dann
L = [mm] {\IR \ 2,3}
[/mm]
alle reellen Zahlen außer 2 & 3. Habe ich das korrekt geschrieben?
Also mit a=2 oder a=3 gibt es keine Lösungen.
Mit allen allen anderen [mm] \IR [/mm] geht das Gleichungssystem auf.
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Hallo,
> Hi,
>
> also habe ich für
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\bruch{a - 2}{a^2 - 5a + 6}[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{6a^2 - 31a + 36}{a^2 - 5a + 6}[/mm]
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{-9a^2 + 47a - 60}{a^2 - 5a + 6}[/mm]
>
Bei [mm] x_2 [/mm] muss es hinten +38, bei [mm] x_1 [/mm] muss es -58 heißen. Ansonsten sind die Lösungen richtig (wo der Fehler liegt, musst du selbst herausfinden, da keine Rechnung dasteht). Also halten wir fest:
[mm] x_1=\bruch{-9a^2+47a-58}{a^2-5a+6}
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{6a^2-31a+38}{a^2-5a+6}
[/mm]
[mm] x_3=\bruch{a-2}{a^2-5a+6}
[/mm]
So weit, so gut.
> Also [mm]a^2[/mm] - 5a + 6 = 0
> [mm]a_1[/mm] = 3 [mm]a_2[/mm] = 2
>
> Sind die Nenner denn jetzt noch wichtig ? [mm]\bruch{0}{0}[/mm] ist
> doch auch nicht definiert. Bei Zähler von [mm]x_3=0[/mm] bekomme
> ich a=2. Bei Zähler von [mm]x_1=0[/mm] bekomme ich unteranderem
> a=3
>
> Ist die Lösungsmenge dann
> L = [mm]{\IR \ 2,3}[/mm]
> alle reellen Zahlen außer 2 & 3. Habe
> ich das korrekt geschrieben?
>
> Also mit a=2 oder a=3 gibt es keine Lösungen.
> Mit allen allen anderen [mm]\IR[/mm] geht das Gleichungssystem auf.
Nein, das ist in Teilen völliger Blödsinn. Überlege dir mal folgendes. Sei [mm] a\ne{0}. [/mm] Für welche x gelten jeweils die Gleichungen
(I) 0*x=a
(II) 0*x=0
Denke da mal darüber nach und beachte, dass du den Faktor (a-2) jeweils aus dem Nenner des Lösungsterms per Multiplikation vor die [mm] x_i [/mm] ziehen kannst.
Was du da als Lösungsmenge hingeschrieben hast, sei mal ehrlich: sagt dir das selbst irgendetwas? Nein, natürlich nicht. Lasse so etwas einfach weg, es bringt dir nichts, mit Symbolen um dich zu schmeißen, wo du nicht weiter weißt.
Wir wissen jetzt, für welche a das LGS eine eindeutige Lösungsmenge besitzt. Diese ist eben für [mm] a\in\IR\setminus{2;3} [/mm] das Tripel aus den drei berechneten Termen.
Weiters gibt es die zwei Fälle a=2 sowie a=3. Für die überlege jetzt noch einmal sauber, was da jetzt passiert. In einem der Fälle bist du nämlich noch nicht fertig mit der Aufgabe!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Mo 06.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
nur ein Verständnisfrage, lautet die Matrix und der b wie folgt?
[mm] A=\pmat{ 1 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & \bruch{1}{2}a^2-\bruch{5}{2}a+5 \\ 1 & 3 & a^2-5a+7 } [/mm] und
[mm] b=\vektor{ 15 \\ 11+\bruch{1}{2}a \\ 7+a }
[/mm]
Wenn dem so ist, ist das Ergebnis für [mm] x_3=\bruch{1}{a-3}
[/mm]
Wie Diophant aber schon gesagt hat, bringe die Gleichung auf Zeilenstufenform, dann kannst Du die Lösungen gleich ablesen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo ullim,
> Hi,
>
> nur ein Verständnisfrage, lautet die Matrix und der b wie
> folgt?
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & \bruch{1}{2}a^2-\bruch{5}{2}a+5 \\ 1 & 3 & a^2-5a+7 }[/mm]
> und
>
> [mm]b=\vektor{ 15 \\ 11+\bruch{1}{2}a \\ 7+a }[/mm]
>
> Wenn dem so ist, ist das Ergebnis für [mm]x_3=\bruch{1}{a-3}[/mm]
>
Mein CAS spuckt das auch aus, und bei dir wird es genau so aussehen. Dennoch ist das nicht ganz richtig, denn zunächst kommt
[mm] x_3=\bruch{a-2}{(a-2)*(a-3)}
[/mm]
heraus und man muss dann zunächst einmal eine Fallunterscheidung in a=2 sowie [mm] a\ne{2} [/mm] vornehmen (und natürlich muss man auch noch den Fall a=3 gesondert betrachten).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Mo 06.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
in der Tat habe ich das nicht selbst gerechnet sondern mit Mathcad und kontrolliert habe ich das auch nicht. Ich hab mich mal drauf verlassen. Allerdings habe ich das mal mit Matrixinversion und mal mit Zeilenstufenform gerechnet und beides mal kam das gleiche raus. Deshalb war ich mir sicher. Ich rechne das aber noch mal mit der Hand nach.
Wichtig war für mich aber, ob z.B. [mm] \bruch{1}{2}a [/mm] oder [mm] \bruch{1}{2a} [/mm] gemeint war. Aus Deiner Antwort schliesse ich, Du hast es so wie ich interpretiert.
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> Bestimmen Sie die Lösungsmenge des LGS Ax = b in
> Abhängigkeit von a [mm]\in \IR[/mm]
> A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 \\
0 & 2 & 1/2a^2 - 5/2a + 5 \\
1 & 3 & a^2 - 5a + 7
\end{pmatrix}[/mm]
>
> b = [mm]\begin{pmatrix} 15 \\ 11 + 1/2a \\ 7 + a \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
lt. Profil bist Du Student.
==> Du mußt den Gaußalgorithmus in Matrixform beherrschen.
Falls das nicht der Fall ist, eigne Dir ihn im Eigenstudium an.
Stell die erweiterte Koeffizientenmatrix auf und bringe sie in Zeilenstufenform.
Achte darauf, unterwegs nicht durch 0 zu teilen.
Dividierst Du z.B. durch a-123, so mußt Du notieren "für [mm] a\not=123", [/mm] und den Fall a=123 später untersuchen.
Wenn Du die ZSF der erweiterten Koeffizientenmatrix hast, finde im Eigenstudium anhand Deiner Mitschrift, Literatur, Internet heraus, wie man aus Rangüberlegungen Aussagen zur Lösbarkeit eines LGS und ggf. der Eindeutigkeit machen kann.
Für die a, für welche das LGS lösbar ist, bestimme dann die Lösungen.
LG Angela
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> Hi,
>
> ich habe eine solche Aufgabe noch nie selbst gerechnet und
> bin mir deshalb etwas unsicher ob das stimmt was ich da
> gemacht habe.
> Mein Gleichungssystem:
> [mm]x_1[/mm] + [mm]4x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = 15
> [mm]2x_2[/mm] + [mm]1/2a^2x_3[/mm] - [mm]5/2ax_3[/mm] + [mm]5x_3[/mm] = 11 + 1/2a
> [mm]x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] + [mm]a^2x_3[/mm] - [mm]5ax_3[/mm] + [mm]7x_3[/mm] = 7 + a
>
> 1-3
> [mm]x_2[/mm] = 8 - a + [mm]a^2x_3[/mm] - [mm]5ax_3[/mm] + [mm]5x_3[/mm] neue 4.
> Gleichung
>
> 4 in 2
> 16 - 2a + [mm]2a^2x_3[/mm] - [mm]10ax_3[/mm] + [mm]10x_3[/mm] + [mm]1/2a^2x_3[/mm] - [mm]5/2ax_3[/mm] +
> [mm]5x_3[/mm] = 11 + 1/2a
> [mm]5/2a^2x_3[/mm] - [mm]25/2ax_3[/mm] + [mm]15x_3[/mm] = -5 + 5/2a
> [mm]a^2x_3[/mm] - [mm]5ax_3[/mm] + [mm]6x_3[/mm] = -2 + a
> [mm]x_3(a^2[/mm] - 5a + 6) = -2 + a
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\bruch{-2 + a}{a^2- 5a + 6}[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] & [mm]x_1[/mm] berechne ich dann auf die gleiche Art
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