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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:59 So 11.11.2007 | | Autor: | MathiasK |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es sei X der lineare Raum der reellen Polynome vom Höchstgrad 2. Somit ist p(x) [mm] \in [/mm] X, wenn [mm] p(x)=ax^2+bx+c, [/mm] und a, b und c sind reale skalare. Assoziere jedes Polynom in X mit einem punkt (p(-1),p(0),p(1)) in [mm] \IR^3.
[/mm]
Finde die lineare Abbildung von [mm] \IR^3\to\IR^3 [/mm] welche der Differenzierung auf X entspricht. |
Hallo
Ich habe dieses Problem gelöst, und wäre sehr dankbar wenn mir jemand sagen könnte ob mein Ansatz korrekt ist.
Alle Punkte (p(-1),p(0),p(1)) können als (a-b+c,c,a+b+c) dargestellt werden. Die Punkte (p'(-1),p'(0),p'(1)) können als (-2a+b,b,2a+b) dargestellt werden.
Gesucht ist somit die 3X3 Matrix D, für welche gilt, dass D*(a-b+c,c,a+b+c)=(-2a+b,b,2a+b).
Ich erhalt als Lösung eine Matrix [mm] D=\pmat{ (-2a+b)/(a-b+c) & 0 & 0 \\ 0 & b/c & 0 \\ 0 & 0 & (2a+b)/(a+b+c)}
[/mm]
Diese Lösung scheint mir aber ein wenig zu einfach. Könnte mir jemand sagen, ob ich hier einen Fehler begangen habe?
Danke vielmals!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 So 11.11.2007 | | Autor: | Sparqie |
Das ist schon richtig, wie du das berechnet hast. Die Aufgabe ist tasächlich nicht schwer, ich denke, man wollte prüfen, ob du das mit den linearen Abbildungen verstanden hast und auf diese etwas seltsame Problem anwenden kannst.
Normalerweise schreibt man das Polynom als Vektor [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] und dann ist D= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Also: [mm] D(ax^{2} [/mm] + bx +c)= 2ax +b
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> Das ist schon richtig, wie du das berechnet hast.
Hallo,
in meiner Antwort kannst Du nachlesen, warum das nicht stimmt.
> Normalerweise schreibt man das Polynom als Vektor [mm]\vektor{a \\ b \\ c}[/mm]
> und dann ist D= [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
Den Schritt mit der Basis, welchen MatthiasK vergessen hat, bist Du hier gegangen - vielleicht nahezu unbewußt.
Es ist [mm] B:=(x^2,x,1) [/mm] eine Basis des Raumes der reellen Polynome vom Höchstgrad 2,
und bzgl dieser Basis hat [mm] ax^2+bx+1 [/mm] den Koordinatenvektor [mm] \vektor{a \\ b \\ c}_B.
[/mm]
In den Spalten Deiner Matrix stehen nun die Bilder der Basisvektoren bzg. B.
Gruß v. Angela
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> Also: [mm]D(ax^{2}[/mm] + bx +c)= 2ax +b
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> Es sei X der lineare Raum der reellen Polynome vom
> Höchstgrad 2. Somit ist p(x) [mm]\in[/mm] X, wenn [mm]p(x)=ax^2+bx+c,[/mm]
> und a, b und c sind reale skalare. Assoziere jedes Polynom
> in X mit einem punkt (p(-1),p(0),p(1)) in [mm]\IR^3.[/mm]
> Finde die lineare Abbildung von [mm]\IR^3\to\IR^3[/mm] welche der
> Differenzierung auf X entspricht.
Hallo,
etwas seltsam ist diese Aufgabe ja schon...
Man hat hier also eine Bijektion [mm] \beta [/mm] zwischen dem [mm] \IR^3 [/mm] und den reellen Polynomen vom Höchstgrad 3 dergestalt, daß
[mm] \beta (ax^2+bx+c):= [/mm] (a-b+c,c,a+b+c)
Das hattest Du ja auch schon festgestellt:
> Alle Punkte (p(-1),p(0),p(1)) können als (a-b+c,c,a+b+c)
> dargestellt werden.
> Die Punkte (p'(-1),p'(0),p'(1)) können
> als (-2a+b,b,2a+b) dargestellt werden.
Gesucht ist nun also eine lineare Abbildung [mm] \alpha: \IR^3 \to \IR^3
[/mm]
mit
[mm] \alpha [/mm] ((a-b+c,c,a+b+c))=(-2a+b,b,2a+b)
Bevor Du nun eine Abbildungsmatrix aufstellst, brauchst Du erstmal eine Basis, bzgl. derer die Matrix die Abbildung beschreiben soll!
Diesen Schritt hast Du vergessen.
Schau Dir doch mal Deine Matrix an:
> Ich erhalt als Lösung eine Matrix [mm]D=\pmat{ (-2a+b)/(a-b+c) & 0 & 0 \\ 0 & b/c & 0 \\ 0 & 0 & (2a+b)/(a+b+c)}[/mm]
Da sind ja a,b,c drin! Was bedeutet das? Je nachdem, welchen Vektor ich eingebe, soll ich mit einer anderen Matrix multiplizieren?
Das kann ja nicht sein!
Wenn ich Deine Matrix auf [mm] \beta(x^2)=(1,0,1) [/mm] anwende, bekomme ich etwas, wo irgendwelche Buchstaben drinherumschwirrn, aber nicht [mm] \beta(2x)=(-2,0,2).
[/mm]
Du mußt wegen Deiner Matrix also noch etwas nachdenken. Erstmal brauchst Du eine möglichst "schöne" Basis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 11.11.2007 | | Autor: | MathiasK |
Besten Dank für Eure Hilfe!!
Also so weit ich das jetzt verstanden habe, muss ich eine Matrix D finden, welche mit dem Koordinatenvektor [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] multipliziert wird. Als Abbildung erhalte ich den Koordinatenvektor des differenzierten Polynoms. Wie schon zuvor gezeigt wurde, ist Matrix D= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }.
[/mm]
Aber wenn dies die Antwort zur Frage ist, dann ist ja die relation zwischen X und [mm] \IR^3 [/mm] soweit bedeutungslos. Ist dies korrekt?
Gruss Mathias
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> Besten Dank für Eure Hilfe!!
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> Also so weit ich das jetzt verstanden habe, muss ich eine
> Matrix D finden, welche mit dem Koordinatenvektor [mm]\vektor{a \\ b \\ c}[/mm]
> multipliziert wird. Als Abbildung erhalte ich den
> Koordinatenvektor des differenzierten Polynoms.
Hallo,
ja, aber jegliches Reden über Koordinatenvektoren ist sinnlos, solange Du keine Basis angibst.
Bzgl welcher Basis ist denn das, was Du schreibst? Das ist nämlich nicht bzgl. der Standardbasis.
Wir sind ja im [mm] \IR^3 [/mm] und Deine Abbildung [mm] \alpha [/mm] tut dies:
[mm] \alpha\vektor{a-b+c \\ c\\a+b+c}=\alpha(a*\vektor{1 \\ 0\\1}+b\vektor{-1 \\ 0\\1}+c\vektor{1 \\ 1\\1})=a*2*b\vektor{-1 \\ 0\\1}+b*1*\vektor{1 \\ 1\\1})
[/mm]
Wie schon
> zuvor gezeigt wurde, ist Matrix D= [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }.[/mm]
>
> Aber wenn dies die Antwort zur Frage ist, dann ist ja die
> relation zwischen X und [mm]\IR^3[/mm] soweit bedeutungslos. Ist
> dies korrekt?
Jein. Es kommt halt auf die Basis an. Bzgl der Standardbasis sähe Deine darstellende Matrix anders aus, um sie zu berechnen, wäre noch eine Basistransformation fällig - ob das von Dir erwartet wird, weiß ich nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Mo 12.11.2007 | | Autor: | MathiasK |
Hallo,
ich glaube ich hab es jetzt begriffen. Nochmals vielen Dank für deine kompetente Hilfe!!
Gruss Mathias
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