www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Lineare Unabhängigkeit
Lineare Unabhängigkeit < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lineare Unabhängigkeit: Schöne Aufgabe !
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:34 Mo 18.01.2016
Autor: fred97

Aufgabe
Mir ist mal wieder etwas interessantes über den Weg gelaufen .....

Sei $G$ eine Gruppe, $ [mm] \IK=\IR$ [/mm] oder $ [mm] \IK=\IC$, [/mm] und $V$ die Menge aller Abbildungen $f:G [mm] \to \IK$. [/mm] Dann ist $V$ mit der punktweisen Addition und der punktweisen Multiplikation mit Elementen aus [mm] \IK [/mm] ein [mm] \IK [/mm] - Vektorraum. Den Nullvektor in $V$ bezeichne ich mit [mm] 0_V. [/mm]

Ein Element $f [mm] \in [/mm] V$ nennt man multiplikativ, wenn $f [mm] \ne 0_V$ [/mm] ist und wenn gilt

      $f(a*b)=f(a)*f(b)$  für alle $a,b [mm] \in [/mm] G$.

Sei $M$ die Menge der multiplikativen Elemente in $V$.

Man zeige: für [mm] $f_1,f_2,...,f_n \in [/mm] M$  gilt:

  [mm] \{f_1,....,f_n\} [/mm] ist linear unabhängig in $V$  [mm] \gdw $f_1,...,f_n$ [/mm] sind paarweise verschieden.

Ich wäre dankbar, wenn sich jemand aus dem Kreise der Moderatoren finden würde, der diese Aufgabe in der üblichen Weise kennzeichnet.

Gruß FRED

        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:06 Mo 18.01.2016
Autor: Thomas_Aut

Hallo Fred,

Aus linear unabhängig folgt paarweise verschieden.
Die Rückrichtung ist durchaus knifflig - aber ich tippe stark, dass das mittels Induktion funktionieren sollte ?


Lg Thomas

Bezug
                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:19 Mo 18.01.2016
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  

Hallo Thomas,


> Aus linear unabhängig folgt paarweise verschieden.

Klar.


>  Die Rückrichtung ist durchaus knifflig - aber ich tippe
> stark, dass das mittels Induktion funktionieren sollte ?

Ja, mit Induktion funktioniert das.

Gruß FRED


>
>
> Lg Thomas


Bezug
                        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Mo 18.01.2016
Autor: Thomas_Aut

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo,

Ich versuche es grob, aber verständlich zu skizzieren.

Rückrichtung:
Der Induktionsanfang ist klar.

Gelte also für $m<n$ die Aussage,

Sind $f_1 ,...,f_n$ paarweise verschieden, so gibt es ein $x \in K$ mit $f_{1}(x) \neq f_{n}(x)$

Angenommen es ist nun $a_{1}f_{1} + .... +a_{n}f_{n}$ die Nullabbildung für $a_{i} \in K$.
Zeigen müssen wir, dass alle $a_{i} = 0$ sind.

Für alle y aus G ist

$a_{1}f_{1}(y)+...+a_{n}f_{n}(y)=0$

und

$a_{1}f_{1}(x)f_{1}(y)+...+a_{n}f_{1}(x)f_{n}(y)=0$

hier müssten ein paar Schritte rein...

$\forall y \in G$ gilt : (was durchaus zu begründen wäre)

$a_{2}(f_{2}(x)-f_{1}(x))f_{2}(y) + ... +a_{n}(f_{n}(x)-f_{1}(x))f_{n}(y) =0$

da aber

$}(f_{n}(x)-f_{1}(x)) \neq 0$ muss $a_{n} =0$ gelten. (die Induktionsvoraussetzung ist zweimal anzuwenden - nach einmaliger Anwendung erweist sich obiges als Nullabbildung bis n-1)



Ich hoffe, dass das so ca. passt ?

Lg


Bezug
        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:06 Mo 18.01.2016
Autor: UniversellesObjekt

Man braucht sich natürlich nicht auf [mm] $K=\IR$ [/mm] oder [mm] $K=\IC$ [/mm] beschränken. Man nennt die $f$ in der Algebra auch Charaktere. Die Aussage, dass endlich viele verschiedene Charaktere linear unabhängig sind, stammt meines Wissens von Dirichlet, der sich für Anwendungen in der Zahlentheorie interessierte. Thomas_Aut hat einen schönen Beweis angegeben. Es handelt sich um ein wichtiges Lemma, dass in der Algebra vielfach Verwendung findet. Beispielsweise ist Hilbert 90 ein Korollar davon: Die erste Galoiskohomologie [mm] $H^1(L/K,L^\times)$ [/mm] ist trivial. Im Spezialfall zyklischer Erweiterungen ergibt sich die klassische Formulierung: Ist $L/K$ eine zyklische Erweiterung, so gilt [mm] $\operatorname{Norm}(\ell)=1\iff \ell=\sigma(x)/x$, [/mm] wobei [mm] $\sigma$ [/mm] ein Erzeuger der Galoisgruppe ist. Das wiederum ist etwa für [mm] $\IC/\IR$ [/mm] völlig klar.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mi 20.01.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de