Nachweis für Monotonie < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 So 11.10.2009 | | Autor: | jusdme |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folge (a n) auf Monotonie und Beschränktheit
a) 8n / n²+1 |
Ich hab jetzt mal vermutet dass die Folge monoton steigend ist.
d.h a n+1 - a n [mm] \ge [/mm] 0
also: 8(n+1) / (n+1)² - 8n/n²+1 [mm] \ge [/mm] 0
und jetzt komm ich nicht weiter. Soll ich jetzt auf einen Nenner erweitern oder wie löse ich sonst die Aufgabe, weil irgendwie kommt da nichts schönes raus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 So 11.10.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie die Folge (a n)
[mm] $(a_n)$
[/mm]
> auf Monotonie und
> Beschränktheit
> a) 8n / n²+1
Ist [mm] $a_n=\frac{8n}{n^2+1}$ [/mm] gemeint?
> Ich hab jetzt mal vermutet dass die Folge monoton steigend
> ist.
> d.h a n+1 - a n [mm]\ge[/mm] 0
Du behauptest also, es sei stets [mm] $a_{n+1}-a_n \ge 0\,.$
[/mm]
>
> also: 8(n+1) / (n+1)² - 8n/n²+1 [mm]\ge[/mm] 0
Da fehlt was im rotmarkierten Bereich!
> und jetzt komm ich nicht weiter. Soll ich jetzt auf einen
> Nenner erweitern oder wie löse ich sonst die Aufgabe, weil
> irgendwie kommt da nichts schönes raus.
Man kann diesen Ansatz natürlich wählen und auch so weiterrechnen. Natürlich bringst Du das ganze dann auf den Hauptnenner, der ist sowieso dann für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] immer $> [mm] 0\,,$ [/mm] so dass es dann genügt, sich anzuschauen, was mit dem Zähler los ist.
Es ist
[mm] $$a_{\green{n+1}}-a_n=\frac{8(\green{n+1})}{(\green{n+1})^2+1}-\frac{8n}{n^2+1}=\frac{\blue{8(n+1)*(n^2+1)-8n*((n+1)^2+1)}}{((n+1)^2+1)*(n^2+1)}\,.$$
[/mm]
Da der Nenner [mm] ($((n+1)^2+1)*(n^2+1)$) [/mm] sowieso stets $> [mm] 0\,$ [/mm] ist, solltest Du Dir nun überlegen, ob der Zähler stets [mm] $\ge [/mm] 0$ oder doch vll. stets [mm] $\le [/mm] 0$ ist. Manchmal hilft es sich auch, analoge Funktionen bzw. deren Graphen mal zeichnen zu lassen. Wie sieht's denn z.B. mit dem Graphen von $x [mm] \mapsto f(x):=\frac{8x}{x^2+1}$ [/mm] auf [mm] $[1,\infty)$ [/mm] aus? Welcher Zusammenhang besteht zwischen [mm] $f\,$ [/mm] und der Folge [mm] $(a_n)$?
[/mm]
Wenn Du das verstehst, dann hättest Du, ohne zu rechnen, wenigstens schonmal eine Vermutung zum Monotonieverhalten der Folge [mm] $(a_n)\,.$ [/mm] Aber das nur nebenbei!
P.S.:
Du solltest mithilfe Deiner Rechnung einsehen, dass stets [mm] $a_{n+1}-a_n \le [/mm] 0$ (bzw. sogar [mm] $<\,0$) [/mm] gilt!
Gruß,
Marcel
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