Normalteiler - lineare Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 So 28.10.2007 | | Autor: | Hollo |
| Aufgabe | Voraussetzungen: B,U [mm] \subset G:=Gl(n,\IR), [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2.
B:= { [mm] (a_{ij}) \in [/mm] G | [mm] a_{ij}=0; [/mm] i>j }
U:= { [mm] (a_{ij}) \in [/mm] B | [mm] a_{ii}=1; [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n }
a) Zeige, dass B & U mit Matrizenmultiplikation Untergruppen von G sind und dass U ein Normalteiler von B ist.
b) Zeige: B/U [mm] \cong (\IR^{*})^{n}
[/mm]
c) Sind U,B Normalteiler von G?
d) Zeige, dass G kein Normalteiler von [mm] Gl(n,\IC) [/mm] ist für n [mm] \ge [/mm] 2. |
Hi, zunächst mal Entschuldigung, dass es so eine lange Aufgabe mit 4 Teilen ist..
Zu a) Zu zeigen, dass B,U UG sind war eigentlich leicht oder gibt es da Besonderheiten? Um zu zeigen, dass U NT ist suche ich einen Gruppenhomo [mm] \pi: [/mm] B [mm] \to B\U, [/mm] mit [mm] ker(\pi)=U. [/mm] Leider fällt mir nichts ein.. Was ist überhaupt [mm] B\U [/mm] in diesem Fall? Eine Menge von Nebenklassen, aber kann man sie nicht Explizit angeben irgendwie?
zu b)Siehe a), wie sieht B/U aus? Die andere Menge soll [mm] R^{n} [/mm] ohne Null sein
zu c) Reicht es hier ein Gegenbeispiel für n=2 zu geben? Da hätte ich eins..
zu d) hoffentlich keine Induktion!?
Ja das fällt mir so dazu ein, also leider nicht besonders viel..
Lg Hollo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Mo 29.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
zu a) und b): wende den homomorphiesatz auf $B [mm] \longrightarrow (\mathbb{R}^\times)^n; \; (a_{ij}) \longmapsto (a_{11}, a_{22}, [/mm] ..., [mm] a_{nn})^t$ [/mm] an.
zu c) wenn du ein gegenbeispiel für $n = 2$ hast, lässt sich das doch bestimmt schnell verallgemeinern, indem du die matrizen durch teile der einheitsmatrix ergänzt? gib doch mal dein gegenbeispiel an.
zu d) auch hier sollte sich schnell ein allgemeines gegenbeispiel finden lassen.
grüße
andreas
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