Normeuklidisch < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 So 29.08.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Zusammen
Ich habe ein Problem bezüglich normeuklidischer, quadratischer Zahlkörper. Und zwar nicht direkt mit den Zahlkörpern selbst, sondern bezogen auf einen Satz, den ich gefunden hab:
[mm]\textbf{Satz:}[/mm] Es sei [mm]d[/mm] die Diskriminante des quadratischen Zahlkörpers [mm]K[/mm]. Man setze [mm]s = \lfloor(\frac{d}{8})^{\frac{1}{2}}\rfloor[/mm] für [mm]d > 5[/mm], [mm]s = 1[/mm] für [mm]d = 5[/mm] und [mm]s = \lfloor(\frac{\mid d \mid}{3})^{\frac{1}{2}}\rfloor[/mm] für [mm]d < 0[/mm].
Dann gibt es zu jedem [mm]x \in K[/mm] eine natürliche Zahl [mm]q \le s[/mm] sowie eine ganze Zahl [mm]\alpha[/mm] in [mm]K[/mm] derart, dass der Normbetrag von [mm]qx - \alpha[/mm] kleiner als [mm]1[/mm] ist.
Ich verstehe nun nicht ganz, wie ich diesen Satz anzuwenden habe.. Nach meiner Interpretation ist nun jeder quadratischer Zahlkörper mit diskriminante [mm]d \notin \lbrace 0,1,2,3,4 \rbrace[/mm] normeuklidischn(Definition mit der Norm usw.), was aber ja nicht der Fall ist..
Beispielsweise für [mm]K = \mathbb{Q}(\sqrt{14})[/mm] haben wir [mm]disc(K) = 52[/mm], jedoch ist [mm]K[/mm] nicht normeuklidisch..
Was also genau sagt mir dieser Satz?
Ich weiss, die Frage ist ein bisschen zu allgemein gestellt.. jedoch weiss ich nicht was ich konkretisieren könnte.. hoffe, es kann trotzdem jemand darauf antworten :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 So 29.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> Ich habe ein Problem bezüglich normeuklidischer,
> quadratischer Zahlkörper. Und zwar nicht direkt mit den
> Zahlkörpern selbst, sondern bezogen auf einen Satz, den
> ich gefunden hab:
>
> [mm]\textbf{Satz:}[/mm] Es sei [mm]d[/mm] die Diskriminante des quadratischen
> Zahlkörpers [mm]K[/mm]. Man setze [mm]s = \lfloor(\frac{d}{8})^{\frac{1}{2}}\rfloor[/mm]
> für [mm]d > 5[/mm], [mm]s = 1[/mm] für [mm]d = 5[/mm] und [mm]s = \lfloor(\frac{\mid d \mid}{3})^{\frac{1}{2}}\rfloor[/mm]
> für [mm]d < 0[/mm].
> Dann gibt es zu jedem [mm]x \in K[/mm] eine natürliche Zahl [mm]q \le s[/mm]
> sowie eine ganze Zahl [mm]\alpha[/mm] in [mm]K[/mm] derart, dass der
> Normbetrag von [mm]qx - \alpha[/mm] kleiner als [mm]1[/mm] ist.
>
>
> Ich verstehe nun nicht ganz, wie ich diesen Satz anzuwenden
> habe.. Nach meiner Interpretation ist nun jeder
> quadratischer Zahlkörper mit diskriminante [mm]d \notin \lbrace 0,1,2,3,4 \rbrace[/mm]
> normeuklidischn(Definition mit der Norm usw.), was aber ja
> nicht der Fall ist..
Vorsicht: damit etwas normeuklidisch ist, muss $N(x - [mm] \alpha) [/mm] < 1$ sein. Du hast aber $N(q x - [mm] \alpha) [/mm] < 1$ fuer ein "kleines" $q [mm] \le [/mm] s$.
Damit du also aus dem Satz folgern kannst, das ein quadr. Zahlkoerper normeuklidisch ist, muss $s = 1$ sein.
> Beispielsweise für [mm]K = \mathbb{Q}(\sqrt{14})[/mm] haben wir
> [mm]disc(K) = 52[/mm], jedoch ist [mm]K[/mm] nicht normeuklidisch..
In dem Fall ist $s = 2$. Fuer manche Elemente $x$ in $K$ kann der Satz also theoretisch keine ganze Zahl [mm] $\alpha$ [/mm] mit $N(x - [mm] \alpha) [/mm] < 1$ liefern.
Wenn du aber zu einem $x$ kein solches [mm] $\alpha$ [/mm] findest, dann kannst du laut dem Satz ein [mm] $\alpha$ [/mm] zu finden mit $N(x - [mm] \frac{\alpha}{2}) [/mm] < [mm] \frac{1}{4}$ [/mm] (da $N(2 x - [mm] \alpha) [/mm] < 1$ und $N(2) = 4$).
> Was also genau sagt mir dieser Satz?
Der Satz sagt dir, wie stark der Koerper hoechstens vom Normeuklidisch sei abweicht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 So 29.08.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey
Danke Felix :)> Moin Amaro!
> Damit du also aus dem Satz folgern kannst, das ein quadr.
> Zahlkoerper normeuklidisch ist, muss [mm]s = 1[/mm] sein.
Das ist jetzt aber nur eine hinreichende Bedingung, oder?
Denn nach meinem Script ist für $disc(K) = 57$ wieder ein normeuklidischer Zahlkörper da, jedoch wäre hier auch $s = 2$..
D.h. für Diskriminanten $-12 < d < 32$ kann ich mit diesem Satz schlussfolgern, dass die jeweiligen Zahlkörper normeuklidisch sind.. ausserhalb aber dieses Bereichs gibt es weitere normeuklidische Zahlkörper, die sich aber mit diesem Satz nicht finden lassen.. richtig?
Wie finde ich denn die ausserhalb, die es trotzdem sind? (Ich glaube, das ist ein nicht ganz triviales Problem, oder?)
> LG Felix
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 So 29.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> > Damit du also aus dem Satz folgern kannst, das ein quadr.
> > Zahlkoerper normeuklidisch ist, muss [mm]s = 1[/mm] sein.
>
> Das ist jetzt aber nur eine hinreichende Bedingung, oder?
Genau.
> Denn nach meinem Script ist für [mm]disc(K) = 57[/mm] wieder ein
> normeuklidischer Zahlkörper da, jedoch wäre hier auch [mm]s = 2[/mm]..
Ja :)
> D.h. für Diskriminanten [mm]-12 < d < 32[/mm] kann ich mit diesem
> Satz schlussfolgern, dass die jeweiligen Zahlkörper
> normeuklidisch sind..
Ich hab deine Schranken jetzt nicht genau nachgerechnet, aber wenn du dich nicht verrechnet hast hast du wohl Recht :)
> ausserhalb aber dieses Bereichs gibt
> es weitere normeuklidische Zahlkörper, die sich aber mit
> diesem Satz nicht finden lassen.. richtig?
Ja.
> Wie finde ich denn die ausserhalb, die es trotzdem sind?
> (Ich glaube, das ist ein nicht ganz triviales Problem,
> oder?)
Trivial ist es nicht 
Ich vermute, man zeigt dass es wenn die Diskriminante zu gross ist immer Gegenbeispiele gibt. Dann bleibt noch ein gewisses Intervall zwischen dieser Grenze und der Grenze oben, dort muss man sich dann die einzelnden Diskriminanten genauer anschauen.
![[]](/images/popup.gif) Hier scheint das genauer ausgefuehrt zu werden.
LG Felix
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