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Potenzen: Lösungsansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Mo 06.07.2015
Autor: m8sar6l1Uu

Aufgabe
a, b [mm] \in \IR [/mm] mit b = 0

[mm] a^{b} [/mm] = 1 [mm] \gdw [/mm] (a = 1 [mm] \vee [/mm] b = 0 [mm] \not= [/mm] a)

Ich weiß nicht, wie ich dies beweisen soll.

Die Richtung: [mm] a^{b} [/mm] = 1 [mm] \Leftarrow [/mm] (a = 1 [mm] \vee [/mm] b = 0 [mm] \not= [/mm] a) ist einfach.

Aber die Gegenrichtung zu zeigen fällt mir schwer.

        
Bezug
Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Mo 06.07.2015
Autor: reverend

Hallo,

> a, b [mm]\in \IR[/mm] mit b = 0
>  
> [mm]a^{b}[/mm] = 1 [mm]\gdw[/mm] (a = 1 [mm]\vee[/mm] b = 0 [mm]\not=[/mm] a)
>  Ich weiß nicht, wie ich dies beweisen soll.
>  
> Die Richtung: [mm]a^{b}[/mm] = 1 [mm]\Leftarrow[/mm] (a = 1 [mm]\vee[/mm] b = 0 [mm]\not=[/mm]
> a) ist einfach.
>  
> Aber die Gegenrichtung zu zeigen fällt mir schwer.

Darfst Du logarithmieren? ;-)

Grüße
reverend

Bezug
        
Bezug
Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Mo 06.07.2015
Autor: M.Rex

Hallo
> a, b [mm]\in \IR[/mm] mit b = 0

>

> [mm]a^{b}[/mm] = 1 [mm]\gdw[/mm] (a = 1 [mm]\vee[/mm] b = 0 [mm]\not=[/mm] a)
> Ich weiß nicht, wie ich dies beweisen soll.

>

> Die Richtung: [mm]a^{b}[/mm] = 1 [mm]\Leftarrow[/mm] (a = 1 [mm]\vee[/mm] b = 0 [mm]\not=[/mm]
> a) ist einfach.

>

> Aber die Gegenrichtung zu zeigen fällt mir schwer.

mach dir das mal "in Worten" klar. [mm] a^n [/mm] bedeutet ja, dass du a eben n-mal mit sich selber multiplizieren musst. Damit dann immer noch 1 heruskommt, muss entweder die 1 mehrfach mit sich selber multipliziert werden oder eben die Zahl a eben genau 0-mal mit sich selber multipliziert werden.

Marius

Bezug
                
Bezug
Potenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:23 Di 07.07.2015
Autor: tobit09

Hallo Marius!


> mach dir das mal "in Worten" klar. [mm]a^n[/mm] bedeutet ja, dass du
> a eben n-mal mit sich selber multiplizieren musst.

In der (von mir vermuteten korrigierten) Aufgabenstellung muss aber $b$ gar keine natürliche Zahl n sein.


> Damit
> dann immer noch 1 heruskommt, muss entweder die 1 mehrfach
> mit sich selber multipliziert werden oder eben die Zahl a
> eben genau 0-mal mit sich selber multipliziert werden.

Betrachte mal $a=-1$ und $n=2$... ;-)
(Falls, wie von mir vermutet, $a>0$ vorausgesetzt sein soll, spielt dieser Fall natürlich für die Aufgabenstellung keine Rolle.)


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:13 Di 07.07.2015
Autor: tobit09

Hallo m8sar6l1Uu!


> a, b [mm]\in \IR[/mm] mit b = 0
>  
> [mm]a^{b}[/mm] = 1 [mm]\gdw[/mm] (a = 1 [mm]\vee[/mm] b = 0 [mm]\not=[/mm] a)

Bitte überprüfe die Aufgabenstellung:
Soll wirklich b die reelle Zahl 0 sein, wie es die Formulierung [mm] "$a,b\in\IR$ [/mm] mit $b=0$" ausdrückt?

Falls ja: Dann ist die linke Seite stets erfüllt (wenn ihr [mm] $a^0:=1$ [/mm] für alle [mm] $a\in\IR$ [/mm] definiert habt), während die rechte Seite für $a=0$ nicht erfüllt ist.
Die Behauptung ist also falsch.

Falls nein: Dann ist [mm] $a^b$ [/mm] zumindest für $a<0$ und [mm] $b\notin\IN_0$ [/mm] üblicherweise gar nicht definiert.
Auf der linken Seite von [mm] $\gdw$ [/mm] steht somit im Allgemeinen gar keine sinnvolle Aussage.


Ich erlaube mir daher mal, bis zur Klärung der Aufgabenstellung von [mm] "$a,b\in\IR$ [/mm] mit $a>0$" anstelle von [mm] "$a,b\in\IR$ [/mm] mit $b=0$" auszugehen.


> Die Richtung: [mm]a^{b}[/mm] = 1 [mm]\Leftarrow[/mm] (a = 1 [mm]\vee[/mm] b = 0 [mm]\not=[/mm]
> a) ist einfach.
>  
> Aber die Gegenrichtung zu zeigen fällt mir schwer.

Was weißt du über die (strenge) Monotonie der Abbildungen

       [mm] $f_a\colon\IR\to\IR,\quad a\mapsto a^x$ [/mm]

für $a>0$ in Abhängigkeit von a?
(Falls ihr das noch nicht hattet, nutze eure Definition von [mm] $a^x$, [/mm] um die Monotonie zu untersuchen.)

Für diejenigen $a>0$, für die [mm] $f_a$ [/mm] streng monoton ist, ist [mm] $f_a$ [/mm] insbesondere injektiv.
(Begründe dies, falls ihr diesen Zusammenhang noch nicht kennt.)

Insbesondere folgt für diese Zahlen $a$ im Falle [mm] $a^b=1$ [/mm] aus

       [mm] $f_a(b)=a^b=1=a^0=f_a(0)$ [/mm]

dann was?


Viele Grüße
Tobias

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