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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Quotientenmodul M/N endlich
Quotientenmodul M/N endlich < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Quotientenmodul M/N endlich: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:51 So 10.06.2012
Autor: triad

Aufgabe
Sei M freier [mm] $\IZ$-Modul [/mm] vom Rang r mit Basis [mm] (m_1,...,m_r). [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] M sei [mm] $\IZ$-Untermodul [/mm] vom Rang r mit Basis [mm] (n_1,...,n_r), [/mm] so dass

[mm] n_1 [/mm] = [mm] a_{11}m_1 [/mm] , [mm] n_2 [/mm] = [mm] a_{12}m_1 [/mm] + [mm] a_{22}m_2 [/mm] , ... , [mm] n_r [/mm] = [mm] a_{1r}m_1 [/mm] + ... + [mm] a_{rr}m_r, [/mm]

mit Elementen [mm] a_{ij}\in\IZ. [/mm]

Zeige, dass der Quotientenmodul $M/N$ endlich ist und dass die Anzahl seiner Elemente durch [mm] |a_{11}*...*a_{rr}| [/mm] gegeben ist.


Wir hatten in der Vorlesung, dass sei [mm] $M=Lin(m_1,...,m_n)\bruch{\sim}{}R^n [/mm] und betrachte [mm] M\supseteq M'=Lin(m_2,...,m_n)\bruch{\sim}{}R^{n-1} [/mm] mit [mm] (\bruch{\sim}{} [/mm] bedeutet "ist isomorph zu")

             [mm] M/M'\bruch{\sim}{}\!>R*m_1 [/mm]
[mm] \overline{r_1m_1}=\overline{r_1m_1+...+r_nm_n}\mapsto r*m_1 [/mm]

Hier bleibt ja von der Linearkombination [mm] \overline{r_1m_1+...+r_nm_n} [/mm] nur der Teil, der nicht in M' ist übrig, also nur [mm] \overline{r_1m_1}. [/mm]
Kann man das übertragen auf $M/N$? Ich soll zeigen $M/N$ ist endlich und würde daher gern wissen, wie M/N aussieht, denn N ist hier ja komplizierter definiert als M'.

Könnte man das so aufschreiben?:   [mm] M/N\to R\cdot{m} [/mm]
              z.B. bei [mm] \overline{n_r} =\overline{s_1m_1+...+s_rm_r}\;\mapsto\; [/mm] 0
           und bei [mm] \overline{n_{r-1}}=\overline{t_1m_1+...+t_{r-1}m_{r-1}}\;\mapsto\; t\cdot{m_r} [/mm]  usw.



Keine Ahnung, ob das überhaupt zielführend ist, deshalb danke fürs drüberschauen und helfen.



        
Bezug
Quotientenmodul M/N endlich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 So 10.06.2012
Autor: SEcki


> Keine Ahnung, ob das überhaupt zielführend ist, deshalb
> danke fürs drüberschauen und helfen.

Ich würde versuchen, jedes Element in der Projektion auf den Quotientenring, entsprechende dar zu stellen. Dazu würde ich den euklidischen Algorithmus von rechts nach links anwenden.

SEcki


Bezug
                
Bezug
Quotientenmodul M/N endlich: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:37 So 10.06.2012
Autor: triad


> > Keine Ahnung, ob das überhaupt zielführend ist, deshalb
> > danke fürs drüberschauen und helfen.
>  
> Ich würde versuchen, jedes Element in der Projektion auf
> den Quotientenring, entsprechende dar zu stellen. Dazu


Damit kann ich leider wenig anfangen. Welche Elemente meinst du damit, die [mm] n_i [/mm] ? Die Projektion auf den Quotientenmodul wäre doch dann die Restklassenabbildung [mm] $\pi :M\to M/N,\; m\mapsto \overline{m}$ [/mm] ?


> würde ich den euklidischen Algorithmus von rechts nach
> links anwenden.
>  
> SEcki
>  

Der Eukl. Algorithmus ist mir klar, was meinst du jedoch mit von rechts nach links anwenden? Man kann ihn von oben nach unten (vorwärts) oder umgedreht (rückwärts) anwenden (beides habe ich schonmal mit Zahlenbeispielen gemacht).


Bezug
                        
Bezug
Quotientenmodul M/N endlich: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Di 12.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Quotientenmodul M/N endlich: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 12.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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