Regel von de L'Hospital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Werte Sie folgende Ausdrücke nach der de L'Hospital regel aus:
a) [mm] \limes_{x \to 0} cos(x)*arcsin (x) [/mm]
b) [mm] \limes_{x \to 0}x^b*ln(x) [/mm]
c) [mm] \limes_{0 \to \pi}\bruch{1}{sin(x-\pi)} - \bruch{1}{x-\pi} [/mm] |
Hospitalregel:
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{f(x)}{g(x)} = \limes_{n \to a}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm]
a) [mm] \limes_{x \to 0} cos(x)*arcsin (x) = \limes_{x \to 0} -sin(x)*arcsin (x)+cos(x)*\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}=1 [/mm]
b) [mm] \limes_{x \to 0}x^b*ln(x) = \limes_{x \to 0}bx^{b-1}*ln(x) + x^b*1/x= -\infty [/mm]
[mm] -\infty [/mm] weil ln(x) für x->o gegen [mm] -\infty [/mm] strebt oder?
c) [mm] \limes_{0 \to \pi}\bruch{1}{sin(x-\pi)} - \bruch{1}{x-\pi} = \limes_{0 \to \pi}\bruch{0*sin(x-\pi)-1*cos(x-\pi)}{sin(x-\pi)^2} - \bruch{1}{(x-\pi)^2} = \limes_{0 \to \pi}\bruch{-cos(x-\pi)}{sin(x-\pi)^2} - \bruch{1}{(x-\pi)^2} = -\infty [/mm]
Der erste Bruch strebt gegen [mm] -\infty [/mm] weil er Nenner gegen 0 strebt. Der Zweite Bruch gegen 0. Somit das ganze gegen [mm] -\infty
[/mm]
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Sry dass ich des Ding nochmal auspack...
Mir geht es nur um c)
$ \limes_{0 \to \pi}\bruch{1}{sin(x-\pi)} - \bruch{1}{x-\pi} $
Typ: $ \infty-\infty $
Also muss ich den Term erst einmal umschreiben. In der Vorlesung hatten wir das so aufgeschrieben:
$ f(a)-g(a)=\infty-\infty $
$\lim_{x \to x_0}\bruch{\bruch{1}{g(x)}-\bruch{1}{f(x)}}{\bruch{1}{f(x)-g(x)}}$
Das ist dann im Typ \bruch{0}{0}
Jetzt muss ich meinen ausdruck in diese Form bringen:
$\lim_{x \to\pi}\bruch{\bruch{1}{\bruch{1}{x-\pi}}-\bruch{1}{\bruch{1}{sin(x-\pi)}}}{\bruch{1}{\bruch{1}{sin(x-\pi)}-\bruch{1}{x-\pi}}$
Hoffentlich kann man das lesen :)
Ich muss jetzt noch Zähler und Nenner getrennt ableiten und dann den Limes berechnen.
$\lim_{x \to\pi}\bruch{x-xcos(x-\pi)}{\bruch{x-xcos(x-\pi)*sin(x-\pi)*(x-\pi)}{(x-\pi)-sin(x-\pi}}$
=$\bruch{\pi-\pi*cos(\pi-\pi)}{\bruch{\pi-\pi*cos(\pi-\pi)*sin(\pi-\pi)*(\pi-\pi)}{(\pi-\pi)-sin(\pi-\pi}}$
=0
Past das so?
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Hallo bavarian!
> Mir geht es nur um c)
> [mm]\limes_{0 \to \pi}\bruch{1}{sin(x-\pi)} - \bruch{1}{x-\pi}[/mm]
Wie oben schon geschrieben: unter dem Limes muss es wohl [mm] $\red{x}\rightarrow\pi$ [/mm] lauten.
> Typ: [mm]\infty-\infty[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also muss ich den Term erst einmal umschreiben. In der
> Vorlesung hatten wir das so aufgeschrieben:
>
> [mm]f(a)-g(a)=\infty-\infty[/mm]
>
> [mm]\lim_{x \to x_0}\bruch{\bruch{1}{g(x)}-\bruch{1}{f(x)}}{\bruch{1}{f(x)-g(x)}}[/mm]
>
> Das ist dann im Typ [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
Was für ein unübersichtlicher Schwachsinn, sorry!
Dahinter steckt doch nur, dass man beide Terme gleichnamig macht und auf einen Bruchstrich schreibt.
> Jetzt muss ich meinen ausdruck in diese Form bringen:
> [mm]\lim_{x \to\pi}\bruch{\bruch{1}{\bruch{1}{x-\pi}}-\bruch{1}{\bruch{1}{sin(x-\pi)}}}{\bruch{1}{\bruch{1}{sin(x-\pi)}-\bruch{1}{x-\pi}}[/mm]
Und Du folgst dem o.g. Schwachsinn auch noch.
Das zeigt eher, dass Du obige Umformung nicht verstanden hast.
Wie gesagt: das ist simpelste Bruchrechnung durch Gleichnamigmachen und auf einen Bruchstrich schreiben.
Und genau das machst Du jetzt auch bitte und vereinfachst noch, bevor Du an Herrn de l'Hospital mit seinen Ableitungen denkst.
Gruß vom
Roadrunner
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> Hallo bavarian!
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> > Mir geht es nur um c)
> > [mm]\limes_{0 \to \pi}\bruch{1}{sin(x-\pi)} - \bruch{1}{x-\pi}[/mm]
>
> Wie oben schon geschrieben: unter dem Limes muss es wohl
> [mm]\red{x}\rightarrow\pi[/mm] lauten.
>
>
> > Typ: [mm]\infty-\infty[/mm]
>
>
>
> Wie gesagt: das ist simpelste Bruchrechnung durch
> Gleichnamigmachen und auf einen Bruchstrich schreiben.
[mm]\limes_{x \to \pi}\bruch{1}{sin(x-\pi)} - \bruch{1}{x-\pi}[/mm]
[mm]\limes_{x \to \pi}\bruch{(x-\pi)-sin(x-\pi)}{sin(x-\pi)*(x-\pi)}[/mm]
Mit der vereinfachung hab ich jetzt Probleme. Kann ich da was kürzen? Wobei ich natürlich bei der Differenz sowohl Minuend und Subtrahend kürzen muss.
>
> Und genau das machst Du jetzt auch bitte und vereinfachst
> noch, bevor Du an Herrn de l'Hospital mit seinen
> Ableitungen denkst.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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Hallo bavarian!
> [mm]\limes_{x \to \pi}\bruch{1}{sin(x-\pi)} - \bruch{1}{x-\pi}[/mm]
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> [mm]\limes_{x \to \pi}\bruch{(x-\pi)-sin(x-\pi)}{sin(x-\pi)*(x-\pi)}[/mm]
Das kann man nun vereinfachen mit folgender Subsitution (wenn man mag): $z \ := \ [mm] x-\pi$
[/mm]
Dann wird aus obigem Term: [mm]\limes_{z \to 0}\bruch{z-\sin(z)}{\sin(z)*z}[/mm]
Und hierauf (oder auch auf obige Zeile) kann man nun Herrn de l'Hospital loslassen, da es sich um einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm] $\tfrac{0}{0}$ [/mm] handelt.
Und das ist doch deutlich einfacher als das, was Du uns neulich angeboten hattest, oder?!
Gruß vom
Roadrunner
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> Hallo bavarian!
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> > [mm]\limes_{x \to \pi}\bruch{1}{sin(x-\pi)} - \bruch{1}{x-\pi}[/mm]
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> > [mm]\limes_{x \to \pi}\bruch{(x-\pi)-sin(x-\pi)}{sin(x-\pi)*(x-\pi)}[/mm]
>
> Das kann man nun vereinfachen mit folgender
> Subsitution (wenn man mag): [mm]z \ := \ x-\pi[/mm]
>
> Dann wird aus obigem Term: [mm]\limes_{z \to 0}\bruch{z-\sin(z)}{\sin(z)*z}[/mm]
Warum setzt du hier unterm Limes z->0? Kann man das frei bestimmen sodass es passt? Wahrscheinlich nicht...
> Und hierauf (oder auch auf obige Zeile) kann man nun Herrn
> de l'Hospital loslassen, da es sich um einen unbestimmten
> Ausdruck der Form [mm]\tfrac{0}{0}[/mm] handelt.
>
> Und das ist doch deutlich einfacher als das, was Du uns
> neulich angeboten hattest, oder?!
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Di 11.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo bavarian!
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> > > [mm]\limes_{x \to \pi}\bruch{1}{sin(x-\pi)} - \bruch{1}{x-\pi}[/mm]
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> > > [mm]\limes_{x \to \pi}\bruch{(x-\pi)-sin(x-\pi)}{sin(x-\pi)*(x-\pi)}[/mm]
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> > Das kann man nun vereinfachen mit folgender
> > Subsitution (wenn man mag): [mm]z \ := \ x-\pi[/mm]
> >
> > Dann wird aus obigem Term: [mm]\limes_{z \to 0}\bruch{z-\sin(z)}{\sin(z)*z}[/mm]
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> Warum setzt du hier unterm Limes z->0? Kann man das frei
> bestimmen sodass es passt? Wahrscheinlich nicht...
Roadrunner hat gesetzt: $ z \ := \ [mm] x-\pi [/mm] $
Dann gilt: $x [mm] \to \pi$ \gdw [/mm] $z [mm] \to [/mm] 0$
FRED
> > Und hierauf (oder auch auf obige Zeile) kann man nun
> Herrn
> > de l'Hospital loslassen, da es sich um einen unbestimmten
> > Ausdruck der Form [mm]\tfrac{0}{0}[/mm] handelt.
> >
> > Und das ist doch deutlich einfacher als das, was Du uns
> > neulich angeboten hattest, oder?!
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> >
> > Gruß vom
> > Roadrunner
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> > > Hallo bavarian!
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> > > > [mm]\limes_{x \to \pi}\bruch{1}{sin(x-\pi)} - \bruch{1}{x-\pi}[/mm]
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> > > > [mm]\limes_{x \to \pi}\bruch{(x-\pi)-sin(x-\pi)}{sin(x-\pi)*(x-\pi)}[/mm]
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> > > Das kann man nun vereinfachen mit folgender
> > > Subsitution (wenn man mag): [mm]z \ := \ x-\pi[/mm]
> > >
> > > Dann wird aus obigem Term: [mm]\limes_{z \to 0}\bruch{z-\sin(z)}{\sin(z)*z}[/mm]
>
Hab mal weitergerechnet.
[mm]\limes_{z \to 0}\bruch{z-\sin(z)}{\sin(z)*z}[/mm]
Ableiten:
[mm]\limes_{z \to 0}\bruch{1-\cos(z)}{\cos(z)*1}[/mm]
=0
Also strebt der Ausdruck gegen null.
Ode muss ich noch irgendwas resubstituieren?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo bavarian!
> =[mm]\bruch{\pi-\pi*cos(\pi-\pi)}{\bruch{\pi-\pi*cos(\pi-\pi)*sin(\pi-\pi)*(\pi-\pi)}{(\pi-\pi)-sin(\pi-\pi}}[/mm]
Allein wenn ich diese Darstellung mit den ganzen [mm] $\pi-\pi$ [/mm] sehe, wird mir schwummrig. ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Hier steht nichts anderes als ein unbestimmter Ausdruck der Form [mm] $\bruch{ \ \ 0 \ \ }{\ \ \bruch{\pi}{0} \ \ }$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mo 10.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Mit $ [mm] \limes_{0 \to \pi}\bruch{1}{sin(x-\pi)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x-\pi} [/mm] $
ist wohl $ [mm] \limes_{x \to \pi}(\bruch{1}{sin(x-\pi)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x-\pi}) [/mm] $ gemeint.
Es ist $ [mm] \limes_{x \to \pi}(\bruch{1}{sin(x-\pi)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x-\pi}) [/mm] $= $ [mm] \limes_{t \to 0}(\bruch{1}{sin(t)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{t}) [/mm] $
So, jetzt nochmal ran an den Speck.
FRED
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Hallo,
> Werte Sie folgende Ausdrücke nach der de L'Hospital regel
> aus:
>
> a) [mm]\limes_{x \to 0} cos(x)*arcsin (x)[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{x \to 0}x^b*ln(x)[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{0 \to \pi}\bruch{1}{sin(x-\pi)} - \bruch{1}{x-\pi}[/mm]
Das soll wohl [mm]x\to\pi[/mm] heißen ...
>
> Hospitalregel:
> [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{f(x)}{g(x)} = \limes_{n \to a}\bruch{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
Was steht denn da für ein Kokolores?
Das ist doch Quatsch mit Soße ...
Schlag die Regel mal nach und schaue, was da genau steht ...
>
>
> a) [mm]\limes_{x \to 0} cos(x)*arcsin (x) = \limes_{x \to 0} -sin(x)*arcsin (x)+cos(x)*\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}=1[/mm]
Du hast doch mit [mm]\cos(x)\cdot{}\operatorname{arcsin}(x)[/mm] überhaupt keinen Quotienten vorliegen ...
Der Cosinus strebt gegen 1, der Arcussinus gegen 0 - macht im Produkt 0 als GW für [mm]x\to 0[/mm]
Was willst du da mit de l'Hôpital?
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> b) [mm]\limes_{x \to 0}x^b*ln(x) = \limes_{x \to 0}bx^{b-1}*ln(x) + x^b*1/x= -\infty[/mm]
Was machst du da?
Du musst das erstmal in einen Quotienten umschreiben - etwa:
[mm]x^b\cdot{}\ln(x)=\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x^b}}[/mm]
Außerdem hängt das doch wohl von b ab, was hier passiert ...
Ist darüber irgendwas gesagt?
>
> [mm]-\infty[/mm] weil ln(x) für x->o gegen [mm]-\infty[/mm] strebt oder?
>
> c) [mm]\limes_{0 \to \pi}\bruch{1}{sin(x-\pi)} - \bruch{1}{x-\pi} = \limes_{0 \to \pi}\bruch{0*sin(x-\pi)-1*cos(x-\pi)}{sin(x-\pi)^2} - \bruch{1}{(x-\pi)^2} = \limes_{0 \to \pi}\bruch{-cos(x-\pi)}{sin(x-\pi)^2} - \bruch{1}{(x-\pi)^2} = -\infty[/mm]
>
> Der erste Bruch strebt gegen [mm]-\infty[/mm] weil er Nenner gegen 0
> strebt. Der Zweite Bruch gegen 0. Somit das ganze gegen
> [mm]-\infty[/mm]
>
Nein, das strebt gegen 0
Du hast ziemlich großen Unfug getrieben ...
Du musst immer erst einen Quotienten [mm]f(x)/g(x)[/mm] basteln, dann schauen, ob die Voraussetzungen für die Regel von de l'Hôpital erfüllt sind und dann ggfs Zähler und Nenner getrennt (!!!) ableiten und dann nochmal schauen, was [mm]f'(x)/g'(x)[/mm] im Grenzübergang treibt ...
Gruß
schachuzipus
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Produktregel