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| Aufgabe | Satz von Dirichlet:
Sei [mm] $f:\mathbb{T}\longrightarrow \mathbb{C}$ [/mm] stückweise stetig differenzierbar, [mm] d.\,h. [/mm] es gebe eine Zerlegung [mm] $-\pi=\tau_0<\tau_1<\ldots<\tau_{m+1}=\pi$ [/mm] des Intervalls [mm] $[-\pi,\pi]$ [/mm] so, dass sich [mm] $f|_{]\tau_j,\tau_{j+1}[}$ [/mm] für jedes [mm] $j=0,1,\ldots,m$ [/mm] zu einer stetig differenzierbaren Funktion auf [mm] $[\tau_j,\tau_{j+1}]$ [/mm] fortsetzen läßt . Für [mm] $t\in[-\pi,\pi]$ [/mm] bezeichne [mm] $f(t\pm0)$ [/mm] den einseitigen Grenzwert [mm] $$f(t\pm0):=\lim_{\tau\rightarrow 0 \\ \tau>0}f(t\pm\tau).$$ [/mm] Dann gilt: [mm] $$\lim_{N\rightarrow \infty} S_Nf(t)=\frac{f(t+0)+f(t-0)}{2}.$$
[/mm]
Ist $f$ stetig im Punkte $t$, so folgt insbesondere [mm] $$\lim_{N\rightarrow \infty} [/mm] S_Nf(t)=f(t).$$ |
Also, wie schon erwähnt (in einer anderen Diskussion) muss ich ein Seminar vorbereiten und da versteh ich ein Paar Dinge nicht!
Dieser Beweis des obigen Satzes ist ein Beispiel dafür:
Beweis:
Wir setzen im Satz von Dini [mm] $$A:=\frac{f(t+0)+f(t-0)}{2}.$$ [/mm] Für $s>0$ ist dann
[mm] $\frac{1}{s}\left(\frac{f(t+s)+f(t-s)}{2}-A\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{f(t+s)+f(t-s)}{s}-\frac{f(t+0)+f(t-0)}{s}\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{f(t+s)-f(t+0)}{s}-\frac{f(t-0)-f(t-s)}{s}\right]$
[/mm]
Da $f$ stückweise stetig differenzierbar ist, existieren für [mm] $s\rightarrow [/mm] 0$ die Grenzwerte von
[mm] $$\frac{f(t+s)-f(t+0)}{s} \quad \text{ bzw. } \quad \frac{f(t-0)-f(t-s)}{s},$$
[/mm]
und stimmen mit der rechtsseitigen Ableitung $f'(t+0)$ bzw. der linksseitigen Ableitung $f'(t-0)$ von $f$ im Punkte $t$ überein. Damit ist der Integrand
[mm] $$g(s):=\left|\frac{f(t+s)+f(t-s)}{2}-A\right|\frac{1}{s}$$
[/mm]
stetig in $0$
Hier ist meine erste Frage: Wieso ist g dann stückweise stetig?
Muss ich dafür nicht zeigen, dass [mm] $\lim_{s\rightarrow 0}g(s)=g(0)$ [/mm] aber gezeigt hab ich doch nur, dass [mm] $\lim_{s\rightarrow 0}g(s)$ [/mm] existiert oder?
, [mm] d.\,h. [/mm] mit $f$ ist auch $g$ stückweise stetig. Ferner gilt
[mm] $\int_0^{\pi} g(s)ds<\infty$
[/mm]
Hier ist meine zweite Frage: Wie komm ich auf diese Aussage?
Kann mir da jemand behilflich sein?
Gruß Frank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Satz von Dirichlet:
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> Sei [mm]$f:\mathbb{T}\longrightarrow \mathbb{C}$[/mm] stückweise
> stetig differenzierbar, [mm]d.\,h.[/mm] es gebe eine Zerlegung
> [mm]$-\pi=\tau_0<\tau_1<\ldots<\tau_{m+1}=\pi$[/mm] des Intervalls
> [mm]$[-\pi,\pi]$[/mm] so, dass sich [mm]$f|_{]\tau_j,\tau_{j+1}[}$[/mm] für
> jedes [mm]$j=0,1,\ldots,m$[/mm] zu einer stetig differenzierbaren
> Funktion auf [mm]$[\tau_j,\tau_{j+1}]$[/mm] fortsetzen läßt . Für
> [mm]$t\in[-\pi,\pi]$[/mm] bezeichne [mm]$f(t\pm0)$[/mm] den einseitigen
> Grenzwert [mm]f(t\pm0):=\lim_{\tau\rightarrow 0 \\ \tau>0}f(t\pm\tau).[/mm]
> Dann gilt: [mm]\lim_{N\rightarrow \infty} S_Nf(t)=\frac{f(t+0)+f(t-0)}{2}.[/mm]
>
> Ist $f$ stetig im Punkte $t$, so folgt insbesondere
> [mm]\lim_{N\rightarrow \infty} S_Nf(t)=f(t).[/mm]
> Also, wie schon
> erwähnt (in einer anderen Diskussion) muss ich ein Seminar
> vorbereiten und da versteh ich ein Paar Dinge nicht!
>
> Dieser Beweis des obigen Satzes ist ein Beispiel dafür:
>
> Beweis:
>
> Wir setzen im Satz von Dini [mm]A:=\frac{f(t+0)+f(t-0)}{2}.[/mm]
> Für $s>0$ ist dann
> [mm]\frac{1}{s}\left(\frac{f(t+s)+f(t-s)}{2}-A\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{f(t+s)+f(t-s)}{s}-\frac{f(t+0)+f(t-0)}{s}\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{f(t+s)-f(t+0)}{s}-\frac{f(t-0)-f(t-s)}{s}\right][/mm]
> Da [mm]f[/mm] stückweise stetig differenzierbar ist, existieren
> für [mm]s\rightarrow 0[/mm] die Grenzwerte von
> [mm]\frac{f(t+s)-f(t+0)}{s} \quad \text{ bzw. } \quad \frac{f(t-0)-f(t-s)}{s},[/mm]
>
> und stimmen mit der rechtsseitigen Ableitung [mm]f'(t+0)[/mm] bzw.
> der linksseitigen Ableitung [mm]f'(t-0)[/mm] von [mm]f[/mm] im Punkte [mm]t[/mm]
> überein. Damit ist der Integrand
> [mm]g(s):=\left|\frac{f(t+s)+f(t-s)}{2}-A\right|\frac{1}{s}[/mm]
> stetig in [mm]0[/mm]
>
> Hier ist meine erste Frage: Wieso ist g dann stückweise
> stetig?
> Muss ich dafür nicht zeigen, dass [mm]\lim_{s\rightarrow 0}g(s)=g(0)[/mm]
> aber gezeigt hab ich doch nur, dass [mm]\lim_{s\rightarrow 0}g(s)[/mm]
> existiert oder?
g ist zunächst in s = 0 nicht definiert, aber es ex. [mm]\lim_{s\rightarrow 0}g(s)[/mm]. Setze also
g(0):= [mm]\lim_{s\rightarrow 0}g(s)[/mm]
Dann ist g in 0 stetig. g ist nun stückweise stetig, weil f stückweise stetig ist.
>
> , [mm]d.\,h.[/mm] mit [mm]f[/mm] ist auch [mm]g[/mm] stückweise stetig. Ferner gilt
>
> [mm]\int_0^{\pi} g(s)ds<\infty[/mm]
>
> Hier ist meine zweite Frage: Wie komm ich auf diese
> Aussage?
Da g nur höchsten endlich viele Unstetigkeitsstellen hat, ist g Riemannintegrierbar über [0, [mm] \pi]
[/mm]
FRED
>
> Kann mir da jemand behilflich sein?
>
> Gruß Frank
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