Schnittgerade aus PNF der E.s < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Di 29.05.2007 | | Autor: | dexter |
Es geht um die Schnittgeradenberechnung einer Ebenenschar.
Ich möchte aus der Punkt-Normalenform dieser Schar die Schnittgerade bestimmen können.
Ist das ohne Umforumung überhaupt möglich?
[mm] \begin{pmatrix} 2k \\ 4 \\ 3-k \end{pmatrix}\times[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}] [/mm] = 0
Ich benutze zwei Ebenen dieser Schar:
Wenn ich eine Umformung in Parameterform vornehme und dann einfach [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] einsetze kriege ich folgende Lösung:
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1,5 \\ 1,25 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 0,5 \\ -0,75 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Wie oben schon gesagt möchte ich wissen, ob ich nicht auch ohne Umformung, also gleich von der Punkt-Normalen-Form, die Schnittgeradengleichung berechnen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hi, dexter,
> Es geht um die Schnittgeradenberechnung einer Ebenenschar.
> Ich möchte aus der Punkt-Normalenform dieser Schar die
> Schnittgerade bestimmen können.
> Ist das ohne Umforumung überhaupt möglich?
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2k \\ 4 \\ 3-k \end{pmatrix}\times[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}][/mm] = 0
>
> Ich benutze zwei Ebenen dieser Schar:
> Wenn ich eine Umformung in Parameterform vornehme und dann
> einfach [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm] einsetze
> kriege ich folgende Lösung:
>
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1,5 \\ 1,25 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda \begin{pmatrix} 0,5 \\ -0,75 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Wie oben schon gesagt möchte ich wissen, ob ich nicht auch
> ohne Umformung, also gleich von der Punkt-Normalen-Form,
> die Schnittgeradengleichung berechnen kann.
Das geht z.B. so:
(1) Wie man erkennt, liegt der Punkt A(1; 2; -1) in allen Ebenen der Schar,
demnach auch auf der Schnittgeraden:
Folglich kann man ihn als Aufpunkt der Schnittgeraden verwenden.
(2) Der Richtungsvektor der Schnittgeraden steht auf allen Normalenvektoren der Ebenenschar senkrecht.
Also kann man ihn umgekehrt als KREUZPRODUKT zweier dieser Normalenvektoren (z.B. mit k=0 und k=1) berechnen:
[mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 3} \times \vektor{2 \\ 4 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 6 \\ -8} [/mm] = -2* [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 4}
[/mm]
Und schon kannst Du eine Gleichung der Schnittgeraden hinschreiben!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
