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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 So 15.06.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Seien [mm] \Omega [/mm] und [mm] \Omega_0 \not= \emptyset. [/mm] Beweise:
a) Seien [mm] \mathcal{F} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf [mm] \Omega [/mm] und [mm] \Omega_0 \subset \Omega. [/mm] Dann ist [mm] \mathcal{F} \cap \Omega_0 [/mm] = {A [mm] \cap \Omega_0: [/mm] A [mm] \in \mathcal{F} [/mm] } eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf [mm] \Omega_0.
[/mm]
b) Sei E={A} für ein A [mm] \in \Omega. [/mm] Dann ist [mm] \sigma(E)= [/mm] { A, [mm] A^C, \Omega, \emptyset [/mm] }.
c) Für E={A [mm] \subset \Omega: [/mm] A endlich } ist [mm] \sigma(E) [/mm] = { A [mm] \subset \Omega: [/mm] A oder [mm] A^C [/mm] höchstens abzählbar} |
Hallo!
zu a)
(i) Es ist [mm] \Omega \in \mathcal{F} [/mm] und [mm] \Omega_0 \subset \Omega, [/mm] also [mm] \Omega_0 \in \mathcal{F} [/mm] und damit [mm] \Omega_0 \in \mathcal{F} \cap \Omega_0.
[/mm]
(ii) Es ist (F [mm] \cap \Omega_0)^C [/mm] = [mm] F^C \cup \Omega_0^C. [/mm] Da [mm] F^C \in \mathcal{F}, [/mm] ist [mm] F^C \in \mathcal{F} \cap \Omega_0. [/mm] Also: (F [mm] \cap \Omega_0)^C \in \mathcal{F} \cap \Omega_0.
[/mm]
(iii) Es ist [mm] \bigcup_{n \in IN} (F_n) \in \mathcal{F}. [/mm] Also ( [mm] \bigcup_{n \in IN} (F_n) [/mm] ) [mm] \cap \Omega_0 \in \mathcal{F} \cap \Omega_0.
[/mm]
zu b) Muss man hier folgenden Fall extra betrachten: A= [mm] \emptyset [/mm] ?
Ansonsten ist die Aussage klar, aber wie soll ich das noch beweisen?
zu c) Hier habe ich keine Idee, wie ich anfangen soll..
Danke im Voraus!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 So 15.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Habt ihr Vorschlaege?
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Hiho,
> (i) Es ist [mm]\Omega \in \mathcal{F}[/mm] und [mm]\Omega_0 \subset \Omega,[/mm] also [mm]\Omega_0 \in \mathcal{F}[/mm]
Das ist falsch. [mm] \Omega_0 [/mm] ist im Allgemeinen kein Element von [mm] $\mathcal{F}$
[/mm]
>Da [mm]F^C \in \mathcal{F},[/mm] ist [mm]F^C \in \mathcal{F} \cap \Omega_0.[/mm]
Warum sollte das gelten?
Das stimmt im Allgemeinen ebenfalls nicht.
> (iii) Es ist [mm]\bigcup_{n \in IN} (F_n) \in \mathcal{F}.[/mm] Also
> ( [mm]\bigcup_{n \in IN} (F_n)[/mm] ) [mm]\cap \Omega_0 \in \mathcal{F} \cap \Omega_0.[/mm]
Ja, nur was soll das zeigen?
>
> zu b) Muss man hier folgenden Fall extra betrachten: A=
> [mm]\emptyset[/mm] ?
> Ansonsten ist die Aussage klar, aber wie soll ich das noch beweisen?
Na ich behaupte nun, dass $ [mm] \sigma(E) \subset \{ A, $ A^C, \Omega, \emptyset\}$
[/mm]
Und nun?
> zu c) Hier habe ich keine Idee, wie ich anfangen soll..
Wie bei a), alle drei Eigenschaften direkt zeigen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 So 15.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Könntest du mir mal bei der a sagen wie es dann richtigerweise gehen soll?
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Hiho,
> Könntest du mir mal bei der a sagen wie es dann richtigerweise gehen soll?
klar.
Es ist zu zeigen: [mm] $\Omega_0 \in \mathcal{F} \cap \Omega_0$, [/mm] da [mm] $\mathcal{F} \cap \Omega_0 [/mm] = [mm] \{A \cap \Omega_0 | A \in \mathcal{F}\}$ [/mm] ist also zu zeigen, dass es ein $A [mm] \in \mathcal{F}$ [/mm] gibt, so dass [mm] $\Omega_0 [/mm] = [mm] A\cap\Omega_0$.
[/mm]
Tollerweise liefert $A = [mm] \Omega$ [/mm] das gewünschte.
i) [mm] \checkmark
[/mm]
nun zu ii): Es ist zu zeigen: Für $F [mm] \in \mathcal{F} \cap \Omega_0$ [/mm] ist auch [mm] $F^c \in \mathcal{F} \cap \Omega_0$.
[/mm]
Es gilt also: $F = A [mm] \cap \Omega_0$ [/mm] für ein $A [mm] \in \mathcal{F}$
[/mm]
Nun ist zu zeigen: Es gibt ein $B [mm] \in \mathcal{F}$ [/mm] so dass [mm] $F^c [/mm] = B [mm] \cap \Omega_0$.
[/mm]
Nun du!
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Mo 16.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Kann ich dann B = [mm] A^C [/mm] wählen?
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Hiho,
> Kann ich dann B = [mm]A^C[/mm] wählen?
wenn du das können willst, zeige es!
Du kannst ja nicht irgendwas behaupten, sondern musst es wohl zeigen.
Es gilt: $F = A [mm] \cap \Omega_0$, [/mm] damit ist [mm] F^c [/mm] = [mm] A^c \cup \Omega_0^c$
[/mm]
Warum sollten un gelten [mm] $A^c \cup \Omega_0^c [/mm] = [mm] A^c \cap \Omega_0$?
[/mm]
Im Allgemeinen gilt das wohl nicht.....
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Di 17.06.2014 | | Autor: | rollroll |
> Es ist zu zeigen: [mm]\Omega_0 \in \mathcal{F} \cap \Omega_0[/mm],
> da [mm]\mathcal{F} \cap \Omega_0 = \{A \cap \Omega_0 | A \in \mathcal{F}\}[/mm]
> ist also zu zeigen, dass es ein [mm]A \in \mathcal{F}[/mm] gibt, so
> dass [mm]\Omega_0 = A\cap\Omega_0[/mm].
Warum steht hier jetzt ein Gleichheitszeichen und kein Element-Zeichen mehr?
> > nun zu ii): Es ist zu zeigen: Für [mm]F \in \mathcal{F} \cap \Omega_0[/mm]
> ist auch [mm]F^c \in \mathcal{F} \cap \Omega_0[/mm].
>
> Es gilt also: [mm]F = A \cap \Omega_0[/mm] für ein [mm]A \in \mathcal{F}[/mm]
>
> Nun ist zu zeigen: Es gibt ein [mm]B \in \mathcal{F}[/mm] so dass
> [mm]F^c = B \cap \Omega_0[/mm].
Jetzt muss man ja das B so wählen, dass das funktioniert.
Es ist ja [mm] F^C [/mm] = 1-(A [mm] \cap \Omega_0)
[/mm]
Ich sehe aber nicht, wie ich B jetzt wählen kann, sodass [mm] F^C [/mm] = B [mm] \cap \Omega_0
[/mm]
Und bei b) und c) muss ich dann zunächst zeigen, dass [mm] \sigma(E) [/mm] Sigma-Algebren sind, oder ist das vorausgesetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist zu zeigen: [mm]\Omega_0 \in \mathcal{F} \cap \Omega_0[/mm],
> > da [mm]\mathcal{F} \cap \Omega_0 = \{A \cap \Omega_0 | A \in \mathcal{F}\}[/mm]
> > ist also zu zeigen, dass es ein [mm]A \in \mathcal{F}[/mm] gibt, so
> > dass [mm]\Omega_0 = A\cap\Omega_0[/mm].
>
> Warum steht hier jetzt ein Gleichheitszeichen und kein
> Element-Zeichen mehr?
Weil es um die Gleichheit zweier Mengen geht !
>
> > > nun zu ii): Es ist zu zeigen: Für [mm]F \in \mathcal{F} \cap \Omega_0[/mm]
> > ist auch [mm]F^c \in \mathcal{F} \cap \Omega_0[/mm].
> >
> > Es gilt also: [mm]F = A \cap \Omega_0[/mm] für ein [mm]A \in \mathcal{F}[/mm]
>
> >
> > Nun ist zu zeigen: Es gibt ein [mm]B \in \mathcal{F}[/mm] so dass
> > [mm]F^c = B \cap \Omega_0[/mm].
Vorsicht: mit [mm] F^c [/mm] ist hier $ [mm] \Omega_0 \setminus [/mm] F$ gemeint
>
> Jetzt muss man ja das B so wählen, dass das funktioniert.
>
> Es ist ja [mm]F^C[/mm] = 1-(A [mm]\cap \Omega_0)[/mm]
Was soll den die 1 da ???
>
> Ich sehe aber nicht, wie ich B jetzt wählen kann, sodass
> [mm]F^C[/mm] = B [mm]\cap \Omega_0[/mm]
Versuchs mal mir $B= [mm] \Omega \setminus [/mm] A$
>
>
> Und bei b) und c) muss ich dann zunächst zeigen, dass
> [mm]\sigma(E)[/mm] Sigma-Algebren sind, oder ist das vorausgesetzt?
[mm]\sigma(E)[/mm] ist doch nach Definition(!) eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra (die von E erzeugte [mm] \sigma [/mm] - Algebra.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Di 17.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Also mit dem von dir angegebenen B erhalte ich dann:
B [mm] \cap \Omega_0 [/mm] = ( [mm] \Omega [/mm] \ A) [mm] \cap \Omega_0 [/mm] = [mm] \Omega_0 [/mm] \ (A [mm] \cap \Omega_0 [/mm] ) = ( A [mm] \cap \Omega_0)^C [/mm] = [mm] F^C.
[/mm]
Ist das so ok?
Ehrlich gesagt ist mir dann gar nicht ganz klar, was überhaupt bei b und c zu zeigen ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also mit dem von dir angegebenen B erhalte ich dann:
>
> B [mm]\cap \Omega_0[/mm] = ( [mm]\Omega[/mm] \ A) [mm]\cap \Omega_0[/mm] = [mm]\Omega_0[/mm] \
> (A [mm]\cap \Omega_0[/mm] ) = ( A [mm]\cap \Omega_0)^C[/mm] = [mm]F^C.[/mm]
>
> Ist das so ok?
Nein.
Sei F [mm] \in \mathcal{F} \cap \Omega_0. [/mm] Dann ex. ein A [mm] \in \mathcal{F} [/mm] mit: F= A [mm] \cap \Omega_0.
[/mm]
Setze B:= [mm] \Omega \setminus [/mm] A.
zeige: [mm] \Omega_0 \setminus [/mm] F= B [mm] \cap \Omega_0.
[/mm]
damit ist [mm] \Omega_0 \setminus [/mm] F [mm] \in \mathcal{F} \cap \Omega_0.
[/mm]
>
> Ehrlich gesagt ist mir dann gar nicht ganz klar, was
> überhaupt bei b und c zu zeigen ist...
zu b) (für c) gilt ähnliches):
Es war [mm] E=\{A\}.
[/mm]
Du sollst zeigen: [mm] \sigma(E)= \{A,A^c, \Omega, \emptyset\}
[/mm]
Dazu zeige: 1. [mm] \{A,A^c, \Omega, \emptyset\} [/mm] ist eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra, die E enthält.
2. [mm] \{A,A^c, \Omega, \emptyset\} [/mm] ist die kleinste [mm] \sigma [/mm] - Algebra, die E enthält.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Di 17.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Neuer Versuch:
[mm] \Omega_0 \setminus [/mm] F = [mm] \Omega_0 \setminus [/mm] (A [mm] \cap \Omega_0) [/mm] = [mm] \Omega_0 \setminus [/mm] A.
Und
B [mm] \cap \Omega_0 [/mm] = ( [mm] \Omega \setminus [/mm] A) [mm] \cap \Omega_0 [/mm] = [mm] \Omega_0 [/mm] \ A [mm] \cap \Omega_0 [/mm] = [mm] \Omega_0 [/mm] \ A.
Ah, jetzt sehe ich die Gleichheit 
Wie zeige ich die letzte Eigenschaft?
zu b) Ist es nicht klar, dass [mm] \{A,A^c, \Omega, \emptyset\} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra ist, die E enthält. Weil E ja nur aus {A} besteht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Neuer Versuch:
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> [mm]\Omega_0 \setminus[/mm] F = [mm]\Omega_0 \setminus[/mm] (A [mm]\cap \Omega_0)[/mm]
> = [mm]\Omega_0 \setminus[/mm] A.
>
> Und
>
> B [mm]\cap \Omega_0[/mm] = ( [mm]\Omega \setminus[/mm] A) [mm]\cap \Omega_0[/mm] =
> [mm]\Omega_0[/mm] \ A [mm]\cap \Omega_0[/mm] = [mm]\Omega_0[/mm] \ A.
>
> Ah, jetzt sehe ich die Gleichheit
>
>
> Wie zeige ich die letzte Eigenschaft?
>
>
>
> zu b) Ist es nicht klar, dass [mm]\{A,A^c, \Omega, \emptyset\}[/mm]
> eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra ist
mir schon ....
FRED
> , die E enthält. Weil E ja nur
> aus {A} besteht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Di 17.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Ja, ich weiß jetzt ja dass [mm] \sigma(E) [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist und dass E [mm] \subset \sigma [/mm] (E). Was muss ich nun noch zeigen?
Und um nochmal nachzuhaken: Wie zeige ich denn die letzte Eigenschaft bei der a)?
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Hiho,
zum letzten Punkt bei a): Schreib mal auf, was du zeigen sollst, dann steht es eigentlich schon da. Und wenn es dir klar ist, sollte das ja kein Problem sein.
Du musst noch zeigen, dass [mm] $\{\emptyset,A,A^c,\Omega\}$ [/mm] wirklich die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, die A enthält.
Gruß,
Gono.
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