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| Aufgabe | sinx-cosx=0
An welcher Stelle ist sinx so groß wie cosx?
Bitte rechnerische Lösung |
Hallo und einen schönen Sonntag,
die oben genannte Aufgabe habe ich in keinem weiteren Forum im Internet gestellt.
Es würde mir sehr helfen, wenn mir jemand erklären könnte, wie diese rechnerische Lösung funktioniert.
Meine Idee war die folgende, daß ich mittels der P-Q Formel diese Schnittpunkte ermitteln kann.
Ich habe ja nur die Gleichung: sinx-cosx=0
wie muß ich in diesem Fall weiterrechnen um auf das Ergebnis zu kommen?
Und vielleicht kann mir jemand kurz erklären was man unter einem Additionstheorem versteht.
Über eine Unterstützung in diesem Punkt würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank.
Stephan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stephan!
Zunächst einmal: unter Additionstheorem versteht man allgemein jeden Satz über eine Funktion $f_$ mit der Gestalt $f(a+b) \ = \ F[f(a), f(b)]$ , wobei $F_$ eine Funktion von zwei Variablen ist.
Im allgemeinenn Sprachgebrauch versteht man hier jedoch die ![[]](/images/popup.gif) Additionstheoreme für die Winkelfunktionen [mm] ($\leftarrow$ [i]click it![/i]) wie z.B.
$\sin(\alpha\pm\beta) \ = \ \sin(\alpha)*\cos(\beta)\pm\cos(\alpha)*\sin(\beta)$
$\cos(\alpha\pm\beta) \ = \ \cos(\alpha)*\cos(\beta)\mp\sin(\alpha)*\sin(\beta)$
u.v.m.
Zu Deiner Aufgabe:
Klammere hier mal den Term $\cos(x)$ aus und bedenke, dass gilt $\tan(x) \ = \ \bruch{\sin(x)}{\cos(x)}$ .
Gruß
Loddar
[/mm]
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Hallo nochmal,
tut mir leid das ich nochmal nachfragen muß, aber ich stehe noch etwas auf dem Schlauch.
rechnerische Lösung nach meinem Mathematiklehrer lautet wie folgt:
sinx-cosx=0
[mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] x=1
[mm] sinx-(\wurzel{1-sin^2 x}) [/mm]
[mm] sinx=(\wurzel{1-sin^2 x}) [/mm] / Quadrieren
[mm] sin^2 [/mm] x = [mm] 1-sin^2 [/mm] x / [mm] +sin^2 [/mm] x
[mm] 2sin^2 [/mm] x = 1 / :2
[mm] sin^2 [/mm] x = 0,5 / Wurzel
sinx 1/2 = +- [mm] \wurzel{0,5}
[/mm]
x1/2 = arcsin +- [mm] \wurzel{0,5}
[/mm]
x1 = 45°
x2 = 225°
Vielleicht kann mir nochmal jemand kurz beschreiben, wie hier von meinem Mathelehrer genau vorgegangen wurde.
Gruß,
Stephan
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Hallo,
die Lösung finde ich merkwürdig. Wie kommt er denn von der ersten auf die zweite Zeile? Doch wohl kaum durch Äquivalenzumformungen oder? Da steht doch erstens ein Minus und zweitens keine 1 auf der rechten Seite! Kann jemand meine Zweifel zerstreuen?
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 So 19.02.2006 | | Autor: | Stromberg |
auf die zweite Zeile kommt er nehme ich an wie folgt:
Er hatte uns in der Schule eine allgemeine Form mitgeteilt:
[mm] (sinAlpha)^2 [/mm] + [mm] (cosAlpha)^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] r=Radius
so ergibt dich dann:
[mm] sin^2 [/mm] Alpha + [mm] cos^2 [/mm] Alpha = 1 1 für den Einheitskreis
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Hallo,
ach so jetzt ist's mir klar. Das hat er dann einfach eingesetzt. >
sinx-cosx=0
> Hallo nochmal,
>
> tut mir leid das ich nochmal nachfragen muß, aber ich stehe
> noch etwas auf dem Schlauch.
>
> rechnerische Lösung nach meinem Mathematiklehrer lautet wie
> folgt:
>
> sinx-cosx=0
> [mm]sin^2[/mm] x + [mm]cos^2[/mm] x=1 (*)
> [mm]sinx-(\wurzel{1-sin^2 x})=0[/mm]
(*) wurde eingesetzt und der rechte Term auf die rechte Seite gebracht
> [mm]sinx=(\wurzel{1-sin^2 x})[/mm] / Quadrieren
> [mm]sin^2[/mm] x = [mm]1-sin^2[/mm] x / [mm]+sin^2[/mm] x
> [mm]2sin^2[/mm] x = 1 / :2
> [mm]sin^2[/mm] x = 0,5 / Wurzel
> [mm] sinx_{1/2} [/mm] = +- [mm]\wurzel{0,5}[/mm]
mit der Umkehrfunktion wird der Sin elimiert
> [mm] x_{1/2} [/mm] = arcsin +- [mm]\wurzel{0,5}[/mm]
> [mm] x_{1}= [/mm] 45°
> [mm] x_{2} [/mm] = 225°
einsetzen und ausrechnen! Probier doch mal, ob die Lösungen stimmen! Einfach einsetzen. Da sin und cos periodisch sind, gibt es übigens unendlich viel Lösungen. Dazu betrachte man die Periode [mm] 2\pi.
[/mm]
Viele Grüße
daniel
>
> Vielleicht kann mir nochmal jemand kurz beschreiben, wie
> hier von meinem Mathelehrer genau vorgegangen wurde.
>
> Gruß,
> Stephan
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Soweit sogut,
ich versteh nur nicht, wie er überhaupt zu dieser Form [mm] (\wurzel{1-sin^2x}) [/mm] kommt.
er ersetzt offensichtlich den cos durch diese Wurzelfunktion...
aber woher und wie wird sie hergeleitet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stromberg!
Durch Anwendung des Satzes des Pythagoras am Einheitskreis erhält man folgende Beziehung, die euch euer Lehrer ja auch genannt hat:
[mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$
Dieser Term wurd nun umgeformt:
[mm] $\cos^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-\sin^2(x)$
[/mm]
[mm] $\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{1-\sin^2(x)}$
[/mm]
Und dies wurde dann in Deine Gleichung eiungesetzt.
Gruß
Loddar
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