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Skalerprodukt zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Mo 16.05.2016
Autor: DerPinguinagent

Aufgabe
Betrachtet wird der [mm] \IR-Vektorraum \IR^{2}. [/mm] Für [mm] (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}) \in \IR^{2} [/mm] werde definiert:
[mm] <(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})>:=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2} [/mm]

Zeigen Sie, dass [mm] (\IR<*,*>) [/mm] ein Euklidischer Verktorraum ist.




Es bleibt nur zu zeigen, dass [mm] <(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})>:=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2} [/mm] ein Skalarprodukt ist.

(i) Sei [mm] v_{1}=(x_{1},x_{2}) [/mm] und [mm] v_{2}=(y_{1},y_{2}) [/mm] und [mm] w=(w_{1},w_{2}) [/mm]

[mm] <\lambda_{1} v_{1}+\lambda_{2} v_{2},w>=<\lambda_{1} (x_{1},x_{2}) +\lambda_{2} (y_{1},y_{2},(w_{1},w_{2}))> [/mm]
[mm] =<(\lambda_{1} x_{1},\lambda_{1} x_{2}) +(\lambda_{2} y_{1},\lambda_{2} y_{2}),(w_{1},w_{2})> [/mm]
[mm] =(\lambda_{1}x_{1}w_{1}-\lambda_{1}x_{1}w_{2}-\lambda_{1}x_{2}w_{1}+\lambda_{1}4x_{2}w _{2})+(\lambda_{2}y_{1}w_{1}-\lambda_{2}y_{1}w_{2}-\lambda_{2}y_{2}w_{1}+\lambda_{2}4y_{2}w_{2}) [/mm]
[mm] =\lambda_{1}(x_{1}w_{1}-x_{1}w_{2}-x_{2}w_{1}+4x_{2}w_{2})+\lambda_{2}(y_{1}w_{1}-y_{1}w_{2}-y_{2}w_{1}+4y_{2}w_{2}) [/mm]
[mm] =\lambda_{2}<(x_{1},x_{2}),(w_{1},w_{2})>+\lambda_{2}<(y_{1},y_{2}),(w_{1},w_{2})> [/mm]
[mm] =\lambda_{1}+\lambda_{2} [/mm]

(ii) Seien [mm] v_{1}=(x_{1},x_{2}) [/mm] und [mm] v_{2}=(y_{1},y_{2}) [/mm] aus [mm] \IR^{2}. [/mm] Dann gilt:
[mm] =x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}=y_{1}x_{1}-y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}+4y_{2}x_{2}= [/mm]

(iii) Sei [mm] v_{1}=(x_{1},x_{2}) [/mm] aus [mm] \IR^{2}. [/mm] Dann gilt:

[mm] =x_{1}x_{1}-x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1}+4x_{2}x_{2}=|x_{1}|^{2}-2x_{1}*x_{2}+4*|x|^{2}=|x_{1}|^{2}-2x_{1}*x_{2}+|x|^{2}+3*|x|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+3*|x|^{2}\ge0 [/mm]

Ist das so richtig?

        
Bezug
Skalerprodukt zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Mo 16.05.2016
Autor: huddel


> Betrachtet wird der [mm]\IR-Vektorraum \IR^{2}.[/mm] Für
> [mm](x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}) \in \IR^{2}[/mm] werde definiert:
> [mm]<(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})>:=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass [mm](\IR<*,*>)[/mm] ein Euklidischer Verktorraum
> ist.
>  
>
> Es bleibt nur zu zeigen, dass
> [mm]<(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})>:=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}[/mm]
> ein Skalarprodukt ist.
>  
> (i) Sei [mm]v_{1}=(x_{1},x_{2})[/mm] und [mm]v_{2}=(y_{1},y_{2})[/mm] und
> [mm]w=(w_{1},w_{2})[/mm]
>  
> [mm]<\lambda_{1} v_{1}+\lambda_{2} v_{2},w>=<\lambda_{1} (x_{1},x_{2}) +\lambda_{2} (y_{1},y_{2},(w_{1},w_{2}))>[/mm]
>  
> [mm]=<(\lambda_{1} x_{1},\lambda_{1} x_{2}) +(\lambda_{2} y_{1},\lambda_{2} y_{2}),(w_{1},w_{2})>[/mm]
>  
> [mm]=(\lambda_{1}x_{1}w_{1}-\lambda_{1}x_{1}w_{2}-\lambda_{1}x_{2}w_{1}+\lambda_{1}4x_{2}w _{2})+(\lambda_{2}y_{1}w_{1}-\lambda_{2}y_{1}w_{2}-\lambda_{2}y_{2}w_{1}+\lambda_{2}4y_{2}w_{2})[/mm]
>  
> [mm]=\lambda_{1}(x_{1}w_{1}-x_{1}w_{2}-x_{2}w_{1}+4x_{2}w_{2})+\lambda_{2}(y_{1}w_{1}-y_{1}w_{2}-y_{2}w_{1}+4y_{2}w_{2})[/mm]
>  
> [mm]=\lambda_{2}<(x_{1},x_{2}),(w_{1},w_{2})>+\lambda_{2}<(y_{1},y_{2}),(w_{1},w_{2})>[/mm]
>  [mm]=\lambda_{1}+\lambda_{2}[/mm]

Hier hast du einen Schritt übersprungen, der vllt noch ganz nett gewesen wäre, aber ist richtig

> (ii) Seien [mm]v_{1}=(x_{1},x_{2})[/mm] und [mm]v_{2}=(y_{1},y_{2})[/mm] aus
> [mm]\IR^{2}.[/mm] Dann gilt:
>  
> [mm]=x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}=y_{1}x_{1}-y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}+4y_{2}x_{2}=[/mm]
>  
> (iii) Sei [mm]v_{1}=(x_{1},x_{2})[/mm] aus [mm]\IR^{2}.[/mm] Dann gilt:
>
> [mm]=x_{1}x_{1}-x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1}+4x_{2}x_{2}=|x_{1}|^{2}-2x_{1}*x_{2}+4*|x|^{2}\ge0[/mm]

Warum? klar sieht mans, aber ein bisschen genauer wäre schon gut.

> Ist das so richtig?

Du musst noch zeigen, dass [mm] $ [/mm] = 0$ genau dann wenn [mm] $v_{1} [/mm] = 0$


Bezug
                
Bezug
Skalerprodukt zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Mo 16.05.2016
Autor: DerPinguinagent

Zwei oder drei genauer?

Bezug
                        
Bezug
Skalerprodukt zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Mo 16.05.2016
Autor: fred97


> Zwei oder drei genauer?

eins  und drei

fred


Bezug
                                
Bezug
Skalerprodukt zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Mo 16.05.2016
Autor: DerPinguinagent

Ich sehe irgendwie nicht, was ich bei eins genauer schreiben soll. Kannst du mir ein Tipp geben?

Für (iii) habe ich folgende Ergänzung:

[mm] =<(x_{1},x_{2}),(x_{1},x_{2})>=x_{1}*x_{1}-x_{1}*x_{2}-x_{2}*x_{1}+4x_{2}*x_{2}=|x_{1}|^{2}-2x_{1}x_{2}+4|x_{2}|^{2}=0 \gdw x_{1}=0 \wedge x_{2}=0 \gdw v_{1}=(0,0) [/mm]

Das ist ja auch das was ich zeigen sollte oder mach ich da was falsch?

Bezug
                                        
Bezug
Skalerprodukt zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:49 Di 17.05.2016
Autor: fred97


> Ich sehe irgendwie nicht, was ich bei eins genauer
> schreiben soll. Kannst du mir ein Tipp geben?

Das hat huddel Dir doch gesagt !


>  
> Für (iii) habe ich folgende Ergänzung:
>  
> [mm]=<(x_{1},x_{2}),(x_{1},x_{2})>=x_{1}*x_{1}-x_{1}*x_{2}-x_{2}*x_{1}+4x_{2}*x_{2}=||x_{1}||^{2}-2x_{1}x_{2}+4||x_{2}||^{2}=0 \gdw x_{1}=0 \wedge x_{2}=0[/mm]
>
> Das ist ja auch das was ich zeigen sollte oder mach ich da
> was falsch?

Was sollen die Normstriche ???

Es ist [mm] =x_1^2-2x_1x_2+4x_2^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+3x_2^2=(x_1-x_2)^2+3x_2^2 [/mm]

Nun sieht man sofort:  [mm] \ge [/mm] 0

und

[mm] =0 \gdw x_1=x_2 [/mm] und [mm] x_2=0 \gdw x_1=x_2=0 \gdw v_1=(0,0). [/mm]

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Skalerprodukt zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:05 Di 17.05.2016
Autor: DerPinguinagent

Das sollten eigentlich Betragsstriche werden. Da muss mir wohl ein Fahler unterlaufen sein.

LG DerPinguinagent

PS: Habe ich auch übers Binom gemacht!

Bezug
                                                        
Bezug
Skalerprodukt zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:17 Di 17.05.2016
Autor: fred97


> Das sollten eigentlich Betragsstriche werden. Da muss mir
> wohl ein Fahler unterlaufen sein.
>  
> LG DerPinguinagent
>  
> PS: Habe ich auch übers Binom gemacht!

Wo ?

FRED


Bezug
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