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Stetig, Offene Urbilder.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Fr 19.10.2012
Autor: theresetom

Aufgabe
f: [mm] \IR \supset [/mm] X -> [mm] \IR [/mm] ist stetig auf X genau dann ,  wenn für jede offene Menge U [mm] \subset \IR, f^{-1} [/mm] (U) offen in X ist.

Hallo , ich verstehe den beweis für die Hinrichtung => nicht.

U [mm] \subset [/mm] R ist offen , f stetig
[mm] \exists x_0 \in f^{-1} [/mm] (U)  ebtrachte [mm] f(x_0) \in [/mm] U
U ist offen => [mm] \exists \epsilon [/mm] >0 [mm] U_\epsilon (f(x_0)) \subset [/mm] U.
Weil f stetig ist [mm] \exists \delta>0 [/mm] : x [mm] \in U_\delta (x_0) [/mm] => f(x) [mm] \in U_\epsilon (f(x_0)) [/mm]

=> [mm] \forall x_0 \in f^{-1} [/mm] (U) : [mm] \exists \delta>0 [/mm] mit [mm] U_\delta (x_0) \cap [/mm] X [mm] \subset f^{-1} [/mm] (U)
=> [mm] f^{-1} [/mm] (U) ist offen.

Ich verstehe den Vorletzten Folgepfeil nicht, den ich von den anderen etwas abgetrennt habe.
Würde mich freuen, wenn mir das wer eklären könnte, da die Aussage des Satzes wichtig ist.

        
Bezug
Stetig, Offene Urbilder.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 Fr 19.10.2012
Autor: tobit09

Hallo theresetom,


der Beweis ist wirklich nicht schön aufgeschrieben...


> U [mm]\subset[/mm] R ist offen , f stetig

>  [mm]\exists x_0 \in f^{-1}[/mm] (U)

Quatsch. Wird aber auch nirgendwo gebraucht. Gemeint offensichtlich:

   SEI [mm] $x_0\in f^{-1}(U)$. [/mm]


> ebtrachte [mm]f(x_0) \in[/mm] U
>  U ist offen => [mm]\exists \epsilon[/mm] >0 [mm]U_\epsilon (f(x_0)) \subset[/mm] U.

>  Weil f stetig ist [mm]\exists \delta>0[/mm] : x [mm]\in U_\delta (x_0)\red{\cap X}[/mm]
> => [mm]f(x)\in \red{\underbrace{\black{U_\epsilon (f(x_0))}}_{\subseteq U}}[/mm]

Also haben wir für alle [mm] $x\in U_\delta (x_0)\cap [/mm] X$ die Gültigkeit von [mm] $f(x)\in [/mm] U$, also [mm] $x\in f^{-1}(U)$. [/mm]

Also [mm] $U_\delta(x_0)\cap X\subseteq f^{-1}(U)$. [/mm]

> => [mm]\forall x_0 \in f^{-1}[/mm] (U) : [mm]\exists \delta>0[/mm] mit
> [mm]U_\delta (x_0) \cap[/mm] X [mm]\subset f^{-1}[/mm] (U)
>  => [mm]f^{-1}[/mm] (U) ist offen in X.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Stetig, Offene Urbilder.: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:33 Fr 19.10.2012
Autor: theresetom

Danke , dass ist super erklärt, trotzdem noch eine Frage:


> Also $ [mm] U_\delta(x_0)\cap X\subseteq f^{-1}(U) [/mm] $.

Wieso folgt daraus dann dass [mm] f^{-1} [/mm] (U) offen ist?

Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Stetig, Offene Urbilder.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Fr 19.10.2012
Autor: tobit09


> > Also [mm]U_\delta(x_0)\cap X\subseteq f^{-1}(U) [/mm].
> Wieso folgt daraus dann dass [mm]f^{-1}[/mm] (U) offen ist?

Behauptet werden soll nicht, dass [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] eine offene Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] ist, sondern lediglich, dass [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] offen in X ist.

Wie habt ihr "offen in [mm] $X\subseteq\IR$" [/mm] definiert?

Bezug
                                
Bezug
Stetig, Offene Urbilder.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 Fr 19.10.2012
Autor: theresetom

Hallo
Achso das in X hattest du ja hinzugefügt, das hab ich übersehen.
Nun ist das klar.
LG,
Vielen DANK!!

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