Summe v. Reihe berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:19 So 06.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Summe der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}=\bruch{x^2}{(1+x^2)^k} [/mm] |
Ich weiß jetzt ehrlich gesagt, nicht, wie ich da herangehen soll.
In einigen vorherigen Aufgaben, hatten wir das mit der Partialbruchzerlegung gemacht.
Da hier der Nennergrad mit dem Zählergrad identisch ist, habe ich bisher folgendes gemacht:
1. Polynomdivision
[mm] x^2: (x^2-1)^k=1-\bruch{1}{(x^2-1)^k}
[/mm]
Jetzt würde ich mit dem echt gebrochenrationalem Teil die Partialbruchzerlegung reinbringen.
aber wie teile ich denn den Nenner auf, wenn ich eine Variable Potenz im Nenner habe?
oder gehe ich da völlig falsch heran?
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Hallo hotsauce,
> Berechnen Sie die Summe der folgenden Reihe:
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> [mm]\summe_{\red{i}=0}^{\infty}=\bruch{x^2}{(1+x^2)^k}[/mm]
Ich nehme doch stark an, dass der Laufindex der Summe nicht i, sondern k heißt?
> Ich weiß jetzt ehrlich gesagt, nicht, wie ich da
> herangehen soll.
> In einigen vorherigen Aufgaben, hatten wir das mit der
> Partialbruchzerlegung gemacht.
>
> Da hier der Nennergrad mit dem Zählergrad identisch ist,
Ach ja? Und das k?
> habe ich bisher folgendes gemacht:
>
> 1. Polynomdivision
>
> [mm]x^2: (x^2-1)^k=1-\bruch{1}{(x^2-1)^k}[/mm]
Woher jetzt das Minus in der Klammer stammt, ist mir genauso wenig ersichtlich wie der Sinn der ganzen Aktion.
Die Rechnung als solche ist auch falsch.
> Jetzt würde ich mit dem echt gebrochenrationalem Teil die
> Partialbruchzerlegung reinbringen.
PBZ klingt an sich nicht dumm, erst einmal mit einem einzelnen Folgenglied, dann mit der endlichen Reihe (von k bis n), und falls sich dann dafür eine geschlossene Summenformel findet, kannst Du schließlich den Grenzübergang machen.
Aber bevor Du die Summe berechnest - hast Du denn schon mal überlegt oder gar geprüft, ob die Reihe überhaupt konvergiert und wenn ja, für welche x?
lg
reverend
> aber wie teile ich denn den Nenner auf, wenn ich eine
> Variable Potenz im Nenner habe?
>
> oder gehe ich da völlig falsch heran?
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Hiho,
hier braucht man gar kein schweres Geschütz:
1.) [mm] x^2 [/mm] ausklammern aus der Summe rausziehen
2.) geometrische Reihe
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 So 06.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
hmm... meinst du das so:
[mm] \bruch{1}{x^2}\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^2}{1+\bruch{1}{x^2}}?
[/mm]
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Hallo hotsauce,
mach besser morgen weiter...
Wo ist jetzt der Exponent k geblieben? So kannst Du nicht ausklammern!
> hmm... meinst du das so:
>
> [mm]\bruch{1}{x^2}\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^2}{1+\bruch{1}{x^2}}?[/mm]
Nein, Gono meint so:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^2}{(1+x^2)^k}=x^2\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(1+x^2)^k}
[/mm]
Eine geometrische Reihe wärs ja auch gewesen, wenn man das [mm] x^2 [/mm] nicht ausklammert, aber egal.
Kennst Du die Summenformel für eine geometrische Reihe, also [mm] \summe_{j=0}^{n}q^j [/mm] ?
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 So 06.12.2009 | | Autor: | hotsauce |
ahh optimal, weiß bescheid jetzt, die geometrische reihe kenn ich, löst sich also von selbst jetzt 
schönen abend noch und danke sehr
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:33 So 06.12.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Achte aber drauf, wann du die geometrische Reihe anwenden darfst, das geht nämlich nicht für alle x...... aber für die, für die es nicht geht, kannst du die Reihe direkt ausrechnen.
MFG,
Gono.
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