Taylorreihe berechnen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Taylorreihen mit Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 1 für die folgenden Funktionen:
[mm] f_1 [/mm] : [mm] \IR ->\IR [/mm] , x -> [mm] cos(-\pi [/mm] x)
[mm] f_2 [/mm] : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , x-> [mm] x^4 [/mm] - [mm] 3x^3 [/mm] + x + 1
Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergieren die Reihen gegen die entsprechenden Funktionen [mm] f_1 [/mm] bzw. [mm] f_2? [/mm] |
Hi,
habe mich erst mal an die a) gemacht. Dafür haben wir in der Übung eine ähnliche Aufgabe gemacht, wo wir die potenzreihen entwicklung der Fkt. aufgestellt haben und gesagt haben, dass diese gleich der Taylor reihe ist, bei beide den selben Entwicklungspunkt hatten und die Potenzreihe einen unendlichen Konvergenzradius hat.
Das habe ich hier auch probiert.
Da [mm] x_0 [/mm] = 1 ist brauch ich ja in der Reihe einen Faktor [mm] (x-1)^k [/mm] , dafür dachte ich mir forme ich [mm] cos(-\pi [/mm] x) um:
[mm] cos(-\pi [/mm] x) = [mm] sin(-\pi [/mm] x + [mm] o,5\pi)
[/mm]
mit der Potenzreihenentwicklung vom sinus lautet das dann :
sin [mm] (-\pi [/mm] x + [mm] o,5\pi) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k + 1)!} (-\pi [/mm] x + [mm] o,5\pi)^{2k +1} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k + 1)!} (-\pi)^{2k +1} [/mm] (x - [mm] 0,5)^{2k +1}
[/mm]
jetzt habe ich aber um den Entwicklungspunkt 0,5 und nicht 1?
Ist die Vorgehensweise überhaupt richtig?
Snafu
|
|
| |
|
Hi,
da die Funktion [mm] f_2 [/mm] nur 4 mal differenzierbar ist, gibt es doch dafür keine Taylorreihe, sondern nur ein Taylorpolynom?
Snafu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Mo 14.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ne °Reihe für die alle [mm] a_n=0 [/mm] für n>4 ist auch ne Reihe. ein Taylorpolynom ist immer ne Näherung für ne Fkt.
jese Polynom [mm] a0+1x+....+a_nx^n [/mm] ist seine eigenes TR um x=0
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
Hi,
also ich habe jetzt raus:
[mm] T_n(x,1) [/mm] = 0-4(x-1) [mm] -3(x-1)^2 +(x-1)^3 [/mm] + [mm] (x-1)^4, [/mm] somit ist das die Taylorreihe , wobei für n>4 die Koeffizienten 0 sind.
Wie kriege ich jetzt raus? für welche x [mm] T_n [/mm] gegen ihre Funkton [mm] f_2 [/mm] konvergiert?
Ist in diesem Fall nicht [mm] T_4(x,1) [/mm] = f(x) , sprich [mm] T_4(x,1) [/mm] konvergiert für alle x [mm] \in \IR [/mm] gegen f(x)?
Snafu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 Di 15.06.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Mo 14.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. cos(-x)=cos(x)
2. was ist wenn du den cosx selbst um 7pi verschiebst? bzw [mm] cos(\pi*x) [/mm] um 1?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hi,
ja aber wenn ich [mm] cos(\pi [/mm] x) um 1 verschiebe, verändert sich doch die Funktion, oder nicht? Ich dachte ich muss irgendwie so verschieben, dass
1. x-1 stehen bleibt
2. es ein gültige Transformation ist, sprich zb. [mm] cos(x+2\pi) [/mm] ?
Snafu
|
|
|
| |
|
Hi,
ok habe was gefunden, jedoch bin ich mir bei der Taylorreihe noch sehr unsicher, ob ich alles richtig anwende:
[mm] f_1(x) [/mm] = [mm] cos(-\pi*x) [/mm] = [mm] -cos(\pi*x -\pi) [/mm] = -1 * [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} (\pi*x [/mm] - [mm] \pi)^{2k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{(2k)!}\pi^{2k} [/mm] (x - [mm] 1)^{2k} [/mm] , mit [mm] a_k [/mm] := [mm] \frac{(-1)^{k+1}}{(2k)!}\pi^{2k}
[/mm]
wegen :
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}| \frac{a_{k+1}}{a_k}| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|-1*\pi^2 *\frac{1}{(2k+1)(2k+2)}| [/mm] = 0
Konvergenzradius beträgt [mm] \infty.
[/mm]
Nun die Begründung aus der Vorlesung:
Da f als Potenzreihe um [mm] x_0 [/mm] = 1 mit unendlichem Konvergenzradius schreiben lässt, entspricht die Taylorreihe der Potenzreihe für alle x [mm] \in \IR [/mm]
Kann das so stimmen?
Snafu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Di 15.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Di 15.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo,
wenn man cos um [mm] \pi [/mm] verschiebt, hat man -cos(x)
Gruss leduart
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
