www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Taylorreihe mit Restglied / O
Taylorreihe mit Restglied / O < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Taylorreihe mit Restglied / O: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Mi 11.04.2018
Autor: losPollos

Aufgabe
Ziel:
Landau-Notation für den Differenzenquotient auf Korrektheit prüfen.

Die Taylorreihe im Entwicklungspunkt [mm] x=(x_0+\Delta [/mm] x) aufgelöst nach der Ableitung lautet:

[mm] \frac{\partial f(x_0)}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} [/mm]  - [mm] \ldots [/mm]  - [mm] \frac{1}{n!} \cdot \frac{\partial^n f(x_0)}{\partial x^n}(\Delta x)^{n-1} [/mm]

Der Fehler lässt sich abschätzen durch:
f(x) = [mm] f_{n}(x) [/mm] + [mm] R_{n}(x) [/mm]

Nach Lagrange gilt:
[mm] R_{n}(x) [/mm]  = [mm] \frac{(\Delta x)^{n+1}}{(n+1)!} f^{n+1}\xi_{n+1} [/mm] mit  [mm] x_{0} [/mm] < [mm] \xi_{n+1} [/mm] < [mm] x=x_{0}+\Delta [/mm] x

Der Abbruch der Taylorreihe nach dem zweiten Glied ist:
[mm] \frac{\partial f(x_0)}{\partial x} [/mm] =  [mm] \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} [/mm]  - [mm] \underbrace{\frac{(\Delta x)}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} )}_{R} [/mm]

Frage:
Wie schätze ich das Restglied mit Hilfe der "groß O" Notation ab?

Meine Vorgehnsweise:

[mm] \left| R \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{(\Delta x)}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right| [/mm]
[mm] \left | R \right| [/mm] = [mm] \left| (\Delta x) \right| \left| \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right| [/mm]

[mm] \left| \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right| [/mm] <= M

mit C = M/2

[mm] \left| R \right| [/mm] <= C [mm] (\Delta [/mm] x)

[mm] \frac{\partial f(x_0)}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} [/mm]  + [mm] \mathscr{O}(\Delta [/mm] x)


Ist das korrekt so?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Taylorreihe mit Restglied / O: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Do 12.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

zwei Bemerkungen zuerst zur Notation
[mm] \frac{\partial f(x_0)}{\partial x} [/mm]

1.) Ist nur eine Variable vorhanden, so verwendet man keine [mm] $\partial$ [/mm] (wie der LaTeX-Name schon sagt, ist das die partielle Ableitung), sondern schlichtweg $d$.

2.) Das Argument sollte hinter den Bruch geschrieben werden, also insgesamt:
[mm] $\frac{df}{dx}(x_0)$ [/mm] denn du willst ja die Ableitung von f an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] betrachten und nicht die Ableitung von (der Konstante) [mm] f(x_0) [/mm] nach x, denn das wäre Null.

> Die Taylorreihe im Entwicklungspunkt [mm]x=(x_0+\Delta[/mm] x)
> aufgelöst nach der Ableitung lautet:
>  
> [mm]\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}[/mm] = [mm]\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/mm]
>  - [mm]\ldots[/mm]  - [mm]\frac{1}{n!} \cdot \frac{\partial^n f(x_0)}{\partial x^n}(\Delta x)^{n-1} [/mm]

Nein… wenn du in $x = [mm] x_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x$ entwickeln würdest, hättest du gar kein [mm] $f'(x_0) [/mm] = [mm] \frac{df}{dx}(x_0)$ [/mm] sondern ein $f'(x) = [mm] f'(x_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x)$

Was du also eigentlich machen möchtest: Du willst die Taylorentwicklung von f(x) in der Entwicklungsstelle [mm] $x_0$ [/mm] für [mm] $x=x_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x$ betrachten.

Dann enthältst du deinen Ausdruck mit den von mir genannten Notationskorrekturen.
  

> Der Fehler lässt sich abschätzen durch:
>  f(x) = [mm]f_{n}(x)[/mm] + [mm]R_{n}(x)[/mm]

Korrekt (Entwicklungspunkt beachten!)
$f(x) = [mm] f_{n}(x_0) [/mm] + [mm] R_{n}(x_0)$ [/mm]

> Nach Lagrange gilt:
>  [mm]R_{n}(x)[/mm]  = [mm]\frac{(\Delta x)^{n+1}}{(n+1)!} f^{n+1}\xi_{n+1}[/mm]

Ok, wobei die Notation hier auch wieder unsauber ist… bspw. fehlen die Klammer um das Funktionsargument.

> Der Abbruch der Taylorreihe nach dem zweiten Glied ist:

Besser: "Bei Abbruch…"

>  [mm]\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}[/mm] =  [mm]\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/mm]
>  - [mm]\underbrace{\frac{(\Delta x)}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} )}_{R}[/mm]
>
> Frage:
>  Wie schätze ich das Restglied mit Hilfe der "groß O"
> Notation ab?
>  Meine Vorgehnsweise:
>  
> [mm]\left| R \right|[/mm] = [mm]\left| \frac{(\Delta x)}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right|[/mm]
>  
> [mm]\left | R \right|[/mm] = [mm]\left| (\Delta x) \right| \left| \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right|[/mm]
>  
> [mm]\left| \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ( \xi_{2} ) \right|[/mm]
> <= M
>  
> mit C = M/2
>  
> [mm]\left| R \right|[/mm] <= C [mm](\Delta[/mm] x)
>  
> [mm]\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}[/mm] = [mm]\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/mm]
>  + [mm]\mathscr{O}(\Delta[/mm] x)
>  
>
> Ist das korrekt so?

Das kann man so machen, wenn man weiß, dass [mm] $\frac{d^2f}{dx^2}$ [/mm] beschränkt ist auf [mm] $(x_0,x_0 [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x)$. Das hat man schon, wenn f zweimal stetig differenzierbar ist. Allerdings bekommt man eine deutlich bessere Approximation, man kann nämlich zeigen, dass für alle Restglieder gilt (das hattet ihr bestimmt).

[mm] $R_n \in o\left((\Delta x)^n\right)$ [/mm]

In deinem Fall bedeutet das: Es gilt [mm] $R_2 \in o((\Delta x)^2)$ [/mm]

Und daraus folgt sofort: $R [mm] \in o(\Delta [/mm] x)$

Schreibe dazu die Definition von [mm] $R_2 \in o((\Delta x)^2)$ [/mm] hin und die Definition von $R [mm] \in o(\Delta [/mm] x)$

Wenn man zweiteren Ausdruck mit [mm] $\Delta [/mm] x$ erweitert, sieht man sofort die Äquivalenz.

Gruß,
Gono



Bezug
                
Bezug
Taylorreihe mit Restglied / O: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:07 Do 19.04.2018
Autor: losPollos

Danke!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 1h 14m 14. mathestudent222
UAnaR1FunkDiff/Inklusion stetig/diff.bar.
Status vor 3h 23m 2. matux MR Agent
UStoc/Behandlung von Ausreißern
Status vor 4h 24m 8. Spirik
DiffGlGew/Störfunktion cos(x)
Status vor 8h 04m 4. Stefan92
UStoc/Splinefunktion
Status vor 1d 21h 41m 4. Infinit
UElek/Transistor/Verstärker berechne
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de