Totale Abeitung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Also so gaanz hab ich dieses Thema mit der Differenzieren mit mehrern veränderlichen noch net kapiert...
Hab 3 Fragen formuliert, zu jedem habe ich Ansätze, aber bei 2 und 3. hängts an Stellen sofort. Wahrscheinlich mach ich das irgendwie sowieso falsch... Naja, vielleicht kann ja einer drüber schauen und mir wichtige Tipps geben (über kleine Erfolgserlebnise bin ich schon sehr erfreut) *g*
1. Frage:
Ich soll hier bei ner Aufgabe die totale Ableitung bestimmen, hab auch Lösungen raus, aber bin mir seeehr unsicher:
Lasst euch von dem a nicht irritieren, das ist [mm] \in \IR^{2} [/mm] mit [mm] a=(a_{1},a_{2})
[/mm]
a) f(x,y)= [mm] \vektor{x+1 \\ xy}
[/mm]
Demnach ist ja [mm] f_{1}(x,y)=x+1 [/mm] und [mm] f_{2}(x,y)=xy
[/mm]
Wenn ich das irgendwie nur halbwegs verstanden hab, dann bildet man doch nun damit die Jacobi Matrix oder ?
[mm] D_{f}(a)= \pmat{ \partial_{f_{1}}(a) & \partial_{f_{2}}(a) }
[/mm]
und das müßte doch [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ a_{2} & a_{1} } [/mm] sein, weil man ja partiell ableitet oder ?
b) f(x,y)=x+y => [mm] D_{f}(a)= \pmat{ 1 & 1}
[/mm]
c) f(x,y)=cos(xy) => [mm] D_{f}(a)= \pmat{ sin(xy)*a_{2} & sin(xy)*a_{1} }
[/mm]
###########################
2. Frage:
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] und diffbar.
g: [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] g(x)=f(<x,x>) (<x,x> = Skalarprodukt))
Ich soll nun g'(a) berechnen, a [mm] \in \IR^{n}
[/mm]
[mm] g(a)=f()=f(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^2)
[/mm]
Demnach: [mm] g'(a)=f'(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^2)
[/mm]
Aber ich hab f doch gar net gegeben, wenn ich wüßte auf was f abbildet, würd ich mit
g'(a)= [mm] \pmat{ \bruch{\partial f}{x_{1}}(a) & \bruch{\partial f}{x_{2}}(a) & ... & \bruch{\partial f}{x_{n}}(a) }
[/mm]
ja können...
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] kann ich ja "normal" ableiten, aber das bringt mir hier doch auch nichts..
Ist es eigentlich, so dass die Ableitung immer linear ist ? Weiß das gar net so genau, wenn ja, dann müßte ja auch [mm] f'(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^2) [/mm] linear sein, also:
g'(a)= [mm] f'(a_{1}^{2})+f'(a_{2}^{2})+...f'(a_{n}^{2})
[/mm]
Aber ob mir das was bringt ?
##############################
3. Frage
[mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] mit f(x,y)= [mm] \wurzel{|xy|}. [/mm] Ich soll nun was über Differenzierbarkeit aussagen: Das f in (0,0) nicht diffbar ist.
Dafür müßte ja [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{ \parallel f(x+0,y+0)-f(0,0)-A(x,y)\parallel}{\parallel (x,y) \parallel } \not= [/mm] 0 gelten.
= [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{ \parallel \wurzel{|xy|}-A(x,y)\parallel}{\parallel (x,y) \parallel } [/mm]
und hier gehts schon net weiter. Ich bekomm es nur durch Abschätzen hin, dass der Ausdruck [mm] \le [/mm] 1+ |A| ist, aber das sagt ja nicht, dass es ungleich 0 ist....
Irgendwie müßte ich zeigen, dass das A nicht eindeutig wäre oder dass der obige Audruck ungleich null ist........
Oder sollte man das mit Folgen machen, irgendwie zwei Nullfolgen nehmen.
[mm] x_{n}= \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] c_{n}= \bruch{-1}{n} [/mm] ????
Danke für Eure Mühe / Durchlesen !
Und seid gnädig mit meinem Unwissen ! :D
Faenôl
|
|
| |
|
Hallo!
Also, das waren ein bisschen viele Fragen auf einmal. Vielleicht stellst du sie demnächst irgendwie einzeln...
> 1. Frage:
>
> Ich soll hier bei ner Aufgabe die totale Ableitung
> bestimmen, hab auch Lösungen raus, aber bin mir seeehr
> unsicher:
>
> Lasst euch von dem a nicht irritieren, das ist [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> mit [mm]a=(a_{1},a_{2})[/mm]
>
> a) f(x,y)= [mm]\vektor{x+1 \\ xy}[/mm]
>
> Demnach ist ja [mm]f_{1}(x,y)=x+1[/mm] und [mm]f_{2}(x,y)=xy[/mm]
>
> Wenn ich das irgendwie nur halbwegs verstanden hab, dann
> bildet man doch nun damit die Jacobi Matrix oder ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]D_{f}(a)= \pmat{ \partial_{f_{1}}(a) & \partial_{f_{2}}(a) }[/mm]
>
> und das müßte doch [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ a_{2} & a_{1} }[/mm] sein,
> weil man ja partiell ableitet oder ?
Wo kommt denn das a plötzlich her? Du hast doch alles gegeben, da brauchst du doch kein a!? ![[]](/images/popup.gif) Hier steht etwas zur Jacobi-Matrix - das müsste eigentlich helfen.
Du brauchst hierfür folgende Ableitungen:
[mm] \bruch{\partial{f_1(x,y)}}{\partial{x}} [/mm] und [mm] \bruch{\partial{f_1(x,y)}}{\partial{y}} [/mm] und [mm] \bruch{\partial{f_2(x,y)}}{\partial{x}} [/mm] und [mm] \bruch{\partial{f_2(x,y)}}{\partial{y}}. [/mm]
Es ist:
[mm] \bruch{\partial{f_1(x,y)}}{\partial{x}} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial{x}}(x+1)=1
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial{f_1(x,y)}}{\partial{y}} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial{y}}(x+1)=0
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial{f_2(x,y)}}{\partial{x}} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial{x}}xy=y
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial{f_2(x,y)}}{\partial{y}} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial{y}}xy=x
[/mm]
> b) f(x,y)=x+y => [mm]D_{f}(a)= \pmat{ 1 & 1}[/mm]
Ah - jetzt verstehe ich, wo dein a herkommt (bin nämlich auch nicht gerade die beste, was solche Ableitungen und so angeht... aber mittlerweile dachte ich schon, dass ich so was könnte...). Du berechnest die Ableitung an einem Punkt a. Ich weiß aber nicht ob das damit gemeint ist, wenn du allgemein die Ableitung bestimmen sollst - ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") . Ansonsten wären deine Aufgaben wohl richtig.
> c) f(x,y)=cos(xy) => [mm]D_{f}(a)= \pmat{ sin(xy)*a_{2} & sin(xy)*a_{1} }[/mm]
Schreib doch einfach mal die partiellen Ableitungen alle auf - dann müsste das doch genauso funktionieren, wie die beiden eben auch. Oder hast du damit Probleme?
> ###########################
> 2. Frage:
>
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm] und diffbar.
> g: [mm]\IR^{n} \to \IR[/mm] g(x)=f(<x,x>) (<x,x> =
> Skalarprodukt))
> Ich soll nun g'(a) berechnen, a [mm]\in \IR^{n}[/mm]
>
> [mm]g(a)=f()=f(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^2)[/mm]
> Demnach: [mm]g'(a)=f'(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^2)[/mm]
Ich glaub', ich würde erstmal allgemein mit x rechnen. Müsste da dann nicht noch die innere Ableitung dazukommen? Bin mir aber gerade auch nicht sicher (oh Mann, ich hab' das Gefühl, ich habe monatelang kein Mathe mehr gemacht, dabei war ich nicht mal ne ganze Woche vom Netz und somit dem MR ausgeschlossen...)
> Aber ich hab f doch gar net gegeben, wenn ich wüßte auf was
> f abbildet, würd ich mit
>
> g'(a)= [mm]\pmat{ \bruch{\partial f}{x_{1}}(a) & \bruch{\partial f}{x_{2}}(a) & ... & \bruch{\partial f}{x_{n}}(a) }[/mm]
>
> ja können...
>
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm] kann ich ja "normal" ableiten, aber das
> bringt mir hier doch auch nichts..
Doch, es kann schon sein, dass du keine explizite Lösung erhältst, sondern das nur allgemein berechnen sollst. 
> Ist es eigentlich, so dass die Ableitung immer linear ist ?
> Weiß das gar net so genau, wenn ja, dann müßte ja auch
> [mm]f'(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^2)[/mm] linear sein, also:
> g'(a)= [mm]f'(a_{1}^{2})+f'(a_{2}^{2})+...f'(a_{n}^{2})[/mm]
Meines Wissens schon.  Allerdings - wie gesagt, ich meine, da müsste die innere Ableitung noch dazu kommen...
Bei der letzten Aufgabe kann ich dir leider auch nicht helfen - .
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ja, tut mir leid ! Sollte die Fragen wohl wirklich trennen ! Sorry !
Also ja wegem dem a. Ach lassen wir das a einfach weg. Im Prinzip ist's ja net anders als [mm] x=a_{1} [/mm] und [mm] y=a_{2}, [/mm] rechnen wir also weiter mit (x,y)
zu der 1.
f(x,y)=cos(xy)
weil auf [mm] \IR [/mm] abgebildet wird ist [mm] f_{1}=f, [/mm] demnach brauche ich nun:
[mm] \bruch{\partial f_{1}}{\partial x}=sin(xy)*y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f_{1}}{\partial y}=sin(xy)*x
[/mm]
Und daher sieht die Jacobi Matrix doch so aus:
[mm] \pmat{ sin(xy)*y & sin(xy)*x }
[/mm]
zu der 2.
Angenommen, bestimmt hast du Recht, eine innere Ableitung würde dazu kommen, dann frage ich mich warum ?
Es gilt doch g(x)=f(<x,x>).
Daher ist doch g'(x)=f'(<x,x>) = [mm] f'(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{n}^{2})
[/mm]
Bis hierhin habe ich doch noch gar net abgleitet...
Oder meinst du weil f(<x,x>) eine Verkettung zweier Funktionen ist.. Hmm, ich hab ja keine Ahnung, aber irgendwie klingt das, was du meinst, wieder logisch... *g*
Naja, vielleicht fällt es dir ja ein ! Danke dennoch schon mal !
Faenôl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Do 02.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
> zu der 1.
>
> f(x,y)=cos(xy)
>
> weil auf [mm]\IR[/mm] abgebildet wird ist [mm]f_{1}=f,[/mm] demnach brauche
> ich nun:
> [mm]\bruch{\partial f_{1}}{\partial x}=sin(xy)*y[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f_{1}}{\partial y}=sin(xy)*x[/mm]
>
> Und daher sieht die Jacobi Matrix doch so aus:
> [mm]\pmat{ sin(xy)*y & sin(xy)*x }[/mm]
Sorry, ich hatte irgendwie gar nicht gesehen, dass du schon ne Lösung geschrieben hattest - ich hatte das irgendwie noch als Aufgabenstellung gelesen. Weiß auch nicht, was mit mir los ist, dass ich die Hälfte falsch lese...
Jedenfalls stimmt das nur fast, denn die Ableitung des [mm] \cos [/mm] ist nicht [mm] \sin, [/mm] sondern [mm] -\sin [/mm] - oder nicht? Du musst dann aber einfach nur überall ein Minus davor schreiben - ansonsten müsste es stimmen.
> zu der 2.
>
> Angenommen, bestimmt hast du Recht, eine innere Ableitung
> würde dazu kommen, dann frage ich mich warum ?
>
> Es gilt doch g(x)=f(<x,x>).
> Daher ist doch g'(x)=f'(<x,x>) =
> [mm]f'(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{n}^{2})[/mm]
>
> Bis hierhin habe ich doch noch gar net abgleitet...
>
> Oder meinst du weil f(<x,x>) eine Verkettung zweier
> Funktionen ist.. Hmm, ich hab ja keine Ahnung, aber
> irgendwie klingt das, was du meinst, wieder logisch... *g*
Ja, ich denke, das ist eine Verkettung von Funktionen. Nennen wir doch das Skalarprodukt einfach h(x), also h(x)=<x,x>. Dann wäre ja g folgendes:
[mm]g(x)=f(h(x))=f°h(x)[/mm]
und somit müsste nach der Kettenregel abgeleitet werden:
[mm]g'(x)=f'(h(x))*h'(x)[/mm]
> Naja, vielleicht fällt es dir ja ein ! Danke dennoch schon
> mal !
Naja, so wirklich sicher bin ich mir da nicht - es kommt mir nur komisch vor, dass da eben nicht f(x), sondern f(<x,x>) steht, und ich wüsste nicht, wie man das anders interpretieren sollte, als so als Funktion, wie ich es jetzt gerade gemacht habe.
Ich hatte gehofft, jemand, der in so was sicherer ist, würde sich meine Antwort mal durchlesen...
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Do 02.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Mit der 1 hast wohl Recht, muss nen minus wohl vor,...
Ja, tatsächlich, so direkt hatte ich an die Kettenregel gar nicht gedacht, aber wenn man wirklich h(x)=<x,x> definiert, was ja wohl vollkommen legitim ist. Dann gilt also:
g(x)=f(h(x))
[mm] g'(x)=f'(h(x))\cdot{}h'(x)
[/mm]
Es gilt ja [mm] x=(x_{1},....,x_{n}) [/mm]
Demnach wäre ja partiell abgeleitet:
[mm] \bruch{\partial g}{\partial x_{1}}=f'(h(x))*2x_{1}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g}{\partial x_{2}}=f'(h(x))*2x_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g}{\partial x_{n}}=f'(h(x))*2x_{n}
[/mm]
[mm] g'(x)=\pmat{f'()*2x_{1} & f'()*2x_{2} & .... & f'()*2x_{n} }
[/mm]
Hmm, aber wars dass dann ? Kommt mir net so schwer vor. Ist ja nur Anwendung der Kettenregel... Naja auf der anderen Seite ists auch die erste Aufgabe auf dem Blatt..... *grübel*
Könntest du das vielleicht verifizieren ? *g*
Hmm, dann werd ich wieder meine Gedanken auf die 3.Frage lenken, irgendwie muss das doch zu machen sein...
Danke schon mal und vielleicht kann jemand anderes was zur 3 Sagen ?
Faenôl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Do 02.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
> Ja, tatsächlich, so direkt hatte ich an die Kettenregel gar
> nicht gedacht, aber wenn man wirklich h(x)=<x,x> definiert,
> was ja wohl vollkommen legitim ist. Dann gilt also:
>
> g(x)=f(h(x))
> [mm]g'(x)=f'(h(x))\cdot{}h'(x)[/mm]
>
> Es gilt ja [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
>
> Demnach wäre ja partiell abgeleitet:
>
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial x_{1}}=f'(h(x))*2x_{1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial x_{2}}=f'(h(x))*2x_{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial x_{n}}=f'(h(x))*2x_{n}[/mm]
Also, ich denke, du darfst hier auch nicht einfach f' schreiben, sondern musst dort auch schreiben, nach welcher Variable du ableitest. Welche Ableitung meinst du denn?
Ich denke, wenn man das richtig aufschreibt, kommt da auch wieder eine Jacobi-Matrix raus.
Ich habe hier in einem Buch folgendes gefunden (ich hoffe, du kommst mit den Bezeichnungen klar, aber ich habe keine Lust, zu versuchen, es umzuformulieren - das ist mir zu riskant wegen evtl. Fehler...):
"[...] Aus der Kettenregel ergibt sich für die Jacobi-Matrizen von g,f und H=g°f:
[mm] \pmat{ D_1H_1 & ... & D_nH_1 \\ ... \\ D_1H_p & ... & D_nH_p } [/mm] = [mm] \pmat{ D_1g_1 & ... & D_mg_1 \\ ... \\ D_1g_p & ... & D_mg_p } \pmat{ D_1f_1 & ... & D_nf_1 \\ ... \\ D_1f_m & ... & D_nf_m }
[/mm]
In die links und ganz rechts stehende Matrix ist a als Argument einzusetzen, in die mittlere Matrix das Argument b=f(a).
Man hat also für die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen [mm] H_1,...,H_p [/mm] der zusammengesetzten Abbildung H=g°f:
[mm] D_iH_j [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{m} D_kg_j*D_if_k,
[/mm]
wobei hinsichtlich der einzusetzenden Argumente die gemachte Bemerkung zu beachten ist."
Weiß nicht, ob die Bemerkung hier unten noch wichtig ist - wollte dir nur nichts vorenthalten. Aber ich finde, das mit den Matrizen da oben sieht ganz gut aus - vielleicht probierst du's mal. Und da du f nicht gegeben hast, wirst du da wohl etwas ähnliches erhalten wie hier, also eher den allgemeinere Fall (wobei du die innere Ableitung natürlich einsetzen kannst). Ach ja, und wie man Matrizen multipliziert, weißt du? Ansonsten hilft dir das da oben wahrscheinlich wenig beim Verständnis...
> [mm]g'(x)=\pmat{f'()*2x_{1} & f'()*2x_{2} & .... & f'()*2x_{n} }[/mm]
Ich denke, hier steht dann schon ein bisschen mehr...
> Hmm, aber wars dass dann ? Kommt mir net so schwer vor. Ist
> ja nur Anwendung der Kettenregel... Naja auf der anderen
> Seite ists auch die erste Aufgabe auf dem Blatt.....
> *grübel*
Es kann aber schon sein, dass die Aufgaben nicht allzu schwierig sind. Vor allem, wenn man es verstanden hat, gibt es einige recht einfache Aufgaben.
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Do 02.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi Bastiane !
Danke für deine Mühe !
Aber so ganz verstehe ich deine Kritik nicht (also an meiner Lösung) *g*
Ich schreib mal deine gefundene Formel:
[mm] D_iH_j [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{m} D_kg_j\cdot{}D_if_k
[/mm]
für uns um:
[mm] D_iG_j [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{m} D_kf_j\cdot{}D_ih_k
[/mm]
So, diese "Formel" kenn ich auch ! Sie ist ja die Verallgemeinerung der Kettenregel, da hier von [mm] H(x)=g(f_{1}(x),....,f_{m}(x)) [/mm] ausgegangen wird.
(Ich hoff ich hab hier f und g jetzt nicht vertauscht, aber das ist ja auch egal, es kommt ja auf denn Sinn an).
Nun haben wir aber H(x)=g(f(x)) , also m=1.
Und hier beruht drauf mein Einwand:
[mm] D_ih_k [/mm] ist ja immer die innere Ableitung.
Mit m=1 gilt doch dann :
[mm] D_iG_j=D_1f_j\cdot{}D_ih_1
[/mm]
h(x) bildet doch aber nur auf eine Zahl ab, also ist
[mm] h_1(x)=h(x)
[/mm]
und [mm] D_ih_1(a)=D_ih(a)=2*a_i
[/mm]
und das gleiche für f: [mm] D_if_j(x)=D_if(x)
[/mm]
Oder nicht ?
Was [mm] D_{1}f(h(a)) [/mm] ist, kann man nicht sagen, meine ich ! Da wir f ja nicht kennen !
Oder ich vertue ich mich hier total ?
Auf dieser Behauptung hatte ich nämlich meine Jacobi Matrix berechnet.
Wenn ich mich vertan habe, könntest du mir dann bitte sagen ob ich irgendwas über [mm] D_1f_j(h(a)) [/mm] aussagen kann ?
Die letzte Matrix(rechts) könnte ich ja, glaub ich bestimmen, wobei das doch dann ein Zeilenvektor wäre.... Das würd doch dann Probleme bereiten, weil doch bei der Matrixmultiplikation Zeile=Spalte gelten muss..
Danke für deine Mühe !
Faenôl
|
|
|
| |
|
Hallo Faenol,
> 1. Frage:
>
> Ich soll hier bei ner Aufgabe die totale Ableitung
> bestimmen, hab auch Lösungen raus, aber bin mir seeehr
> unsicher:
>
> Lasst euch von dem a nicht irritieren, das ist [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> mit [mm]a=(a_{1},a_{2})[/mm]
>
> a) f(x,y)= [mm]\vektor{x+1 \\ xy}[/mm]
>
> Demnach ist ja [mm]f_{1}(x,y)=x+1[/mm] und [mm]f_{2}(x,y)=xy[/mm]
>
> Wenn ich das irgendwie nur halbwegs verstanden hab, dann
> bildet man doch nun damit die Jacobi Matrix oder ?
>
> [mm]D_{f}(a)= \pmat{ \partial_{f_{1}}(a) & \partial_{f_{2}}(a) }[/mm]
>
> und das müßte doch [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ a_{2} & a_{1} }[/mm] sein,
> weil man ja partiell ableitet oder ?
>
>
> b) f(x,y)=x+y => [mm]D_{f}(a)= \pmat{ 1 & 1}[/mm]
>
> c) f(x,y)=cos(xy) => [mm]D_{f}(a)= \pmat{ sin(xy)*a_{2} & sin(xy)*a_{1} }[/mm]
die totale Ableitung ist mir bekannt unter dem Namen "vollständiges Differential".
Ist [mm]f(x),\;x\; \in \;\IR^{n} [/mm] eine Funktion mit [mm]x\; = \;\left( {x_{1} ,\; \cdots ,\;x_{n} } \right)^{T}[/mm]. Dann gilt für das vollständige Differential:
[mm]df\; = \;\sum\limits_{i = 1}^{n} {\frac{{\delta f}}
{{\delta x_{i} }}\;dx_{i} } [/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi MathePower !
Ja, "deine Formel" sagt mir auch etwas, wobei ich dein [mm] dx_i [/mm] nicht so ganz verstehe, also ich kenn das so:
[mm] D_f(a)(h_1,...,h_n)= \bruch{ \partial f}{\partial x_1}(a)*h_1+ [/mm] ... [mm] +\bruch{ \partial f}{\partial x_n}(a)*h_n
[/mm]
was man dann ja auch als Summe zusammenschreiben kann (und was ja der Jacobi Matrix * Vektor h entspricht.
Aber du wirst wohl das gleiche meinen, oder ?
Es ist ja so, dass [mm] A=D_f(a) [/mm] gilt und das ist ja die Ableitung !
Bei der c) also f(x,y)=cos(xy) würde dann ja [mm] D_f(a)(h)=-sin(xy)*y*h_1-sin(xy)x*h_2 [/mm] gelten
bzw. ohne das h, wäre es dann die Jacobi Matrix * Vektor h.
Wobei ich ehrlich nicht gesagt, verstehe, was es immer mit dem a auf sich hat ! Das ist ja ein Vektor, ist der für x einzusetzen ? Eigentlich denk ich ja!
Meinst du du könntest noch über meine andere Frage drüber schauen (siehe meine und Bastianes Mitteilungen)... Wäre nett ! Bin mir da net so sicher... (besonders warum meine Lösung net korrekt sein soll)
Faenôl
|
|
|
| |
|
Hallo Faenol,
> Wobei ich ehrlich nicht gesagt, verstehe, was es immer mit
> dem a auf sich hat ! Das ist ja ein Vektor, ist der für x
> einzusetzen ? Eigentlich denk ich ja!
die totale Ableitung ist ja so definiert:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \;\frac{{f(x)\; - \;f(x_0 )\; - \;a\;\left( {x\; - \;x_0 } \right)}}{{\left\| {x\; - \;x_0 } \right\|}}\; = \;0[/mm]
Gibt es einen solchen Vektor [mm]a \; = a(\;x_{0}\;)[/mm], so heißt dieser die totale Ableitung von f an der Stelle [mm]x\;=\;x_{0}[/mm].
Während das totale Differential so definiert ist:
[mm]df\left( {x_{0} } \right)\; = \;\nabla f(x_{0} )^{T} \;\Delta x\; = \;\sum\limits_{i = 1}^{n} {\frac{{\delta f}}{{\delta x_{i} }}\;\Delta x_i } [/mm]
Siehe auch Differential- und Integralrechnung für Funktionen in mehreren Variablen
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Faenol,
> 2. Frage:
>
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm] und diffbar.
> g: [mm]\IR^{n} \to \IR[/mm] g(x)=f(<x,x>) (<x,x> =
> Skalarprodukt))
> Ich soll nun g'(a) berechnen, a [mm]\in \IR^{n}[/mm]
>
> [mm]g(a)=f()=f(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^2)[/mm]
> Demnach: [mm]g'(a)=f'(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^2)[/mm]
>
> Aber ich hab f doch gar net gegeben, wenn ich wüßte auf was
> f abbildet, würd ich mit
>
> g'(a)= [mm]\pmat{ \bruch{\partial f}{x_{1}}(a) & \bruch{\partial f}{x_{2}}(a) & ... & \bruch{\partial f}{x_{n}}(a) }[/mm]
>
Zunächst definiere ich das etwas anders:
[mm]\begin{array}{l}
g\left( a \right)\; = \;f\left( { < a,\;a > } \right) \\
u(a)\;: = \; < a,\;a > \\
\end{array}[/mm]
Dann schreibt sich g so:
[mm]g\left( a \right)\; = \;f\left( {u(a)} \right)[/mm]
Und da kannst Du jetzt die Kettenregel anwenden:
[mm]\frac{{\delta g}}{{\delta a}}\; = \;\left( {\frac{{\delta g}}{{\delta a_{1} }},\; \cdots ,\;\frac{{\delta g}}{{\delta a_^{n} }}\;} \right)^{T} \; = \nabla g\; = \;\frac{{df}}{{du}}\;\left( {\frac{{\delta u}}{{\delta a_{1} }},\; \cdots ,\;\frac{{\delta u}}{{\delta a_{n} }}} \right)^{T} \; = \;\frac{{df}}{{du}}\;\nabla u[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Nach: $ [mm] \frac{{\delta g}}{{\delta a}}\; [/mm] = [mm] \;\left( {\frac{{\delta g}}{{\delta a_{1} }},\; \cdots ,\;\frac{{\delta g}}{{\delta a_^{n} }}\;} \right)^{T} \; [/mm] = [mm] \nabla g\; [/mm] = [mm] \;\frac{{df}}{{du}}\;\left( {\frac{{\delta u}}{{\delta a_{1} }},\; \cdots ,\;\frac{{\delta u}}{{\delta a_{n} }}} \right)^{T} \; [/mm] = [mm] \;\frac{{df}}{{du}}\;\nabla [/mm] u $
Dann wollen wir das demnach mal hinbekommen:
[mm] \bruch{df}{du} [/mm] kenn ich ja net, enspricht ja f'(u)
und [mm] \nabla [/mm] u(a) sind die partiellen Ableitungen als Spaltenvektor. (siehe deinen Link) *g*
Demnach
[mm] \nabla [/mm] u(a) = [mm] \vektor{2a_1 \\ ... \\ 2a_n}
[/mm]
[mm] g'(a)=f'(u(a))*\vektor{2a_1 \\ ... \\ 2a_n}
[/mm]
So hatte ich das ja auch vorher, nur als Zeilen und nicht als Spalten....
Wäre das denn so richtig ?
Was mich einfach irritiert ist, dass wir in der Vorlesung [mm] D_f(x,y) [/mm] immer als Zeilenvektor aufgeschrieben haben...., daher blick ich da gerade net so durch.. warum nun als Spalte....
Zu deiner Erklärung (totale Ableitung usw.)
Die Definition für die totale Ableitung kann ich nachvollziehen, wir haben dort zwar [mm] h=x-x_0, [/mm] aber das macht ja nichts... Aber das [mm] a(x-x_0) [/mm] ist bei uns A(h), was dann ja die totale Ableitung ist, da ja
der Ausdruck mit dem limes = 0 (also beste Annäherung)
Mein Problem ist nun, dass ich mit dem kleinen a nichts anfangen kann, weil bei uns ein großes steht...
In dem aktuellen Beispiel hier haben wir g'(a) mit der Formel von dem vollständigen Differential bestimmt (und Kettenregel).
Ich versteh einfach nicht den Unterschied zwischen A und [mm] D_f(a)....
[/mm]
Danke
Faenôl
Sorry, für die vielen Fragen, aber unsere Vorlesung ist in diesem Gebiet glaub ich wirklich Mist !
|
|
|
| |
|
Hallo Faenol,
> Nach: [mm]\frac{{\delta g}}{{\delta a}}\; = \;\left( {\frac{{\delta g}}{{\delta a_{1} }},\; \cdots ,\;\frac{{\delta g}}{{\delta a_^{n} }}\;} \right)^{T} \; = \nabla g\; = \;\frac{{df}}{{du}}\;\left( {\frac{{\delta u}}{{\delta a_{1} }},\; \cdots ,\;\frac{{\delta u}}{{\delta a_{n} }}} \right)^{T} \; = \;\frac{{df}}{{du}}\;\nabla u[/mm]
>
> Dann wollen wir das demnach mal hinbekommen:
>
> [mm]\bruch{df}{du}[/mm] kenn ich ja net, enspricht ja f'(u)
>
> und [mm]\nabla[/mm] u(a) sind die partiellen Ableitungen als
> Spaltenvektor. (siehe deinen Link) *g*
>
> Demnach
>
> [mm]\nabla[/mm] u(a) = [mm]\vektor{2a_1 \\ ... \\ 2a_n}[/mm]
>
> [mm]g'(a)=f'(u(a))*\vektor{2a_1 \\ ... \\ 2a_n}[/mm]
>
> So hatte ich das ja auch vorher, nur als Zeilen und nicht
> als Spalten....
> Wäre das denn so richtig ?
>
>
> Was mich einfach irritiert ist, dass wir in der Vorlesung
> [mm]D_f(x,y)[/mm] immer als Zeilenvektor aufgeschrieben haben....,
> daher blick ich da gerade net so durch.. warum nun als
> Spalte....
>
> Zu deiner Erklärung (totale Ableitung usw.)
>
> Die Definition für die totale Ableitung kann ich
> nachvollziehen, wir haben dort zwar [mm]h=x-x_0,[/mm] aber das macht
> ja nichts... Aber das [mm]a(x-x_0)[/mm] ist bei uns A(h), was dann
> ja die totale Ableitung ist, da ja
> der Ausdruck mit dem limes = 0 (also beste Annäherung)
>
> Mein Problem ist nun, dass ich mit dem kleinen a nichts
> anfangen kann, weil bei uns ein großes steht...
>
> In dem aktuellen Beispiel hier haben wir g'(a) mit der
> Formel von dem vollständigen Differential bestimmt (und
> Kettenregel).
>
> Ich versteh einfach nicht den Unterschied zwischen A und
> [mm]D_f(a)....[/mm]
>
Es wird sich später herausstellen, daß A gleich [mm]D_f(a)[/mm] ist.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
O.K, dann bin ich ja erleichtert, weil wir definieren das schon die ganze Zeit so, dass also [mm] D_f(a)=A. [/mm] *dann bin ich in dieser Hinsicht ja net mehr verwirrt*
Dann hätte ich noch eine Frage:
Wenn f(x,y)=x+y
Dann berechne ich ja [mm] D_f(x,y)=\nabla [/mm] f(x,y)= [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] oder ?
Und wenn jetzt die Aufgabe ist [mm] D_f(a) [/mm] mit [mm] a\in \IR^2 [/mm] zu bestimmen, dann wäre das
[mm] D_f(a) [/mm] = [mm] D_f(a_1,a_2)=\nabla f(a_1,a_2)= \vektor{1 \\ 1} [/mm] ??
Also als Spaltenvektor !
O.K, ist nen dummer Fall, weil zum Schluss nur noch einsen übrig bleiben, aber es wäre hier richtig x mit [mm] a_1 [/mm] zu ersetzen bzw. y mit [mm] a_2.
[/mm]
Ich weiß man macht das eigentlich net, wegen Indizes, aber es wäre formal richtig ?
Danke für deine Hilfe ! *verbeug*
Faenôl
|
|
|
| |
|
Hallo Faenol,
> Dann hätte ich noch eine Frage:
>
> Wenn f(x,y)=x+y
> Dann berechne ich ja [mm]D_f(x,y)=\nabla[/mm] f(x,y)= [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> oder ?
ja, das stimmt.
>
> Und wenn jetzt die Aufgabe ist [mm]D_f(a)[/mm] mit [mm]a\in \IR^2[/mm] zu
> bestimmen, dann wäre das
> [mm]D_f(a)[/mm] = [mm]D_f(a_1,a_2)=\nabla f(a_1,a_2)= \vektor{1 \\ 1}[/mm]
> ??
> Also als Spaltenvektor !
Auch das stimmt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Sorry, war doch net die letzte Frage:
O.K, das erfreut mich alles sehr, dass ich nun wohl durchblicke..
Aber hab nun eine totale Verwirrung bezüglich Zeilen oder Spalten.
Es gilt doch für die Jacobi Matrix, angenommen f: [mm] \IR^2 \to \IR^2
[/mm]
Jac= [mm] \pmat{ \bruch{ \partial f_1}{ \partial x_1} & \bruch{ \partial f_1}{ \partial x_2} \\ \bruch{ \partial f_2}{ \partial x_1} & \bruch{ \partial f_2}{ \partial x_2} }
[/mm]
Ich hab das Gefühl, dass wenn ich die Jacobi Matrix bilde, kommt bei
f(x,y)=x+y Jac(f) = [mm] \pmat{ 1 & 1} [/mm] raus
Wenn ich das mit dem Gradienten mache, dann [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Das selbe bei f(x,y)= [mm] \vektor{x+1 \\ xy}
[/mm]
Die Jacobi Matrix liefert [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ y & x }, [/mm] der Gradient (auf die Teilfunktionen) die transponierte...
Und auch bei der Frage2 (das mit dem Skalarprodukt) das selbe..
In meinem Script habe ich dann noch die Aufzeichnung:
D f(a) hat die Matrix ( [mm] \underbrace{Df_1(a)}_{=1.Spalte} [/mm] ... [mm] \underbrace{Df_m(a)}_{=m.Spalte} [/mm] )
Sicherlich ist die Verwirrung da, weil man ja immer lieber f(x,y) schreibt anstatt f( [mm] \vektor{x \\ y}) [/mm] aber da ist immer dann ein "," (Komma) zwischen, was das einen sehen lässt...
Daher nun meine konkrete Frage:
Wenn ich irgendeine Funktion h habe und dann also:
[mm] D_1 [/mm] h(x)
[mm] D_2 [/mm] h(x)
[mm] D_3 [/mm] h(x) habe, schreibe ich diese dann in Spalten oder in Zeilen ?
Wie sieht denn nun wirklich bei f(x,y)=x+y Df(a) aus ?
Danke
Faenôl (der verwirrte)
|
|
|
| |
|
Hallo Faenol,
> Wie sieht denn nun wirklich bei f(x,y)=x+y Df(a) aus ?
die Jacobi-Matrix sieht so aus:
[mm]Df\left( x \right)\; = \;
J\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{\delta f_{1} }}
{{\delta x_{1} }}} & \cdots & {\frac{{\delta f_{1} }}
{{\delta x_{n}}}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
{\frac{{\delta f_{m} }}
{{\delta x_{1} }}} & \cdots & {\frac{{\delta f_{m} }}
{{\delta x_{n} }}} \\
\end{array} } \right)[/mm]
wobei
[mm]f\left( x \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{f_1 \left( x \right)} \\
\vdots \\
{f_m \left( x \right)} \\
\end{array} } \right),\;x\; = \;\left( {x_1 , \cdots ,\;x_n } \right)^T [/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 So 05.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ja, das weiß ich... aber dennoch danke !
Bleiben wir nun bei dem Beispiel f(x,y)=x+y
Dann ist doch Df(x)=(1 1) ! (nach der Jacobi Matrix)
Warum ist das bei dem Gang über den Gradienten anders ?
$ [mm] \mbox{grad} [/mm] f (x) := [mm] \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} (x) , \ldots , \frac{\partial f}{\partial x_m} (x) \right) [/mm] $
= (1 , 1) raus....
Diese Frage wurmt mich ! Meinst du, du kannst das konkret beantworten ?
Faenôl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 05.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Hmm, naja, also was bei der Jacobi Matrix rauskommt, das versteh ich alles !
Nur hab ich einfach folgendes Problem.
Es gilt doch die Definition:
Grad (f)=( [mm] \bruch{ \partial f}{ \partial x_1}, [/mm] ... , [mm] \bruch{ \partial f}{ \partial x_n}).
[/mm]
Ich bezeichne das einfach mal als (a,b,c,...,x,y,z)
Das Problem sind die Kommas !
(x,y) ist ja auch nur ne kurschreibweise für [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
Also Grad (f)= (a,b,c,....,x,y,z) heißt ja in Wirklichkeit [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ ... \\ x \\ y \\ z}
[/mm]
Aber die Jacobi Matrix hat keine Kommas, ist also wirklich (a b c d e f ... x y z)
Um die Matrixzenmultiplikation durchzuführen, muss es aber wirklich so wie die Jacobi Matrix aussehen, denn sonst könnte man nicht Matrix*Vektor rechnen...
Verstehst du was ich meine ?
Wenn die Defintion so wäre:
Grad (f)=( [mm] \bruch{ \partial f}{ \partial x_1} [/mm] | ... | [mm] \bruch{ \partial f}{ \partial x_n}).
[/mm]
mit | als Trennung von Ausdrücken, dann würde ich das alles ohne Probleme verstehen, aber mit den Kommas....
In meiner Frage mit dem Namen: "Last Question Sir" (siehe oben) und der darauf folgenden Antwort von MathePower wurde verifiziert, dass bei f(x,y)=x+y [mm] Df(x)=\vektor{1 \\ 1} [/mm] ist.
Und bei der letzten Antwort zu der Frage mit dem Skalarprodukt [mm] Dg(a)=f'()*\vektor{2a_1 \\ .. \\ 2a_n}
[/mm]
Laut Jacobi Matrix aber jedoch: [mm] \pmat{ f'()*2*a_1 & ... & f'()*2a_n }
[/mm]
(zumindestens hab ich das so verstanden)
Ich glaub es ist nur ein Problem mit den "dummen" Kommas....
Faenôl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 So 05.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Faenol!
>.
> Es gilt doch die Definition:
>
> Grad (f)=( [mm]\bruch{ \partial f}{ \partial x_1},[/mm] ... ,
> [mm]\bruch{ \partial f}{ \partial x_n}).[/mm]
> Ich bezeichne das
> einfach mal als (a,b,c,...,x,y,z)
>
> Das Problem sind die Kommas !
>
> (x,y) ist ja auch nur ne kurschreibweise für [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
Nein! Für [mm] $\pmat{ x & y}$.
[/mm]
> Also Grad (f)= (a,b,c,....,x,y,z) heißt ja in Wirklichkeit
> [mm]\vektor{a \\ b \\ c \\ ... \\ x \\ y \\ z}[/mm]
Nein! Stattdessen : [mm] $\pmat{a & b & c & \ldots & x & y & z}$.
[/mm]
Der Gradient ist immer ein Zeilenvektor.
Die Kommata haben nichts zu bedeuten, sie dienen nur zur Abtrennung.
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]"){kind=small}
![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]"){kind=small}
