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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Fr 07.08.2009 | | Autor: | can19 |
| Aufgabe | | Gegeben seien zwei Basen A={[-1,2),(2,-1)} und B={(0,2)(5,0)}. Berechnen Sie die Matrizen [mm] T_{B}^{A} [/mm] und [mm] T_{A}^{B} [/mm] |
hallo ihr lieben,
ich hänge an der folgenden aufgabe fest.
ich habe einfach ein Gleichungssystem aufgestellt und berechnet:
[mm] \pmat{-1 & 3 \\ 2 & -1 } \pmat{ x_{1} & x_{3} \\ x_{2} & x_{4}}=\pmat{0 & 2 \\ 5 & 0}
[/mm]
als ergebnis für [mm] T_{B}^{A} [/mm] habe ich raus:
[mm] \pmat{3 & -2 \\ 1 & 0} [/mm] jedoch soll rauskommen [mm] \pmat{ \bruch{3}{2} & \bruch{-1}{2} \\ \bruch{-1}{5} & \bruch{2}{5} }
[/mm]
was mache ich denn falsch...kann mir jemand eine methode nennen wie ich das besser berechnen kann??
wäre für eine hilfe dankbar!!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Sa 08.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Ich weiß überhaupt nicht was du machst: in der aufgabe stehen irgendwelche anderen Zahlen als in deinem Ansatz, die zeilen der B sind entweder verdreht, oder du hast die "T"'s für die transposition vergessen, aber zumindest ist bei der A irgendwoher eine 2 statt 3 zuviel aufgetaucht... Ich habe jedenfalls Basiswechselmatrizen rausgekrigt, die weder mit deinem ergebnis, noch mit der drangeschriebenen musterlösung übereinstimmen....
Ich bin verwirrt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 Sa 08.08.2009 | | Autor: | can19 |
man muss das mit der transformationsformel lösen...aber ich weiß leider nicht wie...habe schon bei wikipedia und alles gegoogelt aber richtig schlau wurde ich nicht..und das richtige ergebnis habe ich auch nicht...
hast du vielleicht ansatzweise eine idee??
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:25 Sa 08.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Also, ich geh jetzt mal davon aus, dass das was in der Aufgabenstellung mit "T"' richtig ist.
D.h:
gegeben sind zwei Basen
[mm] $A=\left\{\vektor{-1\\2},\vektor{2\\-1}\right\}$ [/mm]
und
[mm] $B=\left\{\vektor{0\\2},\vektor{5\\0}\right\}$
[/mm]
Die kanonische Basis bezeichne ich im Folgenden mit [mm] $E=\left\{\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\right\}$.
[/mm]
Mit [mm] $k_\Omega(x)$ [/mm] bezeichne ich übersichtshalber die Koordinaten des Punktes $x$ bezüglich einer basis [mm] $\Omega$.
[/mm]
Da ich keine Ahnung habe, wie rum [mm] $T_A^B$ [/mm] definiert wurde, und wo bei eurer Notation "oben" und "unten" ist, schreibe ich einfach für die Basiswechselmatrizen von [mm] $\Omega$ [/mm] nach [mm] $\Psi$ [/mm] lieber [mm] \sideset{_\Psi}{_\Omega}{Id}, [/mm] denn das ist ja nichts anderes als die Matrixdarstellung der Identität dezüglich der Basen [mm] $\Omega$ [/mm] und [mm] $\Psi$.
[/mm]
Wie sehen die Basiswechselmatrizen von A bzw B zur kanonischen basis aus?
Damit diese ganze schreibweise irgendeinen sinn macht, soll ja gelten:
[mm] $k_E(x)=\sideset{_E}{_A}{Id}k_A(x)$
[/mm]
bzw.
[mm] $k_E(x)=\sideset{_E}{_B}{Id}k_B(x)$
[/mm]
Basisvektoren von A und B sind angegeben, also kann man [mm] $\sideset{_E}{_A}{Id}$ [/mm] und [mm] $\sideset{_E}{_B}{Id}$ [/mm] direkt hinschreiben:
[mm] $\sideset{_E}{_A}{Id}=\pmat{-1 & 2 \\ 2 & -1}$
[/mm]
[mm] $\sideset{_E}{_B}{Id}=\pmat{0 & 5 \\ 2 & 0}$
[/mm]
Jetzt wollen wir aber ohne umwege Koordinaten bezüglich Basis A in die koordinaten bezüglich B umrechnen, dazu brauchen wir die Basiswechselmatrix [mm] $\sideset{_B}{_A}{Id}$. [/mm] Gut, schreiben wir das so um, dass wir nur noch matrizen da stehen haben, die wir schon haben:
[mm] $\sideset{_B}{_A}{Id}=\sideset{_B}{_E}{Id}\sideset{_E}{_A}{Id}=\sideset{_E}{_B^{-1}}{Id}\sideset{_E}{_A}{Id}
[/mm]
[mm] =\pmat{0 & 5 \\ 2 & 0}^{-1}\pmat{-1 & 2 \\ 2 & -1}=\pmat{0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{5} & 0}\pmat{-1 & 2 \\ 2 & -1}
[/mm]
[mm] =\pmat{1&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}}$
[/mm]
Die Basiswechselmatrix von B nach A ist natürlich einfach die Inverse davon, rechn' ich jetzt nicht aus.
Testen wir mal kurz was wir da berechnet haben an einem kleinen Beispiel: mal angenommen wir haben einen Punkt x mit koordinaten [mm] $k_A(x)=\vektor{3\\7}$ [/mm] bezüglich der Basis A. Was sind seine kanonischen Koordinaten?
[mm] $k_E(x)=\sideset{_E}{_A}{Id}k_A(x)=\pmat{-1 & 2 \\ 2 & -1}\vektor{3\\7}=\vektor{11\\-1}$
[/mm]
Versuchen wir mal die Koordinaten bzgl B zu bekommen:
[mm] $k_B(x)=\sideset{_B}{_A}{Id}k_A(x)=\pmat{1&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}}\vektor{3\\7}=\vektor{-\frac{1}{2}\\\frac{11}{5}}$
[/mm]
Probe: kanonischen koordinaten aus den Koordinaten bzgl B ausrechnen:
[mm] $k_E(x)=\sideset{_E}{_B}{Id}k_B(x)=\pmat{0 & 5 \\ 2 & 0}\vektor{-\frac{1}{2}\\ \frac{11}{5}}=\vektor{11\\-1}$
[/mm]
Wunderbar, kommt dasselbe raus, einmal sauber im Kreis gerechnet, *freu*...
Hoffentlich hilft's mehr als es verwirrt. Die trivialsten Sachen sind manchmal am schwierigsten zu erklären, und das ist hier genau der Fall, glaube ich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 08.08.2009 | | Autor: | can19 |
| Aufgabe | [mm] A=({1,t,t^2,t^3}) B=({t^3,t^2,t,1})
[/mm]
berechne [mm] T_{B}^{A} [/mm] |
danke andrey...habe die letzte aufgabe verstanden:)
abe die aufgabe habe ich im buch gefunden
nund habe ich zu erst die matrizen aufgestellt
[mm] T_{E}^{A}= \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 }
[/mm]
und [mm] T_{E}^{B}= \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
nun gilt [mm] T_{B}^{A}= T_{B}^{E} *T_{E}^{A} [/mm] = [mm] (T_{E}^{B})^{-1} *T_{E}^{A}
[/mm]
aber irgendwie bekomme ich nicht das raus was raus kommen soll ...wie geht man hier vor?? ist mein ansatz richtig??
lg
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> [mm]A=({1,t,t^2,t^3}) B=({t^3,t^2,t,1})[/mm]
> berechne [mm]T_{B}^{A}[/mm]
Hallo,
mit der Matrix [mm] T_{B}^{A} [/mm] meinst Du die Matrix, die Dir Koordinatenvektoren, die bzgl. B gegeben sind, in solche bzgl A umwandelt? (Prüfe genau, ob das so stimmt, oder ob Ihr eine andere Notation habt)
Schauen wir uns den ersten Basisvektor von B an. Das ist [mm] t^3.
[/mm]
Als Linearkombination der Vektoren aus A geschreiben hat man: [mm] t^3=0*1+0*t+0*t^2+1*t^3=\vektor{0\\0\\0\\1}_{(A)}, [/mm] und dies wäre die erste Spalte Deiner Matrix.
Die anderen entsprechend.
Die Formel
> [mm] T_{B}^{A}= T_{B}^{E} \cdot{}T_{E}^{A} [/mm] =$ [mm] (T_{E}^{B})^{-1} \cdot{}T_{E}^{A} [/mm] $
ist richtig,
aber nun muß ich Dich fragen: was ist denn E?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Sa 08.08.2009 | | Autor: | can19 |
mit E habe ich die Einheitsbasis bezeichnet.
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> mit E habe ich die Einheitsbasis bezeichnet.
Hallo,
ja, das dachte ich mir natürlich - aber ich will genau wissen, was Du damit meinst. Immerhin sind wir ja gerade im Raum der Polynome vom Höchstgrad 3.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 So 09.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Der Einwand mit der Frage "was ist denn hier E überhaupt?" ist natürlich berechtigt, ich würde normalerweiße eigentlich A=E sagen, daher ist mir schleierhaft, was diese [mm] $T_E^A$ [/mm] sein soll, wenn sie schon keine Einheitsmatrix ist...
Aber jetzt mal davon abgesehen:
Angenommen du hast Koordinaten bezüglich A gegeben: [mm] $k_A(p)=(a_1,a_2,a_3,a_4)^T$
[/mm]
Das heißt dein Polynom sieht dann so aus:
[mm] $p=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3$
[/mm]
Jetzt willst du koordinaten [mm] $k_B(p)=(b_0,b_1,b_2,b_3)^T$ [/mm] bezüglich der Anderen basis haben, sodass also gilt:
[mm] $p=b_0 x^3+b_1 x^2+b_2 [/mm] x+ [mm] b_3$
[/mm]
Muss man denn hier lange rumrechnen, um b's aus den a's rauszubekommen?
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