www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integralrechnung" - Uneigentliches Integral
Uneigentliches Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:14 Fr 13.12.2013
Autor: piriyaie

Aufgabe
[mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx


Hallo,

ich habe obiges uneigentliches Integral gelöst und wollte wissen ob meine Lösung richtig ist:

[mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx= [mm] \lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx + [mm] \integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx = [mm] \lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a} [/mm] + [mm] [-\bruch{1}{x}]_{a}^{1}=\lim_{a \rightarrow 0} -\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}= \lim_{a \rightarrow 0} [/mm] -2= -2

[mm] \Rightarrow [/mm] A=2

Stimmt das so???

Somit habe ich ja nicht über die Definitionslücke integriert. Aber [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] ist ja für x [mm] \rightarrow [/mm] 0 extrem groß. Also eigentlich müsste ja als Fläche [mm] "\infty" [/mm] rauskommen.

Ich verstehs ned. Vllt ist es auch alles falsch. Wäre dankbar wenn mir jemand hilft.

Danke

Grüße
Ali

        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:21 Fr 13.12.2013
Autor: fred97


> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
>  Hallo,
>  
> ich habe obiges uneigentliches Integral gelöst und wollte
> wissen ob meine Lösung richtig ist:
>  
> [mm]\integral_{-1}{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx= [mm]\lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> dx + [mm]\integral_{a}{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a}[/mm]
> + [mm][-\bruch{1}{x}]_{a}^{1}=\lim_{a \rightarrow 0} -\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}= \lim_{a \rightarrow 0}[/mm]
> -2= -2
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] A=2
>  
> Stimmt das so???

Nein.

1. Die oberen Integrationsgrenzen kann man nur im Quelltext erkennen !

2. Es fehlen jede Menge Klammern. Überlege Dir selbst, wo.

3. Was treibt 1/a für a [mm] \to [/mm] 0 ?????

4.  $ [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx  ist divergent, divergenter gehts kaum noch !

5. Schreib das  ganze nochmal ordentlich und richttig auf.

FRED


>  
> Somit habe ich ja nicht über die Definitionslücke
> integriert. Aber [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] ist ja für x [mm]\rightarrow[/mm]
> 0 extrem groß. Also eigentlich müsste ja als Fläche
> [mm]"\infty"[/mm] rauskommen.
>  
> Ich verstehs ned. Vllt ist es auch alles falsch. Wäre
> dankbar wenn mir jemand hilft.
>  
> Danke
>  
> Grüße
>  Ali


Bezug
                
Bezug
Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:39 Fr 13.12.2013
Autor: piriyaie

Ok. Sorry.

Habs jetzt nochmal nachgerechnet. Schaut jetzt so aus:

[mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx = [mm] \lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx + [mm] \integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx = [mm] \lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a} [/mm] + [mm] [-\bruch{1}{x}]_{a}^{1} [/mm] = [mm] \lim_{a \rightarrow 0} ((-\bruch{1}{a})-(-\bruch{1}{-1}))+((-\bruch{1}{1})-(-\bruch{1}{a}))= \lim_{a \rightarrow 0}-\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}=\lim_{a \rightarrow 0} [/mm] -2= -2

[mm] \Rightarrow [/mm] A=2

Und nun? Habe auf alles geachtet... Trotzdem fällt das [mm] \bruch{1}{a} [/mm] einfach weg :-(

Danke FRED.

Grüße
Ali

Bezug
                        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Fr 13.12.2013
Autor: fred97


> Ok. Sorry.
>  
> Habs jetzt nochmal nachgerechnet. Schaut jetzt so aus:
>  
> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> dx + [mm]\integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a}[/mm]
> + [mm][-\bruch{1}{x}]_{a}^{1}[/mm] = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} ((-\bruch{1}{a})-(-\bruch{1}{-1}))+((-\bruch{1}{1})-(-\bruch{1}{a}))= \lim_{a \rightarrow 0}-\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}=\lim_{a \rightarrow 0}[/mm]
> -2= -2
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] A=2
>  
> Und nun? Habe auf alles geachtet...


Klammern fehlen immer noch !



> Trotzdem fällt das
> [mm]\bruch{1}{a}[/mm] einfach weg :-(

Pass mal auf:

$ [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx= $ [mm] \integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx+$ [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx.

Nach Definition ist $ [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx konvergent genau dann, wenn die Beiden Integrale  $ [mm] \integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx   und  $ [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx konvergieren.

Die beiden letzte Integrale sind aber divergent.

So wie Du oben rechnest, darf man das nicht machen !

Rechne mal so:

$ [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx= [mm] \limes_{a\rightarrow 0}$ \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ [mm] dx+\limes_{b\rightarrow 0}$ \integral_{b}^{1} \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ dx

Dann wirst Du sehen, dass [mm] \infty [/mm] rauskommt.

FRED

>  
> Danke FRED.
>  
> Grüße
>  Ali


Bezug
                                
Bezug
Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:05 Fr 13.12.2013
Autor: piriyaie

Danke FRED. Du bist mir echt immer eine große Hilfe!

> > Ok. Sorry.
>  >  
> > Habs jetzt nochmal nachgerechnet. Schaut jetzt so aus:
>  >  
> > [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> > dx + [mm]\integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a}[/mm]
> > + [mm][-\bruch{1}{x}]_{a}^{1}[/mm] = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} ((-\bruch{1}{a})-(-\bruch{1}{-1}))+((-\bruch{1}{1})-(-\bruch{1}{a}))= \lim_{a \rightarrow 0}-\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}=\lim_{a \rightarrow 0}[/mm]
> > -2= -2
>  >  
> > [mm]\Rightarrow[/mm] A=2
>  >  
> > Und nun? Habe auf alles geachtet...
>
>
> Klammern fehlen immer noch !
>  
>
>
> > Trotzdem fällt das
> > [mm]\bruch{1}{a}[/mm] einfach weg :-(
>  
> Pass mal auf:
>  
> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx= [mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> dx+[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx.
>  
> Nach Definition ist [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
> konvergent genau dann, wenn die Beiden Integrale  
> [mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx   und  
> [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx konvergieren.

Welche Definition??? Wo finde ich diese?

>  
> Die beiden letzte Integrale sind aber divergent.
>  
> So wie Du oben rechnest, darf man das nicht machen !

Was genau darf ich nicht machen? Welcher schritt spricht gegen die rechengesetzte???

>  
> Rechne mal so:
>  
> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx=
> [mm]\limes_{a\rightarrow 0}[/mm] [mm]\integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> [mm]dx+\limes_{b\rightarrow 0}[/mm] [mm]\integral_{b}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> dx

das ist ja klar... wenn ich a und b nehme kann der bruch garned wegfallen.

>  
> Dann wirst Du sehen, dass [mm]\infty[/mm] rauskommt.
>  
> FRED
>  >  
> > Danke FRED.
>  >  
> > Grüße
>  >  Ali
>  

Grüße
Ali

Bezug
                                        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:17 Fr 13.12.2013
Autor: angela.h.b.


> Danke FRED. Du bist mir echt immer eine große Hilfe!

>

> > > Ok. Sorry.
> > >
> > > Habs jetzt nochmal nachgerechnet. Schaut jetzt so aus:
> > >
> > > [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> > > dx + [mm]\integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a}[/mm]
> > > + [mm][-\bruch{1}{x}]_{a}^{1}[/mm] = [mm]\lim_{a \rightarrow 0} ((-\bruch{1}{a})-(-\bruch{1}{-1}))+((-\bruch{1}{1})-(-\bruch{1}{a}))= \lim_{a \rightarrow 0}-\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}=\lim_{a \rightarrow 0}[/mm]
> > > -2= -2
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] A=2
> > >
> > > Und nun? Habe auf alles geachtet...
> >
> >
> > Klammern fehlen immer noch !
> >
> >
> >
> > > Trotzdem fällt das
> > > [mm]\bruch{1}{a}[/mm] einfach weg :-(
> >
> > Pass mal auf:
> >
> > [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx= [mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> > dx+[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx.
> >
> > Nach Definition ist [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
> > konvergent genau dann, wenn die Beiden Integrale
> > [mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx und
> > [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx konvergieren.

>

> Welche Definition??? Wo finde ich diese?

Hallo,

die Def. für "uneigentliches Integral".

Skript, schlaues Buch, wikipedia.

>

> >
> > Die beiden letzte Integrale sind aber divergent.
> >
> > So wie Du oben rechnest, darf man das nicht machen !

>

> Was genau darf ich nicht machen? Welcher schritt spricht
> gegen die rechengesetzte???

So weit sind wir uns einig:

[mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx= [mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx+[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx

Du hast da jetzt zwei uneigentliche Integrale.
Da darfst Du nicht mit einem gemeinsamen limes kommen.

Falsch:
[mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx+[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
[mm] =\lim_{a\to 0}[/mm] [mm](\integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx+[mm] \integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx)

Richtig:

[mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx+[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
[mm] =\lim_{a\to 0}[/mm] [mm]\integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] [mm] dx+\lim_{b\to 0}[/mm] [mm] \integral_{b}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx

LG Angela

>

> >
> > Rechne mal so:
> >
> > [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx=
> > [mm]\limes_{a\rightarrow 0}[/mm] [mm]\integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> > [mm]dx+\limes_{b\rightarrow 0}[/mm] [mm]\integral_{b}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> > dx

>

> das ist ja klar... wenn ich a und b nehme kann der bruch
> garned wegfallen.

>

> >
> > Dann wirst Du sehen, dass [mm]\infty[/mm] rauskommt.
> >
> > FRED
> > >
> > > Danke FRED.
> > >
> > > Grüße
> > > Ali
> >
> Grüße
> Ali


Bezug
                                                
Bezug
Uneigentliches Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:26 Fr 13.12.2013
Autor: piriyaie

AHA :-) Vielen Vielen Danke an euch!!!!

Bezug
        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:50 Fr 13.12.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}[/mm] dx
>  
> Hallo,
>  
> ich habe obiges uneigentliches Integral gelöst und wollte
> wissen ob meine Lösung richtig ist:
>  
> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{x^{2}}\ dx\ =\ \lim_{a \rightarrow 0} \integral_{-1}^{a} \bruch{1}{x^{2}}\,dx\ +\ \integral_{a}^{1} \bruch{1}{x^{2}}\,dx$ $\ =\ \lim_{a \rightarrow 0} [-\bruch{1}{x}]_{-1}^{a}\ +\ [-\bruch{1}{x}]_{a}^{1}=\limes_{a \rightarrow 0}\left( -\bruch{1}{a}-1-1+\bruch{1}{a}\right)\ = \limes_{a \rightarrow 0}\,-2\ =\ -2[/mm]

  

> [mm]\Rightarrow[/mm] A=2
>  
> Stimmt das so???
>  
> Somit habe ich ja nicht über die Definitionslücke
> integriert.     [haee]


Natürlich hast du das !

Die gemeinsame Grenze a, die du für die beiden Teil-
integrale benützt, müsste entweder positiv oder negativ
oder null sein. In jedem dieser Fälle geht mindestens
eines der Integrationsintervalle über die Lücke hinweg
oder bis zu ihr. Man kommt nicht drum herum: das
Integral hat keinen bestimmten (endlichen) Wert.
Aber man könnte hier als "uneigentliches" Ergebnis
schreiben:

     [mm] $\integral_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\ [/mm] dx\ =\ [mm] +\,\infty$ [/mm]

LG ,   Al-Chw.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de