www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis" - Unendlicher Schnitt kompakter
Unendlicher Schnitt kompakter < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Unendlicher Schnitt kompakter: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 So 22.01.2006
Autor: Mathe_Alex

Aufgabe
Sei X ein kompakter metrischer Raum und [mm] K_{i} [/mm]  i [mm] \in \IN [/mm] eine Familie abgeschlossener Teilmengen, sodass  [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty} [/mm] = {} gilt.
Zeigen Sie, dass es ein n [mm] \in \IN [/mm] gibt, sodass  [mm] \bigcap_{i=1}^{n} [/mm] = {} ist.

Guten Morgen,

ich habe diese Frage bereits einmal gestellt und jetzt weiter rumprobiert. Mittlerweile ist aber die Frage in den Tiefen dieses Forums verschwunden, also stelle ich meine weiteren Überlegungen nocheinmal als neue Frage.
:)

Da [mm] K_{i} [/mm] nach Voraussetzung abgeschlossene Teilmengen eines kompakten metrischen Raumes X sind, sind diese auch kompakt, denn sie sind durch das supremum der Abstände der Punkte aus X beschränkt.
Ich versuche einen Beweis durch Widerspruch:
[mm] \bigcap_{i=1}^{n} K_{i} [/mm] = K.
=> [mm] K_{i} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,...,n} und K sind kompakt
Sei [mm] (x_{i})_{i \in \IN} [/mm] eine Folge in  [mm] \bigcap_{i=1}^{n}K_{i} [/mm]
=> [mm] (x_{i})_{i \in \IN} [/mm] besitzt konvergente Teilfolgen, sodass diese in jedem der [mm] K_{i} [/mm] konvergieren.
=> in jedem der [mm] K_{i} [/mm] liegen fast alle Folgenglieder, also kann der unendliche Schnitt nicht leer sein.
Dies wäre ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Leider ist dieser Beweis wahrscheinlich grottenfalsch. Könnte ihn jemand verbessern oder mir einen zweiten Ansatz geben....ich verzweifel noch

:)

Viele Grüße
Alex

        
Bezug
Unendlicher Schnitt kompakter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 So 22.01.2006
Autor: Hanno

Hallo.

> Sei $ [mm] (x_{i})_{i \in \IN} [/mm] $ eine Folge in  $ [mm] \bigcap_{i=1}^{n}K_{i} [/mm] $

Soll [mm] $x_n\in \bigcap_{i=1}^{n} K_i$ [/mm] sein? Wenn ja, dann sieht das vielversprechend aus. Es geht aus deinen Ausführungen jedoch nicht hervor, ob du $n$ zu Begin fixierst oder nicht. Ersteres machte allerdings keinen Sinn.

> => in jedem der $ [mm] K_{i} [/mm] $ liegen fast alle Folgenglieder, also kann der unendliche Schnitt nicht leer sein.
> Dies wäre ein Widerspruch zur Voraussetzung.

Diesen Schluss verstehe ich nicht. Du könntest ihn ebenso tätigen, wenn die [mm] $K_i$ [/mm] offen wären, und dann wäre er falsch (setze beispielsweise [mm] $K_i=\left(0,\frac{1}{i}\right)$). [/mm]

Deine Idee der konvergenten Teilfolgen allerdings war gut. Es ist [mm] $x_i\in K_1$ [/mm] für alle [mm] $i\in \IN$; [/mm] da [mm] $K_1$ [/mm] kompakt ist, existiert also ein [mm] $k\in K_1$, [/mm] sodass $k$ Häufungspunkt von [mm] $(x_i)_{i\in\IN}$ [/mm] ist. Wäre nun [mm] $\bigcap_{i=1}^{\infty} K_i=\emptyset$, [/mm] so gäbe es ein [mm] $n_0\in \IN$ [/mm] mit [mm] $k\notin K_{n_0}$. [/mm] Da [mm] $X\setminus K_{n_0}$ [/mm] offen ist, existierte somit eine Umgebung $U$ von $k$, sodass auch [mm] $U\cap K_{n_0}=\emptyset$. [/mm] Dies steht im Widerspruch dazu, dass $k$ Häufungspunkt von [mm] $(x_i)_{i\in\IN}$ [/mm] ist - warum?


Eine andere Möglichkeit, die Behauptung nachzuweisen, wäre folgende:
Da die [mm] $K_i$ [/mm] abgeschlossen sind, ist [mm] $X\setminus K_i$ [/mm] offen für alle [mm] $i\in \IN$. [/mm] Nach Voraussetzung gilt nun [mm] $\bigcap_{i=1}^{\infty} K_i=\emptyset$, [/mm] d.h. [mm] $\bigcup_{i=1}^{\infty} (X\setminus K_i)=X$. [/mm] Damit ist [mm] $\{X\setminus K_i\}_{i\in \IN}$ [/mm] eine offene Überdeckung von $X$. Bringe nun die Kompaktheit von $X$ ins Spiel. Versuch es bitte einmal.


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
                
Bezug
Unendlicher Schnitt kompakter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:54 So 22.01.2006
Autor: Mathe_Alex

Vielen Dank für deine schnelle Antwort,

über das Komplement habe ich es auch schon mal versucht, bin da aber nicht weitergekommen. Deine zweite Lösung gefällt mir besser als die über konvergente Teilfolgen.
Jeder kompakte Raum mit offener Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung, also
[mm] \bigcup_{i=1}^{n} [/mm] X \ [mm] K_{i} [/mm]  =  [mm] \bigcap_{i=1}^{n}K_{i}. [/mm]

Das sollte man ja zeigen. Über den Widerspruchsbeweis mach ich mir gerade noch Gedanken.

:)

Viele Grüße
Alex

Bezug
                        
Bezug
Unendlicher Schnitt kompakter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:58 So 22.01.2006
Autor: Hanno

Hallo.

> über das Komplement habe ich es auch schon mal versucht, bin da aber nicht weitergekommen. Deine zweite Lösung gefällt mir besser als die über konvergente Teilfolgen.

Mir auch. Ich bin mir auch nicht sicher, ob ich bei diesem Ansatz nicht auch etwas zu kompliziert gedacht habe und es noch einfacher geht. Am schönsten und direktesten ist in jedem Fall der Beweis durch die Betrachtung der Überdeckung durch die Komplemente.

> Jeder kompakte Raum mit offener Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung, also
> $ [mm] \bigcup_{i=1}^{n} [/mm] $ X \ $ [mm] K_{i} [/mm] $  =  $ [mm] \bigcap_{i=1}^{n}K_{i}. [/mm] $

Du meinst $X= [mm] \bigcup_{i=1}^{n} [/mm] X [mm] \setminus K_{i} [/mm]   =  [mm] X\setminus \bigcap_{i=1}^{n}K_{i}$, [/mm] also [mm] $\bigcap_{i=1}^{n} K_i [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm]  Genau. [ok]


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
                                
Bezug
Unendlicher Schnitt kompakter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:28 So 22.01.2006
Autor: SEcki


> Mir auch. Ich bin mir auch nicht sicher, ob ich bei diesem
> Ansatz nicht auch etwas zu kompliziert gedacht habe und es
> noch einfacher geht. Am schönsten und direktesten ist in
> jedem Fall der Beweis durch die Betrachtung der Überdeckung
> durch die Komplemente.

Über Schönheit kann man ja streiten. als ich geantwortet habe, ahtte ich folgendes im Sinn: Falls dies falsch ist, nehme für jedes i ein [m]x_i\in \cup_j^i K_j[/m]. Dann mittels Diagonalfolge würde man einen Puinkt finden, der in allen [m]K_i[/m] vorhanden ist. Vergleiche zB Satz von Aszela-Ascoli.

SEcki

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de