Ungleichung durch Ableiten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Do 08.07.2004 | | Autor: | birte |
Hilfe!
Noch mal eine Aufgabe, mit der ich direkt nicht weiterkomme:
(Durch Verwendung der Ableitung lassen sich viele Ungleichungen beweisen)
a) Zeige, dass die Funktion f(x)=x – sinx auf [mm] [0\to\infty[ [/mm] monoton wachsend ist. Folgere [mm] f(x)\ge0 [/mm] für [mm] x\ge0 [/mm] , also
[mm] sinx\le [/mm] x für alle [mm] x\ge0
[/mm]
b) Zeige auf ähnliche Weise:
[mm] cosx\ge1-\bruch{x^2}{2} [/mm] für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
(Betrachte zunächst den Fall [mm] x\ge0 [/mm] )
mmh.....Monotonie sagt mir ja schon was, aber wie zeige ich denn dass sinx-x isoton ist???
Habs mit den Additiontheoremen versucht, aber weiss nicht weiter.
Um die Ungleichung zu zeigen, muss ich da die Ableitung bilden? Also [mm] cosx\le1, [/mm] naja, dass ist ja immer so, wenn man sich den Graphen anschaut, auch für [mm] x\le0, [/mm] aber reicht das, wenn ich das so behaupte?
Vielleicht kann mir wieder jemand auf die Sprünge helfen
Danke,
grüsse - birte 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Do 08.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Birte!
Du bist auf einer guten Spur. 
Um zu zeigen, dass die Funktion
$f(x):= x- [mm] \sin(x)$
[/mm]
auf dem Intervall [mm] $[0,+\infty[$ [/mm] monoton wachsend ist, musst du
$f'(x) [mm] \ge [/mm] 0$
für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$ [/mm] nachweisen.
Das ist dir aber schon überzeugend gelungen. Es gilt:
$f'(x) = 1 - [mm] \cos(x)$,
[/mm]
und wie du richtig bemerkt hast, gilt nach nun mal [mm] $\cos(x) \le [/mm] 1$, also:
$f'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$.
[/mm]
Nun gilt ja:
$f(0) = 0 - [mm] \sin(0) [/mm] = 0$.
Da $f$ - wie gerade gesehen - monoton wachsend auf [mm] $[0,+\infty[$ [/mm] ist, folgt daraus:
$f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$,
[/mm]
also:
$x [mm] \ge \sin(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$.
[/mm]
Die Teilaufgabe b) geht ganz ähnlich.
Wir definieren uns eine Funktion:
$g(x):= [mm] \cos(x) [/mm] - 1 + [mm] \frac{x^2}{2}$.
[/mm]
Zunächst zeigen wir, dass für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$ [/mm] gilt:
$g(x) [mm] \ge [/mm] 0$.
Das machen wir wie eben: Es gilt ja:
$g(0) = [mm] \cos(0) [/mm] - 1 + [mm] \frac{0^2}{2} [/mm] = 1 - 1 + 0 = 0$.
Wenn wir jetzt noch zeigen, dass
$g'(x) [mm] \ge [/mm] 0$
für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$ [/mm] gilt, dann haben wir gezeigt, dass $g$ auf [mm] $[0,+\infty[$ [/mm] monoton wachsend ist, woraus dann
$g(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$,
[/mm]
also
[mm] $\cos(x) \ge [/mm] 1 - [mm] \frac{x^2}{2}$ [/mm] für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$ [/mm]
folgt.
Jetzt habe ich zwei Aufgaben für dich:
1) Zeige doch jetzt mal die noch fehlende Behauptung: $g'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$.
[/mm]
2) Wenn wir dann $g(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$ [/mm] gezeigt haben, wie folgt daraus dann $g(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in ]-\infty,0]$?
[/mm]
(Tipp: Gibt es vielleicht Symmetrien, die man ausnutzen könnte? )
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Do 08.07.2004 | | Autor: | birte |
Danke Dir...
dann bin ich vielleicht doch nicht so doof ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") ....habs jedenfalls jetzt vestanden, so hoffe ich
Danke
birte
|
|
|
|
